Tribu et Mesure de Probabilité
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Questions and Answers

Quelle caractéristique définit une tribu dans un espace probabilisé ?

  • La classe doit être définie par une mesure de probabilité nulle.
  • La classe doit être stable par complément et par union dénombrable. (correct)
  • La classe doit contenir uniquement des événements indécomposables.
  • La classe doit contenir tous les sous-ensembles de Ω.

Qu'est-ce qu'une mesure de probabilité sur un espace probabilisable ?

  • Une évaluation basée sur la fréquence apparente des événements.
  • Une fonction qui attribue une valeur de 0 à chaque événement.
  • Une fonction qui calcule seulement la probabilité des événements élémentaires.
  • Une application qui associe des événements à des valeurs dans [0, 1]. (correct)

Que signifie l'additivité σ pour une mesure de probabilité ?

  • La probabilité d'un événement peut dépasser 1 dans certains cas.
  • La mesure est constante quel que soit l'événement considéré.
  • La somme des probabilités d'événements disjoints est égale à une seule probabilité.
  • La somme des probabilités d'une suite d'événements disjoints est égale à la probabilité de leur union. (correct)

Quel énoncé est vrai concernant les événements dans une tribu ?

<p>L'événement complet Ω doit appartenir à la tribu. (A)</p> Signup and view all the answers

Comment est notée une mesure de probabilité sur un espace probabilisé ?

<p>P pour les applications de A dans [0,1]. (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est le résultat de P(Ω) pour une mesure de probabilité ?

<p>P(Ω) doit être égal à 1. (C)</p> Signup and view all the answers

Lorsque (An)n∈N est une suite d'événements de A, que signifie la continuité croissante ?

<p>La probabilité de l'union des événements An est croissante. (A)</p> Signup and view all the answers

Que signifie stabiliser par union dénombrable dans le contexte d'une tribu ?

<p>L'union d'une suite dénombrable d'événements dans A doit aussi être dans A. (C)</p> Signup and view all the answers

Que se passe-t-il avec la limite de P(A_n) si la suite (A_n) est croissante ?

<p>La limite existe et est égale à P. (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle condition doit être remplie pour que la probabilité conditionnelle P(A|B) soit définie ?

<p>P(B) doit être supérieur à 0. (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle affirmation est vraie concernant une suite décroissante d'événements (A_n) ?

<p>La limite de P(A_n) existe et est égale à P. (A)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un système complet d'événements ?

<p>Une famille d'événements disjoints dont la somme des probabilités est égale à 1. (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle expression représente la probabilité de la réunion d'une collection d'événements ?

<p>P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (C)</p> Signup and view all the answers

Combien de conditions doivent être satisfaites pour qu'un ensemble d'événements soit considéré comme un système quasi complet ?

<p>Trois conditions. (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour calculer P(A_1 ∩ · · · ∩ A_n+1) pour des événements A_1, A_2, ..., A_n+1 ?

<p>P(A_1 ∩ · · · ∩ A_n+1) = P(A_1) × P(A_2|A_1) × P(A_3|A_1 ∩ A_2) × · · · × P(A_n+1|A_1 ∩ · · · ∩ A_n) (A)</p> Signup and view all the answers

La sous-additivité des probabilités s'applique à quel type d'événements ?

<p>À une suite d'événements. (C)</p> Signup and view all the answers

Quel est l'expression qui définit la loi géométrique de paramètre p ?

<p>P(X = n) = pq^{n-1} (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la variance d'une variable aléatoire suivant la loi géométrique ?

<p>p^2 (C)</p> Signup and view all the answers

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, quelle est la relation entre leur loi jointe et leurs lois marginales ?

<p>P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) * P(Y = y_j) (C)</p> Signup and view all the answers

Que décrit la loi conditionnelle de Y sachant que X = x_i ?

<p>P(Y = y_j | X = x_i) = P(X = x_i, Y = y_j) / P(X = x_i) (A)</p> Signup and view all the answers

Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant la loi de Poisson ?

<p>P(X = n) = e^{-λ} λ^n / n! (D)</p> Signup and view all the answers

Comment est caractérisé le temps d'attente du premier succès dans une expérience suivant la loi géométrique ?

<p>Il suit une loi géométrique de paramètre p. (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est l'expression qui décrit la relation entre les lois marginales et la loi jointe pour des variables aléatoires discrètes ?

<p>P(X = x_i) = Σ P(X = x_i, Y = y_j) ∀ j (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle condition est requise pour que deux variables aléatoires soient indépendantes ?

<p>P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i)P(Y = y_j) (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle condition permet à une variable aléatoire discrète X d'avoir une espérance?

<p>Si la série $ orall i i I |x_i| ullet P(X=x_i)$ est finie. (C)</p> Signup and view all the answers

Comment se définit la covariance entre deux variables aléatoires X et Y?

<p>Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle assertion est vraie concernant l'intégrabilité d'une fonction f(X)?

<p>f(X) est intégrable si la somme $i i I |f(x_i)|P(X=x_i)$ est finie. (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle propriété définit un espace probabilisé ?

<p>P(Ω) = 1 et σ-additivité (B)</p> Signup and view all the answers

Dans quelles conditions deux variables X et Y indépendantes sont-elles intégrables?

<p>E(XY) = E(X)E(Y). (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est le principe de la sous-additivité des probabilités ?

<p>P +∞n=0 A n ≤ n=0 P(A n) (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes X et Y?

<p>Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). (B)</p> Signup and view all the answers

Comment est défini P(A|B) lorsque P(B) > 0 ?

<p>P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (D)</p> Signup and view all the answers

Dans le cas de probabilités composées, quelle est l'expression correcte ?

<p>P(A1 ∩ · · · ∩ An) = P(A1) × P(A2|A1) × P(A3|A1 ∩ A2) (A)</p> Signup and view all the answers

Qu'implique la continuité croissante des probabilités ?

<p>Si (An)n∈N est croissante alors P(An) augmente continuellement. (C)</p> Signup and view all the answers

Dans le contexte de l'indépendance, quel est le critère pour des événements A et B ?

<p>A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)P(B) (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la formule correcte pour calculer la variance d'une variable aléatoire?

<p>Var(X) = E(X²) - µ² (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle condition doit être vérifiée pour qu'une variable aléatoire X soit intégrable ?

<p>X2 doit être intégrable (C)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui est faux concernant la formule de Bayes ?

<p>La formule ne peut être utilisée que pour des événements disjoints (B)</p> Signup and view all the answers

L'expression 'X ⊥⊥ Y' désigne quoi?

<p>X et Y sont indépendants (D)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire discrète?

<p>Une variable qui peut prendre un nombre dénombrable de valeurs (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle loi est représentée par la formule X → B(n, p)?

<p>Loi binomiale (A)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une loi conditionnelle?

<p>Une loi décrivant la distribution d'une variable donnée la valeur d'une autre (D)</p> Signup and view all the answers

Quels ensembles sont considérés comme dénombrables?

<p>L'ensemble des entiers naturels (B), L'ensemble des couples (x, y) où x et y sont naturels (D)</p> Signup and view all the answers

La loi de Bernoulli est appliquée dans quel contexte?

<p>Pour les expériences avec un seul essai de succès ou d'échec (A)</p> Signup and view all the answers

Que se passe-t-il si X et Y sont indépendantes et suivent des lois de Poisson?

<p>Z = X + Y suit une loi de Poisson avec paramètre λ + µ (B)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Tribu

Une tribu est un ensemble de sous-ensembles d'un ensemble Ω qui vérifie certaines propriétés, notamment la présence de l'ensemble vide et de Ω, la stabilité par complémentaire, l'union et l'intersection dénombrables.

Mesure de probabilité

Une mesure de probabilité est une fonction qui associe à chaque événement de Ω une probabilité comprise entre 0 et 1, en respectant certaines propriétés comme P(Ω)=1 et la σ-additivité.

σ-additivité

La σ-additivité stipule que la probabilité de l'union d'une infinité d'événements mutuellement exclusifs est égale à la somme des probabilités individuelles de ces événements.

Continuité croissante

La continuité croissante d'une suite d'événements signifie que la probabilité de la limite supérieure de la suite est égale à la limite des probabilités de la suite.

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Continuité décroissante

La continuité décroissante d'une suite d'événements signifie que la probabilité de la limite inférieure de la suite est égale à la limite des probabilités de la suite.

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Limite de la probabilité d'une suite croissante d'événements

Si une suite d'événements (Aₙ) est croissante, la limite de la probabilité de Aₙ existe et est égale à la probabilité de l'union de tous les Aₙ.

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Limite de la probabilité d'une suite décroissante d'événements

Si une suite d'événements (Aₙ) est décroissante, la limite de la probabilité de Aₙ existe et est égale à la probabilité de l'intersection de tous les Aₙ.

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Sous-additivité des probabilités

Pour toute suite d'événements (Aₙ), la probabilité de l'union de tous les Aₙ est inférieure ou égale à la somme des probabilités de chaque Aₙ.

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Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de A sachant B est la probabilité que A se produise sachant que B est déjà survenu.

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Probabilités composées

La probabilité de l'intersection de n événements est égale au produit de la probabilité du premier événement par la probabilité conditionnelle du deuxième événement sachant le premier, et ainsi de suite.

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Système complet d'événements

Une famille d'événements est dite complète si leur union est égale à l'univers.

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Système quasi complet d'événements

Une famille d'événements est dite quasi complète si la somme de leurs probabilités est égale à 1.

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Espace probabilisé

Ensemble de tous les événements possibles d'une expérience aléatoire, avec une tribu qui définit les événements mesurables.

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Espace probabilisable

Un espace probabilisé muni d'une mesure de probabilité.

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Ensemble dénombrable

Un ensemble est dénombrable s’il existe une bijection entre lui et l’ensemble des entiers naturels (N).

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Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète est une variable dont les valeurs possibles sont finies ou dénombrables.

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Loi d'une variable aléatoire discrète

La loi d'une variable aléatoire discrète est la donnée de toutes les valeurs possibles qu'elle peut prendre, ainsi que la probabilité de chacune de ces valeurs.

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Espérance (E(X)) d'une variable aléatoire

L'espérance, notée E(X), représente la valeur moyenne que l'on attend d'une variable aléatoire X sur un grand nombre de réalisations.

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Variance (Var(X)) d'une variable aléatoire

La variance d'une variable aléatoire X, notée Var(X), mesure la dispersion des valeurs autour de son espérance.

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Formule de König-Huygens

La formule de König-Huygens permet de calculer la variance d'une variable aléatoire discrète à partir de l'espérance du carré de la variable et de l'espérance de la variable elle-même.

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Loi conditionnelle

La loi conditionnelle de Y sachant {X = x} est la distribution de Y lorsque X prend la valeur x.

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Indépendance de variables aléatoires

Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si la probabilité qu'elles prennent simultanément des valeurs spécifiques est égale au produit des probabilités individuelles de ces valeurs.

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Loi Géométrique

Une variable aléatoire X définie sur (Ω, A , P) suit la loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[ si X (Ω) = N∗ q et ∀n > 1, P(X = n) = pq n−1 , où q = 1 − p. Dans ce cas E(X ) = p1 et Var(X ) = p 2. X représente alors le temps d’attente du premier succès lors d’une répétition indépendante d’une expérience à deux issues où la probabilité de succès vaut p.

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Caractérisation de la loi géométrique

Une variable aléatoire X définie sur (Ω, A , P) à valeurs dans N suit la loi géométrique de paramètre p ssi ∀n ∈ N, P(X > n) = q n , où q = 1 − p.

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Loi de Poisson

Une variable aléatoire X définie sur (Ω, A , P) suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 si X (Ω) = N et ∀n ∈ N, P(X = n) = e−λ λn!. Dans ce cas E(X ) = λ et Var(X ) = λ.

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Loi jointe

Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé (Ω, A , P), déterminer la loi jointe du couple (X , Y ) revient à — déterminer l’ensemble des valeurs (x i )i ∈I prises par X et l’ensemble des valeurs (y i ) j ∈J prises par Y — déterminer pour chaque (i , j ) ∈ I × J la quantité P(X = x i , Y = y j ).

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Lois marginales

Si la loi jointe du couple (X , Y ) est connue, les lois de X et Y sont respectivement données par : ∀i ∈ I , P(X = x i ) = P(X = x i , Y = y j ) et ∀ j ∈ J , P(Y = y j ) = P(X = x i , Y = y j ).P P j ∈J i ∈I

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Espérance d’une variable aléatoire discrète

L'espérance d'une variable aléatoire discrète X est définie comme la somme de chaque valeur possible de X multipliée par sa probabilité correspondante, si cette somme est finie.

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Théorème de transfert (espérance discrète)

Le théorème de transfert pour l'espérance d'une variable aléatoire discrète X permet de calculer l'espérance d'une fonction de X en utilisant la somme des produits de la valeur de la fonction et de la probabilité de chaque valeur de X.

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Covariance

La covariance mesure la dépendance linéaire entre deux variables aléatoires. Si la covariance est positive, les variables varient dans le même sens ; si elle est négative, elles varient en sens inverse.

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Variance

La variance d'une variable aléatoire mesure sa dispersion autour de sa moyenne. Plus la variance est élevée, plus la dispersion est importante.

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Variance d'une somme de variables indépendantes

La variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances.

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Study Notes

Probabilités (Petit Cadeau de Noël)

  • Consignes: Le travail commence par la restitution écrite d'énoncés mathématiques choisis par l'examinateur. Cette présentation dure 8 minutes maximum. Les énoncés manquants sont considérés comme non réussis. La semaine comprend un énoncé de chaque catégorie : "Espaces probabilisés", "Lois usuelles", "Variables aléatoires discrètes" et "Couples de variables aléatoires". Le travail se poursuit par la résolution d'exercices.
  • Notation: La note est basée sur la connaissance du cours. 4 énoncés réussis : note minimale 9/20. 1 énoncé erroné ou non réussi : note maximale 13/20. 2 énoncés erronés : note maximale 9/20. Au moins 3 énoncés erronés : note maximale 6/20. Le correcteur peut attribuer toute note de 0 à 20 en respectant les contraintes.

Espaces Probabilisés

  • Tribu: Une classe A de parties de Ω est une tribu si elle contient Ø et Ω, est stable par complémentation (A ∈ A ⇒ Ac ∈ A) et par union et intersection dénombrables.
  • Mesure de probabilité: Une mesure de probabilité P sur un espace probabilisable (Ω, A) est une application de A dans [0, 1] avec P(Ω) = 1 et qui est σ-additive. Pour une suite d'évènements deux à deux incompatibles, P(∪An) = ΣP(An).
  • Continuité (croissante, décroissante): Pour une suite croissante (An) d'évènements, la limite P(An) existe et est égale à P(∪An). Pour une suite décroissante (An), la limite P(An) existe et est égale à P(∩An).
  • Sous-additivité: Pour toute suite (An) d'évènements, P(∪An) ≤ ΣP(An).

Probabilités Conditionnelles

  • La probabilité conditionnelle de A sachant B est P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), si P(B) > 0.
  • Probabilités composées: P(A₁ ∩ ... ∩ An+1) = P(A₁) × P(A₂|A₁) × ... × P(An+1|A₁ ∩ ... ∩ An).

Système Complet/Quasi-Complet d'évènements

  • Un système complet (resp. quasi complet) est une famille finie ou dénombrable d'évènements (Ai)ieI qui sont deux à deux incompatibles et qui couvrent l'espace Ω (resp. dont la somme des probabilités est 1).
  • Formule des probabilités totales: P(B) = ΣP(Aᵢ ∩ B).
    • P(B) = ΣP(B|Aᵢ) × P(Aᵢ).
  • Formule de Bayes: P(Aⱼ|B) = [P(B|Aⱼ) × P(Aⱼ)] / P(B).

Indépendance

  • Des évènements A₁, ..., Aₙ sont indépendants si P(A₁ ∩ ... ∩ Aₙ) = P(A₁) × ... × P(Aₙ).
  • Une famille dénombrable d'évènements est indépendante si toutes ses sous-familles finies sont indépendantes.

Variables aléatoires discrètes

  • Loi d'une v.a. discrète: Pour déterminer la loi d'une v.a. discrète, il faut connaître l'ensemble des valeurs possibles prises par la v.a. et la probabilité associée à chaque valeur.
  • Variables aléatoires ayant la même loi: Deux variables aléatoires ont la même loi si elles prennent les mêmes valeurs possibles avec les mêmes probabilités.
  • Espérance: Soit X une v.a discrète qui prend les valeurs (xᵢ)i∈I, l'espérance E(X) est définie par E(X) = ΣᵢxᵢP(X = xᵢ ), si la série converge.
  • Variance: Var(X) = E[(X - μ)²] où μ = E(X). La variance est calculable pour X de carré intégrable.

Couples de Variables Aléatoires

  • Loi jointe: La loi jointe du couple (X, Y) décrit la probabilité que X prenne la valeur xᵢ et Y prenne la valeur yⱼ.
  • Lois marginales: Les lois marginales de X et Y sont obtenues à partir de la loi jointe.
  • Loi conditionnelle: La loi conditionnelle de Y sachant X = xᵢ indique la probabilité que Y prenne la valeur yⱼ sachant que X = xᵢ.
  • Indépendance: X et Y sont indépendantes si P(X = xᵢ, Y = yⱼ) = P(X = xᵢ)P(Y = yⱼ).

Autres (résumés)

  • Variance d'une somme: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y). Si X et Y sont indépendants, Cov(X, Y) = 0.
  • Covariance: Mesure la relation linéaire entre deux variables aléatoires.
  • Inégalités de Cauchy-Schwarz: inégalités portant sur le produit scalaire de deux vecteurs.

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Description

Ce quiz explore les concepts fondamentaux de la théorie des probabilités, y compris la définition d'une tribu, la mesure de probabilité et les propriétés des événements. Testez votre compréhension des notions de continuité croissante et d'additivité σ. Préparez-vous à répondre à des questions sur les événements et les probabilités conditionnelles.

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