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Texto 1: Roberts - Ciencia de los números

• La consideración de las matemáticas como ciencia es debatible, especialmente en el contexto del método científico.
• La creatividad y la imaginación también juegan un papel importante.
• Las matemáticas se relacionan más con patrones en geometría o álgebra.

Patrones y Generalizaciones

• La demostración es la evidencia para afirmar un patrón en matemáticas.
• Las Técnicas son importantes, pero también lo son las preguntas, problemas y anomalías.
• Existe TdC (Teoría del Conocimiento) que analiza nuevas preguntas y cuestionamientos.

Discusión: Conjetura de Collatz

• La Conjetura de Collatz, también conocida como "secuencia de granizo", tiene reglas específicas:
  • Se toma cualquier número positivo.
  • Si es par, se divide el número a la mitad.
  • Si es impar, se multiplica por tres y se suma uno.
  • Este proceso se repite hasta que no produzca nuevos números.
• Independientemente del número inicial, siempre se termina en el ciclo (4, 2, 1).

Discusión Adicional

• Explicar por qué el ciclo (4, 2, 1) nunca cambia es posible, pero demostrar que todos los números terminan en ese ciclo es más complejo.
• A pesar de que todos los números probados hasta ahora terminan en el ciclo (4, 2, 1), no se ha ofrecido una prueba definitiva.
• Esto le da el nombre de "conjetura" en lugar de "teorema."
• La Figura 2.1 muestra un gráfico que representa los números entre 1 y 9999 (eje x) y la cantidad de veces que necesita aplicar el algoritmo para un número específico antes de terminas en el ciclo (4,2,1) (eje y).

Enlace a los conceptos de TdC y Preguntas de conocimiento (PdC)

• La generalización influye en la producción del conocimiento.

Métodos y Herramientas

• Se requiere generalizaciones en matemáticas.
• Encontrar un patrón sin probar la generalización tiene utilidad.
• Los patrones influyen el conocimiento matemático.
• Se tiene resultados matemáticos que no se pueden generalizar.

Prueba

• No todas las matemáticas están probadas.
• La conjetura es considerada cierta, pero carece de prueba.
• Identificar patrones lleva a generalizaciones.
• Un ejemplo es la "Rosa Mística", formada por puntos equidistantes en la circunferencia de un círculo.
• Una mayor cantidad de puntos mejora la elaboración.

Punto de Pensar: Círculos y Regiones

• Al unir puntos en círculos, se forman regiones.
• En los primeros cuatro círculos, el número de regiones es una potencia consecutiva de 2.
• Sin embargo, en el círculo 5, se esperan 32 regiones, pero resulta en 31.
• Este único contraejemplo refuta el patrón.

Refutación de Patrones

• En matemáticas, un solo contraejemplo puede refutar un resultado.
• Es crucial asegurarse de que las matemáticas estén probadas.
• Asumir que un patrón continúa no prueba una teoría.
• El patrón es una forma de prueba en el caso de la rosa mística. Si R es el número de regiones y nes el número de puntos en la circunferencia del círculo, entonces la fórmula que los conecta es R = (n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n + 24) / 24.

Enlace a los conceptos de TdC y Preguntas de conocimiento (PdC)

• Interrogantes sobre la naturaleza de la prueba.

Métodos y Herramientas

• ¿Cuánto patrón se necesita para encontrar una Generalización en matemáticas?
• ¿Hasta qué punto es seguro el conocimiento matemático?

Alcance

• ¿Hasta qué punto las matemáticas abordan la certeza?

Perspectiva

• ¿Qué sentido tiene el describir el estudio de las matemáticas como un arte?

Teoría vs. Aplicación

• ¿Se descubren las matemáticas o se inventan?
• Es más adecuado preguntar hasta qué punto se descubren y en qué medida se inventan.
• En teoría y aplicación, las matemáticas ya existen listas para se halladas, pero si es inventada, entonces debe aplicarse, a pesar de que sigue siendo complejo.

Discusión

• A veces, para facilitar la enseñanza, las matemáticas se dividen en dos ramas: puras y aplicadas.
• "Pura" se relaciona con la teoría.

Ejemplo

• Si se tiene un triángulo rectángulo.

• Puede calcularse el teorema de pitágoras con a² + b² = c².

• Esto es una manera de usar trigonometría básica para calcular el tamaño de ese ángulo.

• Las matemáticas utilizadas se conocen como identidad trigonométrica pitagórica, con lógica y concordancia.

• Para algunos, la producción de conocimiento es valiosa, mientras que otros quieren una aplicación al resultado.

Ejemplo 2: Crecimiento Poblacional

• La fórmula P = Poekt puede predecir el crecimiento de la población.
• P es la población en el momento t, Po es la población inicial, e vale 2.7182818, y k es una constante que se encuentra en el sitio de estudio.
• Se usa para saber qué tan bien funciona el modelo.

Enlace a los conceptos de TdC y pregunta de conocimiento (PdC)

• Está la justificación, análisis, certeza y verificación

Perspectivas

• ¿En qué medida se inventan las matemáticas y en qué medida se descubren?

Discusión

• Ejemplo del hombre, un zorro, un ganso y un saco de grano tienen que cruzar el río.
• Viaje 1: el hombre cruza el río con el ganso, dejando al zorro y el saco de grano.
• Viaje 2: el hombre regresa solo.
• Viaje 3: el hombre lleva al zorro a través del río, dejando el saco de grano.
• Viaje 4: el hombre regresa con la oca.
• Viaje 5: el hombre deja el ganso y cruza el saco de grano el rio.
• Viaje 6: el hombre regresa solo.
• Viaje 7: el hombre lleva el ganso a través del río. Ahora todos son transportados de forma segura a través del río.
• Este ejemplo se puede cambiar por animales, número, medio y vía para cruzarlo.
• Los juegos tienen variantes y costumbres culturales.

Enlace a los conceptos de TdC y pregunta de conocimiento (PdC)

• ¿Cómo se ve afectada la certeza de conocimiento matemático por el intento de aplicar las matemáticas al mundo real?
• ¿Hasta qué punto podría describirse las matemáticas como el lenguaje de la ciencia?
• ¿Cuánta matemática queda por descubrir?

Miradas Culturales

• La respuesta a las preguntas no varía según la cultura.
• La suma de dos fracciones será la misma en cualquier parte del mundo.

Punto de Pensar

• Un hombre, un zorro, un grano y un gangoso necesita transportarse por el río.
• El problema se remonta a miles de años atrás.
• Si se quedan el zorro solo con el ganso, este último se lo comerá.
• Si se queda el ganso solo con el grano, este último se lo comerá.
• ¿Cómo se tranpostará el hombre a los tres de forma segura al otro lado del río?

Enlace a los conceptos de TdC y preguntas de conocimiento (PdC)

• El efecto que tiene la cultura en cómo aplicamos las matemáticas

Alcance

• ¿Hasta qué punto se puede incorporar las dimensiones culturales al pensamiento lógico?
• ¿Cómo juega un papel la experiencia personal en la comprensión de las matemáticas?

Perspectivas

• ¿Tiene sentido describir conocimiento matemático como un artefacto

Alcance

• ¿Hasta qué punto la aplicación cultural de las matemáticas proporciona evidencia de la universalidad de las matemáticas?

Texto 2: Uzunova

• El lenguaje de las ciencias, aliado de las CCHH, así sería un debilitamiento sin las matemáticas algunas AdC.
• ¿Descubierto o creado?
• ¿Un lenguaje, una práctica, conocimiento?

Alcance

• Álgebra, aritmética y geometría eran usadas en la antigua Mesopatmia para diversa aplicaciones como la física, astronomía, arquitectura desde el año 3000 a.C.
• Medimos el tiempo y los ángulos utilizando el sistema numérico desde el número 60 de los Babilonicos.

¿Qué son las matemáticas?

• Son herramientas con aura de autoridad en base a que las demostraciones matemáticas son 100% ciertas y con cierta autoridad

¿Dónde están los límites de las matemáticas?

• Al describir, explicar o predecir se vislumbran los límites.
• Otros asumen a las matemáticas como la punto de referencia de la verdad.

La naturaleza y los límites de las matemáticas

• ¿Dónde describiría el Alcance de las matemáticas y los fenómenos más allá de las matemáticas?
• ¿Qué evidencia hay que sugiera que hay algunas cosas que nunca podemos describir o explicar matemáticamente?
• ¿La descripción matemática es más precisa, las explicaciones matemáticas son más verdaderas y las predicciones matemáticas son más seguras que las de otras AdC?

Perspectivas

Métodos y Herramientas

Ética