Uvod v diferencialne enačbe

Uvod v diferencialne enačbe

1. Uvod

• Diferencialna enačba povezuje funkcijo z njenimi odvodi.
• Uporabljajo se za modeliranje fizikalnih pojavov.

Zakon o Newtonovem ohlajanju

• Sprememba temperature predmeta je sorazmerna razliki med njegovo temperaturo in temperaturo okolice.
• Izražen kot diferencialna enačba: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$
  • $T(t)$: temperatura predmeta ob času $t$
  • $T_s$: temperatura okolice (konstanta)
  • $k > 0$: konstanta

Vrste diferencialnih enačb

• Navadne diferencialne enačbe (ODE): funkcije ene spremenljivke in njihovi odvodi.
• Parcialne diferencialne enačbe (PDE): funkcije več spremenljivk in njihovi parcialni odvodi.

Zakaj preučevati diferencialne enačbe?

• Zagotavljajo močan okvir za modeliranje realnih pojavov.
• Primeri uporabe:
  • Rast populacije
  • Radioaktivni razpad
  • Gibanje objektov
  • Električna vezja
  • Kemične reakcije

Osnovna terminologija

• Red: Najvišji red odvoda v enačbi.
  • primer: $\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + y = 0$ je enačba drugega reda.
• Linearnost: Enačba je linearna, če je linearna v neznani funkciji in njenih odvodih.
  • Primer: $\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$ je linearna enačba.
  • Primer: $\frac{dy}{dx} + y^2 = 0$ je nelinearna enačba.
• Rešitev: Funkcija, ki izpolnjuje enačbo.
  • Primer: $y = e^{-kt} + T_s$ je rešitev enačbe $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$.

Ekonomija

1. Uvod v ekonomijo

• Ekonomija preučuje, kako družbe uporabljajo omejene vire za proizvodnjo dobrin in storitev ter kako jih razdeljujejo med posameznike.
  • Pomanjkanje: Viri so omejeni.
  • Učinkovitost: Izkoristiti vire na najboljši možni način.
• Ekonomija poskuša odgovoriti na vprašanja:
  • Katere dobrine in storitve se proizvajajo in v kakšni količini?
  • Kako se te dobrine in storitve proizvajajo?
  • Za koga se te dobrine in storitve proizvajajo?

2. Mikroekonomija in makroekonomija

• Mikroekonomija: preučuje posameznike in njihovo interakcijo
  • Primeri: cene, proizvodnja, trgi
• Makroekonomija: analizira delovanje gospodarstva kot celote
  • Primeri: inflacija, stopnja brezposelnosti, gospodarska rast

3. Temeljni ekonomski problemi

• Vsako gospodarstvo mora odgovoriti na tri temeljna vprašanja:
  • Kaj proizvajati
  • Kako proizvajati
  • Za koga proizvajati

4. Gospodarski sistemi

• Različne družbe so sprejele različne sisteme za odgovor na to vprašanje:
  • Tržno gospodarstvo: odločitve se sprejemajo preko trgov, kjer imajo cene pomembno vlogo.
  • Planskem gospodarstvu odločitve sprejema vlada.
  • Mešano gospodarstvo

5. Proizvodni faktorji

• Proizvodni dejavniki so:
  • Zemlja: Naravni viri
  • Delo: Človeški napor namenjen proizvodnji
  • Kapital: trajne dobrine ki se uporabljajo v proizvodnji
  • Tehnologija: Znanje in metode ki se uporabljajo v proizvodnji.

6. Produkcijska možnost

• Grafični prikaz maksimalne količine dobrin in storitev ki jih lahko proizvede gospodarstvo z danimi viri in tehnologijo.
• Ponazarja koncept pomanjkanja
• Prikazuje oportunitetne stroške za prekomerno proizvodno dobrino

7. Oportunitetni stroški

• Vrednost naslednje najboljše možnosti ki se jo opusti pri sprejemanju odločitve.
• Temeljni koncept ekonomije.
• Primer: Alternativni strošek študiranje je plača ki bi jo imeli če bi delali.

8. Ekonomski model

• Ekonomske modele uporabljajo ekonomisti za poenostavitev resničnosti in analizo ekonomskega vedenja
• Model je poenostavljena resničnost ekonomskega pojava
• Temelji na hipotezah in poskuša napovedati ekonomsko vedenje

9. Ekonomske spremenljivke

• Ukrep ki se lahko spremeni s časom ali med različnimi posamezniki ali nacijami.
• Uporablja se za analize in merjenja izvajanja ekonomije
• Primeri, cene, količina proizvodnje , dohodek, zaposlitev, inflacija

10. Pozitivna in normativna ekonomija

• Pozitivna ekonomija: opisuje in pojasnjuje dejstva ekonomije, temelji na dokazih in ciljni analizi
• Normativna ekonomija: izda presojo vrednosti o tem kako naj bi bila ekonomija. Temelji na mnenju in subjektivne vrednote

Elastičnost

1. Uvod v elastičnost

• Elastičnost meri občutljivost spremnenljivosti z spremembo druge spremenljivosti.
• V ekonomijo se uporablja da se meri odziv povpraševanja ali ponudbe v odvisnosti od sprememb v ceni, dobičkonosnosti ali drugih dejavnikov
• Pripomoček za kako tržišče delujejo v različem stimulansu

2. cenovna elastičnost povpraševanja (CEV)

• CEV meri občutljivost povpraševanje enega proizvoda s spremembo pri določeni ceni
• Se izračuna kot sprememba povpraševane količine dobra deli s spremembo cene
  • $CEV = \frac{% \Delta K}{% \Delta C }$
• Povpraševanje elastični CEV > 1 (povpraševana količina je zelo občutljiva na ceno)
• Povpraševanje neelastičen CEV< 1 ( povpraševana količina ni občutljiva na ceno)
• Enotno povpraševanje CEV= 1 ( povpraševana količina dobro se spremeni enako kot cena

3. Dejavniki ki vplivajo na CEV

• Razpoložljivost nadomestkov: nadomestko da na produkt, bolj elastično bo povpraševano
• Potreba proti luksuzu: Potrebščina navadno ima neelastično povpraševanje medtem ko luksuzna dobrina ponovadi imam elastično povpraševanje
• Dobičkonosnost: kolikor bo višjo dobičkonosnost enega proizvoda več elastičen bo povpraševano
• Časovni horizont: povpraševani po dolgem ponavadi bolj elastična kot po kratkem

4.elastičnost dobičkonosti povpraševanja( EDP)

• EDP meri senzitivanost povprašane količine dobro ki se spreminja s dobički strank
• Se izračuna kot sprememba povpraševane količine enodevnine $\qquad EID = \frac{% \Delta Q}{% \Delta I}$
• Dobra normala: EDP > 0 : povprašena količina se veča ko prihodek se poveča
• Luksuzno dobro EDP > 1
• Potrebno dobro 0 < EID < 1 :povprašena količina se manj poveča kot povečane prihodek
• Slabo dobro EDP <