Vectores: Fundamentos y Tipos

Vectores en Física

• Se entiende como un segmento de línea que posee tanto dirección como sentido.
• El módulo refiere a la longitud del vector.
• La dirección es el ángulo que forma el vector con la horizontal.
• El término sentido indica la orientación del vector.

Tipos de Vectores y sus características

• Vectores colineales: Se ubican en la misma línea de acción.
• Vectores concurrentes: Sus líneas de acción se cruzan en un punto.
• Vectores paralelos: Comparten la misma dirección.
• Vectores iguales: Presentan idéntico módulo, dirección y sentido.
• Vectores opuestos: Tienen el mismo módulo y dirección, pero sentidos opuestos.
• Vectores ortogonales: Forman un ángulo de 90°.
• Vectores unitarios: Su módulo es igual a 1.

Suma de vectores: Enfoque gráfico

• Método del triángulo: Los vectores se colocan uno tras otro, respetando módulo, dirección y sentido; el vector resultante une el origen del primero con el extremo del último.
• Método del paralelogramo: Los vectores comparten un origen común, formando un paralelogramo al trazar paralelas; el vector resultante coincide con la diagonal que parte del origen.
• Método del polígono: Similar al triángulo, se unen vectores consecutivamente y el vector resultante conecta el origen del primero con el extremo del último.

Suma de vectores: Enfoque analítico en el plano

• Para vectores $\vec{A} = (A_x, A_y)$ y $\vec{B} = (B_x, B_y)$, la suma se calcula como $\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y)$.

Suma de vectores: Enfoque analítico en el espacio

• Para vectores $\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)$ y $\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)$, la suma es $\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)$.

Producto escalar de vectores

• Se define como $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores.
• Si $\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)$ y $\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)$, entonces $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$.

Producto vectorial de vectores

• El resultado es un vector $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$, con módulo $|\vec{C}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta$.
• Su dirección es perpendicular al plano que contiene $\vec{A}$ y $\vec{B}$, con sentido determinado por la regla de la mano derecha.
• En componentes, si $\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)$ y $\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)$, entonces $\vec{C} = (A_y B_z - A_z B_y) \hat{i} - (A_x B_z - A_z B_x) \hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{k}$.

Suma de vectores: Metodología analítica

• Descomponer cada vector en sus componentes horizontal ($x$) y vertical ($y$): $\vec{A} = (A_x, A_y)$, $\vec{B} = (B_x, B_y)$.
• Sumar las componentes correspondientes de todos los vectores: $R_x = A_x + B_x +...$, $R_y = A_y + B_y +...$.
• Calcular la magnitud del vector resultante $\vec{R}$ con el teorema de Pitágoras: $|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$.
• Calcular la dirección del vector resultante $\vec{R}$ con la función tangente inversa: $\theta = \arctan(\frac{R_y}{R_x})$.

Producto escalar (producto punto): Definición

• $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos(\theta)$, donde $|\vec{A}|$ y $|\vec{B}|$ son las magnitudes y $\theta$ es el ángulo entre ellos.
• En componentes: $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$.

Producto escalar (producto punto): Propiedades

• Conmutativa: $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$.
• Distributiva: $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$.
• Ortogonalidad: Si $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$, los vectores son perpendiculares.

Producto vectorial (producto cruz): Definición

• Magnitud del vector resultante: $|\vec{C}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin(\theta)$.
• Dirección: Perpendicular al plano que contiene a $\vec{A}$ y $\vec{B}$, con sentido dado por la regla de la mano derecha.
• En componentes: $\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y, A_z B_x - A_x B_z, A_x B_y - A_y B_x)$
• Calculado con un determinante: $\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ A_x & A_y & A_z \ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$

Producto vectorial (producto cruz): Propiedades

• Anticonmutativa: $\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$.
• Distributiva: $\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$.
• Paralelismo: Si $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$, los vectores son paralelos o uno es el vector cero.

Fuerza: Concepto general

• Se define como una magnitud física que cuantifica la transferencia de momento lineal entre dos cuerpos.
• Posee un módulo (valor), dirección (recta de acción), sentido (orientación) y punto de aplicación.
• La unidad de medida es el Newton (N) en el Sistema Internacional, donde 1 N equivale a la fuerza necesaria para acelerar 1 kg a 1 $m/s^2$.

Sistemas de fuerzas

• La fuerza resultante es la que produce el mismo efecto que el sistema en su conjunto.
• Se calcula sumando vectorialmente todas las fuerzas actuantes: $\overrightarrow{F_R} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} +... + \overrightarrow{F_n}$.
• Un sistema equilibrado tiene una fuerza resultante de cero.

Tipos de fuerzas

• Peso (P): Atracción terrestre; $P = m \cdot g$, vertical y hacia abajo.
• Normal (N): Reacción de una superficie, perpendicular a ella.
• Tensión (T): Fuerza ejercida por cuerdas, en su dirección y sentido del tirón.
• Fuerza de rozamiento ($F_r$): Oposición al movimiento; $F_r = \mu \cdot N$.
• Fuerza elástica ($F_e$): Deformación de un muelle; $F_e = -k \cdot x$.

Leyes de Newton

• 1ª Ley (Inercia): $\sum{\overrightarrow{F}} = 0 \leftrightarrow \overrightarrow{v} = constante$; un objeto persiste en su estado de movimiento o reposo a menos que actúe una fuerza.
• 2ª Ley (Fundamental): $\sum{\overrightarrow{F}} = m \cdot \overrightarrow{a}$; la fuerza es igual a la masa por la aceleración.
• 3ª Ley (Acción y Reacción): $\overrightarrow{F_{AB}} = - \overrightarrow{F_{BA}}$; a cada acción corresponde una reacción igual y opuesta.

Aplicaciones de las leyes de Newton

• Se utilizan para resolver problemas de dinámica.
• Pasos:
• Identificar el objeto o sistema.
• Diagrama de cuerpo libre.
• Elegir un sistema de coordenadas.
• Aplicar la 2ª Ley de Newton.
• Resolver el sistema de ecuaciones.

Momento lineal

• Es el producto de la masa por la velocidad: $\overrightarrow{p} = m \cdot \overrightarrow{v}$.
• Es una magnitud vectorial, medida en kg·m/s.

Impulso mecánico

• Es igual a la fuerza neta por el tiempo: $\overrightarrow{I} = \sum{\overrightarrow{F}} \cdot \Delta{t}$.
• Representa la variación del momento lineal: $\overrightarrow{I} = \Delta{\overrightarrow{p}} = \overrightarrow{p_f} - \overrightarrow{p_i}$.
• Es vectorial, medido en N·s.

Conservación del momento lineal

• En un sistema aislado: $\overrightarrow{p_i} = \overrightarrow{p_f}$.
• Esencial en problemas de colisiones.

Trabajo (física)

• Cantidad de energía transferida por una fuerza al desplazar un objeto: $W = \overrightarrow{F} \cdot \Delta{\overrightarrow{x}} = F \cdot \Delta{x} \cdot cos \alpha$.
• Es una magnitud escalar, medida en Julios (J).

Potencia (física)

• Trabajo realizado por unidad de tiempo: $P = \frac{W}{\Delta{t}}$.
• Es una magnitud escalar, medida en Vatios (W).
• Otras Unidades:
• Caballo de vapor (CV): 1 CV = 735 W.

Energía

• Capacidad para realizar trabajo, medida en Julios (J).
• Tipos:
• Cinética ($E_c$): $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.
• Potencial gravitatoria ($E_p$): $E_p = m \cdot g \cdot h$.
• Potencial elástica ($E_{pe}$): $E_{pe} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

Conservación de la energía

• En un sistema aislado, la energía mecánica se conserva: $E_m = E_c + E_p = constante$.

Fuerzas

• Conservativas: No dependen del camino (ej., peso, fuerza elástica).
• No conservativas