Sayı Teorisi: Bölüm 1

Number Theory

Divisibility

• A number is divisible by another if it can be expressed as a multiple of that number.
• Rules of divisibility:
  • A number is divisible by 2 if its last digit is 0, 2, 4, 6, or 8.
  • A number is divisible by 3 if the sum of its digits is divisible by 3.
  • A number is divisible by 5 if its last digit is 0 or 5.
  • A number is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9.

Prime Numbers

• A prime number is a positive integer that is divisible only by 1 and itself.
• Properties of prime numbers:
  • There are infinitely many prime numbers.
  • Prime numbers greater than 2 are odd.
  • The sum of any two prime numbers is even.
• Examples of prime numbers: 2, 3, 5, 7, 11, ...

Greatest Common Divisor (GCD)

• The GCD of two numbers is the largest number that divides both numbers without leaving a remainder.
• Methods to find the GCD:
  • Euclidean algorithm
  • Prime factorization

Congruences

• Two numbers are congruent modulo n if they have the same remainder when divided by n.
• Notation: a ≡ b (mod n)
• Properties of congruences:
  • Reflexive: a ≡ a (mod n)
  • Symmetric: a ≡ b (mod n) => b ≡ a (mod n)
  • Transitive: a ≡ b (mod n) and b ≡ c (mod n) => a ≡ c (mod n)

Diophantine Equations

• A Diophantine equation is an equation involving integers and polynomials, where the solutions are required to be integers.
• Examples of Diophantine equations:
  • Linear Diophantine equation: ax + by = c
  • Quadratic Diophantine equation: ax^2 + by^2 = c

Fermat's Little Theorem

• If p is a prime number, then a^p ≡ a (mod p) for any integer a.
• Applications of Fermat's Little Theorem:
  • Primality testing
  • Cryptography

Sayı Teorisi

Bölünebilirlik

• Bir sayı, başka bir sayıya bölünebilir ise onu çarpan olarak ifade edebilir.
• Bölünebilirlik kuralları:
  • Son rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan bir sayı 2'ye bölünebilir.
  • Rakamları toplamı 3'e bölünebilir olan bir sayı 3'e bölünebilir.
  • Son rakamı 0 veya 5 olan bir sayı 5'e bölünebilir.
  • Rakamları toplamı 9'a bölünebilir olan bir sayı 9'a bölünebilir.

Asal Sayılar

• Asal sayı, sadece 1 ve kendisi tarafından bölünebilen pozitif bir tam sayıdır.
• Asal sayıların özellikleri:
  • Sonsuz sayıda asal sayı vardır.
  • 2'den büyük asal sayılar tek sayıdır.
  • İki asal sayının toplamı çifttir.
• Asal sayılar örnekleri: 2, 3, 5, 7, 11, ...

Büyük Ortak Bölünür (BÖB)

• İki sayının BÖB'sı, ikisini de kalan bırakmadan bölen en büyük sayıdır.
• BÖB bulma yöntemleri:
  • Öklid algoritması
  • Asal çarpanlaştırma

Kongruanslar

• İki sayı, n'ye böldüklerinde aynı kalanı verir ise kongruanstır.
• Notasyon: a ≡ b (mod n)
• Kongruansların özellikleri:
  • Refleksif: a ≡ a (mod n)
  • Simetrik: a ≡ b (mod n) => b ≡ a (mod n)
  • Transitif: a ≡ b (mod n) ve b ≡ c (mod n) => a ≡ c (mod n)

Diophantine Denklemleri

• Diophantine denklemi, integer ve polinomlar içeren, çözümlerinin integer olması gereken bir denklemdir.
• Diophantine denklemi örnekleri:
  • Lineer Diophantine denklemi: ax + by = c
  • Kuadratik Diophantine denklemi: ax^2 + by^2 = c

Fermat'ın Küçük Teoremi

• p asal bir sayı ise, herhangi bir integer a için a^p ≡ a (mod p) olur.
• Fermat'ın Küçük Teoremi uygulamaları:
  • AsalTesti
  • Kriptografi