Divisibility and Prime Numbers

• Divisibility rules:
  • A number is divisible by 2 if its last digit is 0, 2, 4, 6, or 8.
  • A number is divisible by 3 if the sum of its digits is divisible by 3.
  • A number is divisible by 5 if its last digit is 0 or 5.
  • A number is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9.
• Prime numbers:
  • A prime number is a positive integer greater than 1 that is divisible only by 1 and itself.
  • Examples: 2, 3, 5, 7, 11, ...
  • Prime numbers play a crucial role in number theory, as they serve as the building blocks for all other numbers.

Greatest Common Divisors (GCDs)

• GCD definition:
  • The GCD of two or more integers is the largest integer that divides each of them without leaving a remainder.
• GCD calculation methods:
  • Euclidean algorithm: a method for finding the GCD of two numbers by repeatedly replacing (a, b) with (b, a mod b) until b = 0, then taking a as the GCD.
  • Prime factorization: find the GCD by finding the common prime factors of the numbers.

Congruences and Diophantine Equations

• Congruence definition:
  • Two integers a and b are congruent modulo n (denoted by a ≡ b (mod n)) if they have the same remainder when divided by n.
• Diophantine equation definition:
  • A Diophantine equation is an equation in two or more variables of the form ax + by = c, where a, b, and c are integers.
  • Examples: 2x + 3y = 7, 5x - 2y = 11

Fermat's Little Theorem and Euler's Theorem

• Fermat's Little Theorem:
  • If p is a prime number, then a^p ≡ a (mod p) for any integer a not divisible by p.
• Euler's Theorem:
  • If a and n are coprime (have no common factors), then a^φ(n) ≡ 1 (mod n), where φ(n) is Euler's totient function.

Diophantine Approximation and Continued Fractions

• Diophantine approximation:
  • The study of approximating irrational numbers using rational numbers.
• Continued fractions:
  • A way of representing a number as a sequence of integers, often used in Diophantine approximation.
  • Example: the continued fraction representation of the golden ratio φ is [1; 1, 1, 1, ...]

나눗셈의 법칙과 소수

• 나눗셈의 법칙:
  • 마지막 자리의 숫자가 0, 2, 4, 6, 또는 8이라면 2로 나눌 수 있습니다.
  • 자릿수의 합이 3으로 나눌 수 있다면 3으로 나눌 수 있습니다.
  • 마지막 자리의 숫자가 0 또는 5라면 5로 나눌 수 있습니다.
  • 자릿수의 합이 9으로 나눌 수 있다면 9로 나눌 수 있습니다.
• 소수:
  • 1보다 큰 자연수에서 1과 자기 자신만으로 나눌 수 있는 수입니다.
  • 예: 2, 3, 5, 7, 11, ...
  • 소수는 모든 수의 기본構成要素입니다.

최대공약수 (GCD)

• 최대공약수 정의:
  • 두 개 이상의 정수의 최대공약수는 각수를 나누어 나머지가 없는 최대 정수입니다.
• 최대공약수 계산 방법:
  • 오일러 알고리즘: 두 수의 최대공약수를 구하는 알고리즘입니다. (a, b) -> (b, a mod b) -> ... -> (a, 0), b=a
  • 소인수분해: 공통의 소인수를 찾아 최대공약수를 구합니다.

합동 및 디오판타인 방정식

• 합동 정의:
  • n으로 나눈余사가 같은 두 정수 a, b에 대해 a ≡ b (mod n)입니다.
• 디오판타인 방정식 정의:
  • 整수 a, b, c에 의해 형성되는 방정식 ax + by = c입니다.
  • 예: 2x + 3y = 7, 5x - 2y = 11

페르마의 작은 정리와 오일러의 정리

• 페르마의 작은 정리:
  • p가 소수라면 a^p ≡ a (mod p)입니다. (a와 p는 서로소)
• 오일러의 정리:
  • a와 n이 서로소라면 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)입니다. (φ(n)은 오일러의_totient_function입니다.)

디오판타인 근사 및 연분수

• 디오판타인 근사:
  • 무리數를 유리數로 근사하는 연구입니다.
• 연분수:
  • 수를 정수의 시퀀스로 나타내는 방법입니다. 디오판타인 근사에 사용됩니다.
  • 예: 황금비 φ의 연분수 표현은 [1; 1, 1, 1, ...]입니다.