Tribu et Mesure de Probabilité

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Questions and Answers

Quelle caractéristique définit une tribu dans un espace probabilisé ?

La classe doit être définie par une mesure de probabilité nulle.

La classe doit être stable par complément et par union dénombrable. (correct)

La classe doit contenir uniquement des événements indécomposables.

La classe doit contenir tous les sous-ensembles de Ω.

Qu'est-ce qu'une mesure de probabilité sur un espace probabilisable ?

Une évaluation basée sur la fréquence apparente des événements.

Une fonction qui attribue une valeur de 0 à chaque événement.

Une fonction qui calcule seulement la probabilité des événements élémentaires.

Une application qui associe des événements à des valeurs dans [0, 1]. (correct)

Que signifie l'additivité σ pour une mesure de probabilité ?

La probabilité d'un événement peut dépasser 1 dans certains cas.

La mesure est constante quel que soit l'événement considéré.

La somme des probabilités d'événements disjoints est égale à une seule probabilité.

La somme des probabilités d'une suite d'événements disjoints est égale à la probabilité de leur union. (correct)

Quel énoncé est vrai concernant les événements dans une tribu ?

L'événement complet Ω doit appartenir à la tribu. Signup and view all the answers

Comment est notée une mesure de probabilité sur un espace probabilisé ?

P pour les applications de A dans [0,1]. Signup and view all the answers

Quel est le résultat de P(Ω) pour une mesure de probabilité ?

P(Ω) doit être égal à 1. Signup and view all the answers

Lorsque (An)n∈N est une suite d'événements de A, que signifie la continuité croissante ?

La probabilité de l'union des événements An est croissante. Signup and view all the answers

Que signifie stabiliser par union dénombrable dans le contexte d'une tribu ?

L'union d'une suite dénombrable d'événements dans A doit aussi être dans A. Signup and view all the answers

Que se passe-t-il avec la limite de P(A_n) si la suite (A_n) est croissante ?

La limite existe et est égale à P. Signup and view all the answers

Quelle condition doit être remplie pour que la probabilité conditionnelle P(A|B) soit définie ?

P(B) doit être supérieur à 0. Signup and view all the answers

Quelle affirmation est vraie concernant une suite décroissante d'événements (A_n) ?

La limite de P(A_n) existe et est égale à P. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un système complet d'événements ?

Une famille d'événements disjoints dont la somme des probabilités est égale à 1. Signup and view all the answers

Quelle expression représente la probabilité de la réunion d'une collection d'événements ?

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Signup and view all the answers

Combien de conditions doivent être satisfaites pour qu'un ensemble d'événements soit considéré comme un système quasi complet ?

Trois conditions. Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour calculer P(A_1 ∩ · · · ∩ A_n+1) pour des événements A_1, A_2, ..., A_n+1 ?

P(A_1 ∩ · · · ∩ A_n+1) = P(A_1) × P(A_2|A_1) × P(A_3|A_1 ∩ A_2) × · · · × P(A_n+1|A_1 ∩ · · · ∩ A_n) Signup and view all the answers

La sous-additivité des probabilités s'applique à quel type d'événements ?

À une suite d'événements. Signup and view all the answers

Quel est l'expression qui définit la loi géométrique de paramètre p ?

P(X = n) = pq^{n-1} Signup and view all the answers

Quelle est la variance d'une variable aléatoire suivant la loi géométrique ?

p^2 Signup and view all the answers

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, quelle est la relation entre leur loi jointe et leurs lois marginales ?

P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) * P(Y = y_j) Signup and view all the answers

Que décrit la loi conditionnelle de Y sachant que X = x_i ?

P(Y = y_j | X = x_i) = P(X = x_i, Y = y_j) / P(X = x_i) Signup and view all the answers

Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant la loi de Poisson ?

P(X = n) = e^{-λ} λ^n / n! Signup and view all the answers

Comment est caractérisé le temps d'attente du premier succès dans une expérience suivant la loi géométrique ?

Il suit une loi géométrique de paramètre p. Signup and view all the answers

Quelle est l'expression qui décrit la relation entre les lois marginales et la loi jointe pour des variables aléatoires discrètes ?

P(X = x_i) = Σ P(X = x_i, Y = y_j) ∀ j Signup and view all the answers

Quelle condition est requise pour que deux variables aléatoires soient indépendantes ?

P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i)P(Y = y_j) Signup and view all the answers

Quelle condition permet à une variable aléatoire discrète X d'avoir une espérance?

Si la série $orall i i I |x_i| ullet P(X=x_i)$ est finie. Signup and view all the answers

Comment se définit la covariance entre deux variables aléatoires X et Y?

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Signup and view all the answers

Quelle assertion est vraie concernant l'intégrabilité d'une fonction f(X)?

f(X) est intégrable si la somme $i i I |f(x_i)|P(X=x_i)$ est finie. Signup and view all the answers

Quelle propriété définit un espace probabilisé ?

P(Ω) = 1 et σ-additivité Signup and view all the answers

Dans quelles conditions deux variables X et Y indépendantes sont-elles intégrables?

E(XY) = E(X)E(Y). Signup and view all the answers

Quel est le principe de la sous-additivité des probabilités ?

P +∞n=0 A n ≤ n=0 P(A n) Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes X et Y?

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). Signup and view all the answers

Comment est défini P(A|B) lorsque P(B) > 0 ?

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) Signup and view all the answers

Dans le cas de probabilités composées, quelle est l'expression correcte ?

P(A1 ∩ · · · ∩ An) = P(A1) × P(A2|A1) × P(A3|A1 ∩ A2) Signup and view all the answers

Qu'implique la continuité croissante des probabilités ?

Si (An)n∈N est croissante alors P(An) augmente continuellement. Signup and view all the answers

Dans le contexte de l'indépendance, quel est le critère pour des événements A et B ?

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)P(B) Signup and view all the answers

Quelle est la formule correcte pour calculer la variance d'une variable aléatoire?

Var(X) = E(X²) - µ² Signup and view all the answers

Quelle condition doit être vérifiée pour qu'une variable aléatoire X soit intégrable ?

X2 doit être intégrable Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui est faux concernant la formule de Bayes ?

La formule ne peut être utilisée que pour des événements disjoints Signup and view all the answers

L'expression 'X ⊥⊥ Y' désigne quoi?

X et Y sont indépendants Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire discrète?

Une variable qui peut prendre un nombre dénombrable de valeurs Signup and view all the answers

Quelle loi est représentée par la formule X → B(n, p)?

Loi binomiale Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une loi conditionnelle?

Une loi décrivant la distribution d'une variable donnée la valeur d'une autre Signup and view all the answers

Quels ensembles sont considérés comme dénombrables?

L'ensemble des entiers naturels Signup and view all the answers

La loi de Bernoulli est appliquée dans quel contexte?

Pour les expériences avec un seul essai de succès ou d'échec Signup and view all the answers

Que se passe-t-il si X et Y sont indépendantes et suivent des lois de Poisson?

Z = X + Y suit une loi de Poisson avec paramètre λ + µ Signup and view all the answers

Study Notes

Probabilités (Petit Cadeau de Noël)

Consignes: Le travail commence par la restitution écrite d'énoncés mathématiques choisis par l'examinateur. Cette présentation dure 8 minutes maximum. Les énoncés manquants sont considérés comme non réussis. La semaine comprend un énoncé de chaque catégorie : "Espaces probabilisés", "Lois usuelles", "Variables aléatoires discrètes" et "Couples de variables aléatoires". Le travail se poursuit par la résolution d'exercices.
Notation: La note est basée sur la connaissance du cours. 4 énoncés réussis : note minimale 9/20. 1 énoncé erroné ou non réussi : note maximale 13/20. 2 énoncés erronés : note maximale 9/20. Au moins 3 énoncés erronés : note maximale 6/20. Le correcteur peut attribuer toute note de 0 à 20 en respectant les contraintes.

Espaces Probabilisés

Tribu: Une classe A de parties de Ω est une tribu si elle contient Ø et Ω, est stable par complémentation (A ∈ A ⇒ Ac ∈ A) et par union et intersection dénombrables.
Mesure de probabilité: Une mesure de probabilité P sur un espace probabilisable (Ω, A) est une application de A dans [0, 1] avec P(Ω) = 1 et qui est σ-additive. Pour une suite d'évènements deux à deux incompatibles, P(∪An) = ΣP(An).
Continuité (croissante, décroissante): Pour une suite croissante (An) d'évènements, la limite P(An) existe et est égale à P(∪An). Pour une suite décroissante (An), la limite P(An) existe et est égale à P(∩An).
Sous-additivité: Pour toute suite (An) d'évènements, P(∪An) ≤ ΣP(An).

Probabilités Conditionnelles

La probabilité conditionnelle de A sachant B est P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), si P(B) > 0.
Probabilités composées: P(A₁ ∩ ... ∩ An+1) = P(A₁) × P(A₂|A₁) × ... × P(An+1|A₁ ∩ ... ∩ An).

Système Complet/Quasi-Complet d'évènements

Un système complet (resp. quasi complet) est une famille finie ou dénombrable d'évènements (Ai)ieI qui sont deux à deux incompatibles et qui couvrent l'espace Ω (resp. dont la somme des probabilités est 1).
Formule des probabilités totales: P(B) = ΣP(Aᵢ ∩ B).
- P(B) = ΣP(B|Aᵢ) × P(Aᵢ).
Formule de Bayes: P(Aⱼ|B) = [P(B|Aⱼ) × P(Aⱼ)] / P(B).

Indépendance

Des évènements A₁, ..., Aₙ sont indépendants si P(A₁ ∩ ... ∩ Aₙ) = P(A₁) × ... × P(Aₙ).
Une famille dénombrable d'évènements est indépendante si toutes ses sous-familles finies sont indépendantes.

Variables aléatoires discrètes

Loi d'une v.a. discrète: Pour déterminer la loi d'une v.a. discrète, il faut connaître l'ensemble des valeurs possibles prises par la v.a. et la probabilité associée à chaque valeur.
Variables aléatoires ayant la même loi: Deux variables aléatoires ont la même loi si elles prennent les mêmes valeurs possibles avec les mêmes probabilités.
Espérance: Soit X une v.a discrète qui prend les valeurs (xᵢ)i∈I, l'espérance E(X) est définie par E(X) = ΣᵢxᵢP(X = xᵢ ), si la série converge.
Variance: Var(X) = E[(X - μ)²] où μ = E(X). La variance est calculable pour X de carré intégrable.

Couples de Variables Aléatoires

Loi jointe: La loi jointe du couple (X, Y) décrit la probabilité que X prenne la valeur xᵢ et Y prenne la valeur yⱼ.
Lois marginales: Les lois marginales de X et Y sont obtenues à partir de la loi jointe.
Loi conditionnelle: La loi conditionnelle de Y sachant X = xᵢ indique la probabilité que Y prenne la valeur yⱼ sachant que X = xᵢ.
Indépendance: X et Y sont indépendantes si P(X = xᵢ, Y = yⱼ) = P(X = xᵢ)P(Y = yⱼ).

Autres (résumés)

Variance d'une somme: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y). Si X et Y sont indépendants, Cov(X, Y) = 0.
Covariance: Mesure la relation linéaire entre deux variables aléatoires.
Inégalités de Cauchy-Schwarz: inégalités portant sur le produit scalaire de deux vecteurs.

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Description

Ce quiz explore les concepts fondamentaux de la théorie des probabilités, y compris la définition d'une tribu, la mesure de probabilité et les propriétés des événements. Testez votre compréhension des notions de continuité croissante et d'additivité σ. Préparez-vous à répondre à des questions sur les événements et les probabilités conditionnelles.