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Exponentes Enteros y Negativos

• Si a es número real y n es un entero positivo, la n-ésima potencia de a se define como a^n = a * a * ... * a (n factores).
• En a^n, "a" se denomina la base y "n" se denomina el exponente.
• Es importante distinguir entre (-3)^4, donde el exponente aplica al -3, y -3^4, donde el exponente aplica sólo al 3.
• Ejemplo: (1/2)^5 = (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/32
• Ejemplo: (-3)^4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81
• Ejemplo: -3^4 = -(3 * 3 * 3 * 3) = -81

Leyes de los Exponentes

• am * an = am+n
• (am)^n = amn
• (ab)^n = an * bn
• (a/b)^n = a^n / b^n, donde b ≠ 0
• Si a ≠ 0, entonces am/an = am-n para m > n
• Si a ≠ 0, entonces am/an = 1 / an-m para n > m
• Si a ≠ 0, entonces am/an = 1 para m = n

Exponente Cero

• Si a ∈ ℝ y a ≠ 0, entonces a^0 = 1
• 0^0 no está definido.

Exponentes Negativos

• Si a ∈ ℝ, n ∈ ℕ y a ≠ 0, entonces, a^-n = 1/a^n = (a^-1)^n

Notación Científica

• La notación científica es una aplicación de las leyes de exponentes que sirve para expresar números muy grandes o muy pequeños con pocos dígitos.
• La distancia del Sol a la estrella más próxima Alfa Centauri es de 40,000,000,000,000 km, que se escribe como 4.0 x 10^13 km
• La masa de un átomo de hidrógeno es 0.00000000000000000000000166 gr, que se escribe como 1.66 x 10^-24 gr.
• Un número positivo "x" está en notación científica si se expresa como x = a * 10^n, donde 1 ≤ a < 10 y n es un entero.

Exponentes Racionales

• Sean n ∈ ℕ y b ∈ ℝ, entonces (b^(1/n))^n = b^(n/n) = b^1 = b
• Por definición, la raíz n-ésima de b, denotada como ⁿ√b, cumple que ⁿ√b = b^(1/n)
• Si m/n ∈ Q, donde n ∈ ℕ, b ∈ ℝ y ⁿ√b existe, entonces b^(m/n) = (ⁿ√b)^m = ⁿ√(b^m).
• Si b ∈ ℝ-, y m y n son enteros pares positivos, entonces (b^m)^(1/n) ≠ b^(m/n).
• Sin embargo, se puede definir (b^m)^(1/n) = |b|^(m/n)
• Ejemplo: (-8)^(2/3) * (25)^(-3/2) = (∛-8)² / (√25)³ = (√(4)) / (125) = 4/125

Clasificación de los Números

Números Naturales

• 1, 2, 3, 4,... son los números que se utilizan para contar.
• Para cualquier número natural, existe otro número natural mayor.
• Representación: ℕ = {1, 2, 3, 4, ...}
• ℕ* = ℕ - {0}, naturales no nulos.

Operaciones con Números Naturales

• Adición: Para a y b naturales, a + b ∈ ℕ, cumplimiento de las propiedades conmutativa, asociativa y existencia del elemento neutro (0).
• Multiplicación: Para a y b naturales, a * b ∈ ℕ, cumplimiento de las propiedades conmutativa, asociativa y existencia del elemento neutro (1).

El Cero

• Indica ausencia de cantidad.
• Propiedades:
  • n - n = 0
  • n + 0 = 0 + n = n
  • n * 0 = 0 * n = 0
  • Si a * b = 0, entonces a = 0 ó b = 0 (no necesariamente ambos a la vez).

Números Enteros

• ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...
• Incluyen los números naturales, el cero y los números naturales precedidos del signo menos.
• Representación: ℤ
• Operaciones cerradas bajo la adición, substracción y multiplicación.

Valor Absoluto

• Módulo |a|, valor del número sin considerar su signo.

Subconjuntos

• ℤ+ = {0, 1, 2, 3,...} = ℕ
• ℤ- = {..., -3, -2, -1, 0}

Simétricos

• Dos enteros son simétricos cuando tienen el mismo dígito y signos opuestos.

Números Racionales

• Los números que pueden expresarse r = m/n, donde m y n son números enteros y n ≠ 0.
• Ejemplos: ½, -3/7, 46 = 46/1, 0.17 = 17/100.
• La división entre cero no está definida, 3/0 y 0/0 son valores que no están definidos.
• Operaciones cerradas para la adición, substracción, multiplicación y división (excepto por cero).

Subconjuntos

• ℚ*: Racionales no nulos.
• ℚ-: Racionales no negativos.
• ℚ+: Racionales no positivos.
• Los decimales exactos, las dízimas periódicas y los enteros son números racionales.

Números Irracionales

• Los números que no pueden expresarse como un cociente entre enteros.
• Ejemplos: √3, √5, √2, π, π/2
• No es cerrado para las operaciones de adición, substracción, multiplicación y división.

Números Reales

• Unión de los números racionales e irracionales. R = I ∪ Q

Intervalos

• Un intervalo abierto de a a b está denotado por (a, b) = {x | a < x < b}
• Un intervalo cerrado de a a b está denotado por [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}

Números Complejos

• No todos los números son reales.
• El conjunto C de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i^2 = -1 son conocidos como números complejos.
• Cada número real puede ser escrito como x + 0i, y por esto es también un número complejo.
• Ejemplo: 3 + √-4 = 3 + 2i, -5i, 2πi, ½ + (√3/2)i

Propiedades de los Números Reales

• Conmutativas:
  • a + b = b + a
  • a * b = b * a
• Asociativas:
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • (a * b) * c = a * (b * c)
• Distributivas:
  • a * (b + c) = a * b + a * c
  • (b + c) * a = b * a + c * a

Ley de Cierre

• La suma de dos números reales es un número real.
• El producto de dos números reales es un número real.

Elemento Identidad

• Existe un único número real, 0, tal que: a + 0 = 0 + a = a, y por lo tanto, 0 es el elemento identidad para la suma.
• Existe un único número real, 1, tal que: a * 1 = 1 * a = a, por lo tanto, 1 es el elemento identidad para el producto.

Inversos

• Para cada número real "a" existe un único "inverso aditivo" u "opuesto", denotado por -a, tal que: a + (-a) = a + (-1)a = 0.
• Para cada número real a ≠ 0 existe un único "inverso multiplicativo" o "recíproco", denotado por a^-1 ó 1/a tal que: a * a^-1 = a^-1 * a = 1, es decir, a * (1/a) = (1/a) * a = 1.
• El cero no posee inverso multiplicativo.
• Definición de resta: Sean a y b dos números reales, a - b = a + (-b)
• Definición de división: Sean a y b dos números reales, con b ≠ 0, a ÷ b = a * b^-1 = a * (1/b).

Valor Absoluto

• El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define como: |a| = a si a ≥ 0, o |a| = -a si a<0.
• Propiedades del valor absoluto:
  • |a * b| = |a| * |b|
  • |a / b| = |a| / |b|
  • |a| = |-a|
  • |a|² = a²
  • |a + b| ≤ |a| + |b| Desigualdad del triángulo
  • |a - b| ≥ |a| - |b|

Propiedades de Negativos

• (-1)a = -a
• -(-a) = a
• (-a)b = a(-b) = -(ab)
• (-a)(-b) = ab
• -(a + b) = -a - b
• -(a - b) = b - a

Propiedades de las Fracciones

• a/b · c/d = ac/bd
• a/b ÷ c/d = ad/bc
• a/c + b/c = (a + b) / c
• a/d + b/d = (ad + bc) / bd
• ac/bc = a/b
• Si a/b = c/d entonces ad = bc

Orden de las Operaciones

• En expresiones que involucran combinaciones de operaciones, el orden seguido es:
  • Realizar las opreaciones entre parentesis
  • Resolver los exponentes
  • Realice Multiplicaciones y divisiones
  • Realice Adiciones y substracciones

Conversión de Decimales a Fracciones

• Simples: Ejemplo: Convertir 1/3 1/3 = 0.33333 9x = parte_decimal x = 1/3

• Compuestas: Ejemplo: Convertir 7/15 parte_decimal = 6 parte_no_periódica = 4 100x = 46.666

• 10x = 4.666 90x = 42 x = 42/90