Turbulent Flow: Velocity Profile Equations

• Ang layunin ng pag-aaral na ito ay bumuo ng mga equation para ilarawan ang average velocity profile sa turbulent flow.

Pagbabalik-tanaw

• Ayon sa dimensional analysis ng "overlap layer":
  • $\frac{d}{dy} = \frac{u_*}{\kappa y}$
  • Kung saan:
    • Ang ay average velocity
    • Ang $y$ ay distansya mula sa pader
    • Ang $u_* = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}$ ay friction velocity
    • Ang $\kappa \approx 0.41$ ay Von Karman constant

Pagsasama (Integrating)

• Ang pagsasama ng equation sa itaas ay nagbibigay ng:
  • $= \frac{u_*}{\kappa} ln(y) + C$
  • Ang equation na ito ay may mga problema:
    • Hinuhulaan nito na $ \rightarrow \infty$ kapag $y \rightarrow \infty$
    • Hinuhulaan nito na $ \rightarrow -\infty$ kapag $y \rightarrow 0$

Ang "Law of the Wall"

• Ang "Law of the Wall" ay ibinibigay ng:
  • $\frac{}{u_} = \frac{1}{\kappa} ln(\frac{\rho u_ y}{\mu}) + B$
  • Kung saan $B \approx 5.0$

Dimensionless Variables

• Mahalaga na tukuyin ang dimensionless variables:
  • $u^+ = \frac{}{u_}$, $y^+ = \frac{\rho u_ y}{\mu}$
• Kaya, ang "Law of the Wall" ay nagiging:
  • $u^+ = \frac{1}{\kappa} ln(y^+) + B$
  • $u^+ = \frac{1}{0.41} ln(y^+) + 5.0$
  • $u^+ = 2.44 ln(y^+) + 5.0$

Linear Viscous Sublayer

• Sinasabi ng datos na malapit sa pader, ang velocity profile ay linear
  • $u^+ = y^+$ para sa $y^+ < 5$

Buffer Layer

• Ang rehiyon na $5 < y^+ < 30$ ay kilala bilang "buffer layer" at ito ay isang transition region sa pagitan ng linear viscous sublayer at turbulent region.

Empirical Fit

• Isang empirical fit sa experimental data na kapaki-pakinabang para sa buong turbulent region:
  • $u^+ = 2.5 ln(y^+) + 5.5$
  • o
  • $= u_* [2.5 ln(\frac{\rho u_* y}{\mu}) + 5.5]$

Halimbawa: Tubig sa isang tubo

• Tubig sa $20^\circ C$ na dumadaloy sa tubo na may diameter na $D = 1 in = 0.0254 m$ sa isang flow rate na $Q = 0.0005 m^3/s$. Ang pressure drop ay sinusukat na $\Delta P = 4136 Pa$ sa haba na $L = 10 m$.
  • Tantyahin ang friction velocity na $u_*$.
  • Tantyahin ang average velocity na sa $y = 0.001 m$ mula sa pader.

Solusyon

• Force balance sa isang seksyon ng tubo:
  • $\Delta P \frac{\pi D^2}{4} = \tau_w \pi D L$
  • $\tau_w = \frac{\Delta P D}{4 L} = \frac{(4136 Pa)(0.0254 m)}{4 (10 m)} = 2.63 Pa$
  • $u_* = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}} = \sqrt{\frac{2.63 Pa}{1000 kg/m^3}} = 0.0513 m/s$
• $\frac{\rho u_* y}{\mu} = \frac{(1000 kg/m^3)(0.0513 m/s)(0.001 m)}{1.003 x 10^{-3} Pa \cdot s} = 51.14$
• $ = (0.0513 m/s)[2.5 ln(51.14) + 5.5] = 0.35 m/s$