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Questions and Answers
Quelle est la valeur de l'expression $|-a|$ si $a$ est un nombre réel strictement négatif ?
Quelle est la valeur de l'expression $|-a|$ si $a$ est un nombre réel strictement négatif ?
- $-a$ (correct)
- $-|a|$
- $a$
- $0$
Laquelle des propriétés suivantes est toujours vraie pour tout nombre réel $x$?
Laquelle des propriétés suivantes est toujours vraie pour tout nombre réel $x$?
- $|x| = x$
- $|x|^2 = x^2$ (correct)
- $|x| = -x$
- $|x| < 0$
Quelle inégalité représente l'ensemble des nombres réels $x$ dont la distance par rapport à 5 est inférieure ou égale à 3?
Quelle inégalité représente l'ensemble des nombres réels $x$ dont la distance par rapport à 5 est inférieure ou égale à 3?
- $|x - 5| \geq 3$
- $|x + 5| \leq 3$
- $|x - 3| \leq 5$
- $|x - 5| \leq 3$ (correct)
Pour quelle valeur de $x$ l'équation $|2x - 3| = 0$ est-elle vérifiée?
Pour quelle valeur de $x$ l'équation $|2x - 3| = 0$ est-elle vérifiée?
Si $|x + 2| = 5$, quelles sont les valeurs possibles de $x$?
Si $|x + 2| = 5$, quelles sont les valeurs possibles de $x$?
Quelle est la solution de l'inéquation $|x - 1| < 3$?
Quelle est la solution de l'inéquation $|x - 1| < 3$?
Comment le graphe de $y = |x - 2|$ est-il transformé par rapport au graphe de $y = |x|$?
Comment le graphe de $y = |x - 2|$ est-il transformé par rapport au graphe de $y = |x|$?
Si $|x| > 4$, quelle est la solution?
Si $|x| > 4$, quelle est la solution?
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $|3x - 6| = 9$?
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $|3x - 6| = 9$?
Si $|x + 5| \leq 2$, quelles sont les bornes de $x$?
Si $|x + 5| \leq 2$, quelles sont les bornes de $x$?
Quelle est la distance entre les points -8 et 2 sur la droite numérique?
Quelle est la distance entre les points -8 et 2 sur la droite numérique?
Pour quelle valeur de $k$ l'équation $|x - k| = 0$ a-t-elle une solution unique $x = 4$?
Pour quelle valeur de $k$ l'équation $|x - k| = 0$ a-t-elle une solution unique $x = 4$?
Si $|2x + 4| > 6$, quelles sont les solutions possibles pour $x$?
Si $|2x + 4| > 6$, quelles sont les solutions possibles pour $x$?
Quelle est la solution de l'équation $|x - 3| + 2 = 5$?
Quelle est la solution de l'équation $|x - 3| + 2 = 5$?
Laquelle des inégalités suivantes est équivalente à $-3 \leq x \leq 3$?
Laquelle des inégalités suivantes est équivalente à $-3 \leq x \leq 3$?
Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $|x - 1| = |x + 1|$?
Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $|x - 1| = |x + 1|$?
Quel est le domaine de la fonction $f(x) = \frac{1}{|x| - 2}$?
Quel est le domaine de la fonction $f(x) = \frac{1}{|x| - 2}$?
Si $|ax| = b$ et que $a$ est une constante non nulle, alors $x$ est égal à:
Si $|ax| = b$ et que $a$ est une constante non nulle, alors $x$ est égal à:
Quelle est la valeur de $|-2 - |-3||$?
Quelle est la valeur de $|-2 - |-3||$?
Flashcards
Valeur absolue
Valeur absolue
Distance d'un nombre réel à zéro sur la droite numérique.
Définition de |x|
Définition de |x|
Si x ≥ 0, |x| = x. Si x < 0, |x| = -x.
Interprétation géométrique de |x|
Interprétation géométrique de |x|
Distance entre le nombre x et 0 sur la droite numérique.
Interprétation géométrique de |a - b|
Interprétation géométrique de |a - b|
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|x| ≥ 0
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|-x| = |x|
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|xy| = |x| * |y|
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|x/y| = |x| / |y|
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|x + y| ≤ |x| + |y|
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Résoudre |x| = a
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Résoudre |x| < a
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Résoudre |x| > a
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Résoudre |x| ≤ a
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Résoudre |x| ≥ a
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Graphe de f(x) = |x|
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Graphe de y = |f(x)|
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Study Notes
- La valeur absolue d'un nombre réel est sa distance à zéro sur la droite numérique.
- La valeur absolue est toujours positive ou nulle, mais jamais négative.
Définition
- Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x, notée |x|, est définie comme suit :
- Si x ≥ 0, alors |x| = x
- Si x < 0, alors |x| = -x
- Exemples numériques :
- |5| = 5, car 5 est positif.
- |-3| = -(-3) = 3, car -3 est négatif.
- |0| = 0.
Interprétation Géométrique
- |x| représente la distance entre le nombre x et 0 sur la droite numérique.
- |a - b| représente la distance entre les nombres a et b sur la droite numérique.
Propriétés
- |x| ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
- |-x| = |x| pour tout x ∈ ℝ
- |xy| = |x| * |y| pour tous x, y ∈ ℝ
- |x/y| = |x| / |y| pour tous x, y ∈ ℝ, y ≠ 0
- |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire)
Equations avec Valeur Absolue
- Pour résoudre une équation de la forme |x| = a, où a ≥ 0, on considère deux cas :
- Cas 1 : x = a
- Cas 2 : x = -a
- Exemple : |x| = 7 implique x = 7 ou x = -7.
Inéquations avec Valeur Absolue
- Pour résoudre une inéquation de la forme |x| < a, où a > 0, on a -a < x < a.
- Pour résoudre une inéquation de la forme |x| > a, où a > 0, on a x < -a ou x > a.
- Pour |x| ≤ a, où a > 0, on a -a ≤ x ≤ a.
- Pour |x| ≥ a, où a > 0, on a x ≤ -a ou x ≥ a.
Exemples d'Equations
- |2x - 1| = 5
- Cas 1 : 2x - 1 = 5 => 2x = 6 => x = 3
- Cas 2 : 2x - 1 = -5 => 2x = -4 => x = -2
- Solutions : x = 3 et x = -2
Exemples d'Inéquations
- |x - 3| < 2
- -2 < x - 3 < 2
- -2 + 3 < x < 2 + 3
- 1 < x < 5
- Solution : x ∈ (1, 5)
- |x + 1| ≥ 4
- x + 1 ≤ -4 ou x + 1 ≥ 4
- x ≤ -5 ou x ≥ 3
- Solution : x ∈ (-∞, -5] ∪ [3, ∞)
Représentation Graphique
- La fonction f(x) = |x| a une forme de "V" avec le sommet à l'origine (0, 0).
- Pour x ≥ 0, le graphique est la droite y = x.
- Pour x < 0, le graphique est la droite y = -x.
Transformation de Fonctions
- Le graphe de y = |f(x)| est obtenu en prenant la partie du graphe de y = f(x) qui est au-dessus de l'axe des x et en reflétant la partie du graphe qui est en dessous de l'axe des x au-dessus de l'axe des x.
Résolution de Problèmes
- Identifier les expressions à l'intérieur de la valeur absolue.
- Considérer les cas où l'expression est positive ou négative.
- Résoudre l'équation ou l'inéquation pour chaque cas.
- Combiner les solutions obtenues pour chaque cas.
Erreurs Communes
- Oublier de considérer le cas où l'expression à l'intérieur de la valeur absolue est négative.
- Ne pas vérifier si les solutions obtenues satisfont les conditions initiales (par exemple, si une solution rend l'expression à l'intérieur de la valeur absolue négative dans le cas où elle était supposée positive).
- Confusion entre les règles pour résoudre les équations et les inéquations.
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