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Questions and Answers
Dans un repère du plan (O, ỉ, ĵ), que signifie que ce repère soit orthogonal ?
Dans un repère du plan (O, ỉ, ĵ), que signifie que ce repère soit orthogonal ?
- Les vecteurs ỉ et ĵ sont colinéaires.
- Les vecteurs ỉ et ĵ ont la même norme.
- Les vecteurs ỉ et ĵ n'ont aucune relation de direction.
- Les vecteurs ỉ et ĵ sont de directions perpendiculaires. (correct)
Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, et que $\vec{u} = k\vec{v}$ avec $k$ un scalaire, comment leurs coordonnées sont-elles liées?
Si deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, et que $\vec{u} = k\vec{v}$ avec $k$ un scalaire, comment leurs coordonnées sont-elles liées?
- Leurs coordonnées sont proportionnelles. (correct)
- Leurs coordonnées sont inverses l'une de l'autre.
- Leurs coordonnées sont nulles.
- Leurs coordonnées sont égales.
Si det($\vec{u}$, $\vec{v}$) = 0, où $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs, que peut-on conclure sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$?
Si det($\vec{u}$, $\vec{v}$) = 0, où $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs, que peut-on conclure sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$?
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de norme 1.
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. (correct)
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont opposés.
Si les droites (AB) et (CD) sont parallèles, quelle relation existe-t-il entre les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$?
Si les droites (AB) et (CD) sont parallèles, quelle relation existe-t-il entre les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$?
Pour que trois points A, B, et C soient alignés, quelle condition vectorielle doit être vérifiée?
Pour que trois points A, B, et C soient alignés, quelle condition vectorielle doit être vérifiée?
Étant donnés deux points A($x_A$, $y_A$) et B($x_B$, $y_B$), quelles sont les coordonnées du milieu M du segment [AB]?
Étant donnés deux points A($x_A$, $y_A$) et B($x_B$, $y_B$), quelles sont les coordonnées du milieu M du segment [AB]?
Dans un repère orthonormé, quelle est la formule pour calculer la distance entre deux points A($x_A$, $y_A$) et B($x_B$, $y_B$)?
Dans un repère orthonormé, quelle est la formule pour calculer la distance entre deux points A($x_A$, $y_A$) et B($x_B$, $y_B$)?
Dans un repère (O, ỉ, ĵ), si on a $\vec{AB} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$, comment note-t-on les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$?
Dans un repère (O, ỉ, ĵ), si on a $\vec{AB} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$, comment note-t-on les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$?
Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix}$, quelle expression est utilisée pour vérifier si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires en utilisant leurs coordonnées?
Si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix}$, quelle expression est utilisée pour vérifier si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires en utilisant leurs coordonnées?
Dans un repère orthonormé, si les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $\begin{pmatrix} 4 \ -3 \end{pmatrix}$, quelle est la norme du vecteur $\vec{AB}$?
Dans un repère orthonormé, si les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $\begin{pmatrix} 4 \ -3 \end{pmatrix}$, quelle est la norme du vecteur $\vec{AB}$?
Flashcards
Qu'est-ce qu'un repère du plan ?
Qu'est-ce qu'un repère du plan ?
Un triplet (O, ỉ, ĵ) où O est un point et ỉ et ĵ sont deux vecteurs non colinéaires.
Qu'est-ce qu'un repère orthogonal ?
Qu'est-ce qu'un repère orthogonal ?
ỉ et ĵ ont des directions perpendiculaires.
Qu'est-ce qu'un repère orthonormé ?
Qu'est-ce qu'un repère orthonormé ?
Il est orthogonal et ỉ et ĵ sont de norme 1.
Qu'est-ce que le déterminant de deux vecteurs ?
Qu'est-ce que le déterminant de deux vecteurs ?
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Que signifie un déterminant nul ?
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Quand les vecteurs AB et CD sont-ils colinéaires ?
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Comment trouver le milieu d'un segment ?
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Quelle est la formule de la distance dans un repère orthonormé ?
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Quand est-ce que ủ et v sont colinéaires ?
Quand est-ce que ủ et v sont colinéaires ?
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Study Notes
Repère du Plan
- Un repère du plan est défini par un triplet (O, 𝚤⃗, 𝚥⃗), où O est un point et 𝚤⃗ et 𝚥⃗ sont deux vecteurs non colinéaires.
- Un repère est dit orthogonal si les vecteurs 𝚤⃗ et 𝚥⃗ ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si les vecteurs 𝚤⃗ et 𝚥⃗ sont de norme 1.
Coordonnées d'un Vecteur
- Pour aller de A vers B, on peut se déplacer de 3 unités vers la droite et de 2 unités vers le haut.
- Dans ce cas, %%%%%⃗ 𝐴𝐵 = 3𝚤⃗ + 2𝚥⃗.
- Les coordonnées de %%%%%⃗ 𝐴𝐵 se notent.3 2/, et cette notation est préférable à (3; 2).
Propriétés des Vecteurs
- Si deux vecteurs 𝑢%⃗.𝑦/ et 𝑣⃗ @A sont donnés, et k est un réel, alors: 𝑢%⃗ + 𝑣⃗ @ %+%'/, %' 𝑘𝑢%⃗ @ / et −𝑢%⃗ @ %.𝑦/. − Si 𝑢%⃗ et 𝑣⃗ sont égaux, alors 𝑥 = 𝑥′ et 𝑦 = 𝑦′.
Application des Formules sur les Coordonnées de Vecteurs
-
Pour calculer les coordonnées de 3𝐴𝐵 %%%%%⃗, 4𝐶𝐷 %%%%%⃗ et 3𝐴𝐵 %%%%%⃗ − 4𝐶𝐷 %%%%%⃗, on utilise les opérations sur les coordonnées.
-
Exemple si 𝐴𝐵 %%%%%⃗.2/ et 𝐶𝐷 %%%%%⃗.5/, alors 3𝐴𝐵
1/, alors 3𝐴𝐵 %%%%%⃗.3/, 4𝐶𝐷 %%%%%⃗. / et 3𝐴𝐵 %%%%%⃗ − 4𝐶𝐷 %%%%%⃗. 6 5 / et 3𝐴𝐵 %%%%%⃗ − 4𝐶𝐷 %%%%%⃗ @./. 4𝐶𝐷 −14
Calcul des Coordonnées d'un Point Défini par une Égalité Vectorielle
- Si ABCD est un parallélogramme, alors %%%%%⃗𝐴𝐵 = %%%%%⃗ 𝐷𝐶.
- En posant les coordonnées du point D à déterminer comme. #/, on utilise cette égalité pour trouver # et 𝑦#.
Critère de Colinéarité
- Deux vecteurs 𝑢%⃗.𝑦/ et 𝑣⃗ @A sont colinéaires si 𝑥𝑦′ − 𝑦𝑥′ = 0.
- Les coordonnées des vecteurs colinéaires sont proportionnelles, soit 𝑥𝑦′ = 𝑦𝑥′.
Déterminant de Deux Vecteurs
- Le déterminant de deux vecteurs 𝑢%⃗.𝑦/ et 𝑣⃗ @A est le nombre 𝑥𝑦′ − 𝑦𝑥′.
- On note: det(𝑢 %⃗ ; 𝑣⃗) = R 𝑥 𝑥′ R = 𝑥𝑦′ − 𝑦𝑥′. 𝑦 𝑦′
- Les vecteurs 𝑢 %⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires si et seulement si det(𝑢 %⃗ ; 𝑣⃗) = 0.
Applications de la Colinéarité
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si les vecteurs %%%%%⃗𝐴𝐵 et %%%%%⃗𝐶𝐷 sont colinéaires.
- Les points A, B et C sont alignés si les vecteurs %%%%%⃗𝐴𝐵 et %%%%%⃗𝐴𝐶 sont colinéaires.
Coordonnées du Milieu d'un Segment
- Si deux points 𝐴.𝑦/ et 𝐵.𝑦/ sont donnés, le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées: ! ! " + ' XA+XB M %.Y /. YA+YB '
Distance dans un Repère Orthonormé
- Dans un repère orthonormé, la distance AB (ou la norme du vecteur %%%%%⃗𝐴𝐵) est donnée par: 𝐴𝐵 = `(𝑥" − 𝑥! )' + (𝑦" − 𝑦! )'.
- Cette propriété est une conséquence du théorème de Pythagore.
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