H1 Begrippen deel 1

Basisdefinities

• Een vectorruimte E over een veld K (vaak R of C) is een verzameling met twee bewerkingen: vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging.
• Vectoroptelling: E x E -> E, aangeduid als (u, v) -> u + v.
• Scalaire vermenigvuldiging: K x E -> E, aangeduid als (λ, u) -> λu.
• Deze bewerkingen moeten aan bepaalde axioma's voldoen, waaronder associativiteit en commutativiteit van optelling, het bestaan van een neutraal element en een inverse voor optelling, compatibiliteit van scalaire vermenigvuldiging, distributiviteit, en een neutraal element voor scalaire vermenigvuldiging (1u = u).
• Een deelverzameling F van een vectorruimte E is een deelruimte als F de nulvector bevat, gesloten is onder vectoroptelling, en gesloten is onder scalaire vermenigvuldiging.
• Een lineaire combinatie van vectoren v₁, v₂, ..., vₙ in een vectorruimte E is een vector van de vorm λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λₙvₙ, waarbij λ₁, λ₂, ..., λₙ ∈ K.
• Vectoren v₁, v₂, ..., vₙ zijn lineair onafhankelijk als de enige oplossing voor de vergelijking λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λₙvₙ = 0 is dat alle λ's gelijk zijn aan 0; anders zijn ze lineair afhankelijk.
• Een basis van een vectorruimte E is een verzameling lineair onafhankelijke vectoren die E voortbrengen.
• De dimensie van E, notatie dim(E), is het aantal vectoren in een basis van E.

Lineaire applicaties

• Een lineaire applicatie (of lineaire transformatie) is een functie f: E -> F tussen twee vectorruimten E en F over hetzelfde veld K zodat f(u + v) = f(u) + f(v) en f(λu) = λf(u).
• De kern (kernel) van f, notatie ker(f), is de verzameling vectoren in E die op de nulvector van F worden afgebeeld: ker(f) = {u ∈ E | f(u) = 0}.
• Het beeld (range) van f, notatie im(f), is de verzameling vectoren in F die het beeld zijn van ten minste één vector in E: im(f) = {v ∈ F | ∃ u ∈ E zodat f(u) = v}.
• Voor een lineaire applicatie f: E -> F, waar E eindig-dimensionaal is, geldt: dim(E) = dim(ker(f)) + dim(im(f)). Dit is de rangstelling.

Matrices

• Een matrix is een rechthoekig schema van getallen.
• Een matrix A van grootte m x n heeft m rijen en n kolommen.
• Het element op de i-de rij en j-de kolom wordt aangeduid met aᵢⱼ.
• Als A en B matrices van dezelfde grootte m x n zijn, dan is hun som A + B gedefinieerd door (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ.
• Als A een matrix is en λ een scalar, dan is (λA)ᵢⱼ = λaᵢⱼ.
• Als A een matrix m x n is en B een matrix n x p, dan is het product AB een matrix m x p met (AB)ᵢⱼ = Σₖ₌₁ⁿ aᵢₖbₖⱼ.
• De getransponeerde van een matrix A, notatie Aᵀ, wordt verkregen door de rijen en kolommen van A te verwisselen.
• Als A een matrix m x n is, dan is Aᵀ een matrix n x m met (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ.
• Een vierkante matrix A is inverteerbaar als er een matrix B bestaat zodanig dat AB = BA = I, waar I de identiteitsmatrix is.
• De matrix B is de inverse van A, notatie A⁻¹.
• De determinant is een functie die een scalar associeert met een vierkante matrix en die bepaalde eigenschappen van de matrix en de lineaire vergelijkingen die zij vertegenwoordigt onthult.
• Voor een vierkante matrix A is een eigenvector v een niet-nul vector zodanig dat Av = λv voor een scalar λ, de zogenaamde eigenwaarde.

Euclidische ruimtes

• In een reële vectorruimte E is een inwendig product een applicatie <⋅, ⋅>: E x E -> R die voldoet aan symmetrie, lineariteit in de eerste variabele, en positief definiet is.
• Symmetrie: <u, v> = <v, u> voor alle u, v ∈ E.
• Lineariteit: <λu + μv, w> = λ<u, w> + μ<v, w> voor alle λ, μ ∈ R en u, v, w ∈ E.
• Positief definiet: <u, u> > 0 voor alle u ≠ 0 in E.
• De norm van een vector u in een Euclidische ruimte wordt gedefinieerd door ||u|| = √<u, u>.
• Twee vectoren u en v zijn orthogonaal als <u, v> = 0.
• Een orthogonale basis is een basis waarvan alle vectoren paarsgewijs orthogonaal zijn.
• Een orthonormale basis is een orthogonale basis waarbij alle vectoren een norm van 1 hebben
• Het Gram-Schmidt proces is een algoritme om een verzameling lineair onafhankelijke vectoren te orthogonaliseren in een prehilbertruimte (een reële of complexe vectorruimte met een inwendig product).