Triángulos: Medianas y Alturas

• Las líneas notables de un triángulo son segmentos o rectas con propiedades especiales y puntos de intersección relevantes.

Mediana

• La mediana es el segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
• Todo triángulo presenta tres medianas, una desde cada vértice.
• El punto de intersección de las medianas es el baricentro o centroide del triángulo.
• El baricentro divide cada mediana en una razón de 2:1; la distancia del vértice al baricentro es el doble de la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto.
• El baricentro es el centro de gravedad del triángulo.

Altura

• La altura es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
• Cada triángulo tiene tres alturas, una desde cada vértice.
• El ortocentro del triángulo es el punto donde se intersectan las tres alturas.
• En un triángulo acutángulo (todos los ángulos agudos), el ortocentro se ubica dentro del triángulo.
• En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
• En un triángulo obtusángulo (un ángulo obtuso), el ortocentro se encuentra fuera del triángulo.

Bisectriz

• La bisectriz es la recta que divide un ángulo del triángulo en dos ángulos iguales.
• Todo triángulo tiene tres bisectrices, una para cada ángulo interior.
• El incentro es el punto donde se intersectan las bisectrices del triángulo.
• El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a los tres lados del triángulo.
• La distancia desde el incentro a cada lado del triángulo es idéntica y corresponde al radio de la circunferencia inscrita.

Mediatriz

• La mediatriz es la recta perpendicular a un lado del triángulo que pasa por su punto medio.
• Cada triángulo tiene tres mediatrices, una por lado.
• El circuncentro es el punto de confluencia de las tres mediatrices del triángulo.
• El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por los tres vértices del triángulo.
• La distancia desde el circuncentro a cada vértice del triángulo es igual y corresponde al radio de la circunferencia circunscrita.
• En un triángulo acutángulo, el circuncentro está dentro del triángulo.
• En un triángulo rectángulo, el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa.
• En un triángulo obtusángulo, el circuncentro se halla fuera del triángulo.

Resumen de Puntos Notables

• Baricentro: Intersección de las medianas y centro de gravedad del triángulo.
• Ortocentro: Intersección de las alturas; su ubicación varía según el tipo de triángulo (acutángulo, rectángulo, obtusángulo).
• Incentro: Intersección de las bisectrices y centro de la circunferencia inscrita.
• Circuncentro: Intersección de las mediatrices y centro de la circunferencia circunscrita.

Recta de Euler

• En cualquier triángulo no equilátero, el ortocentro, el baricentro y el circuncentro son colineales, situados sobre la recta de Euler.
• El baricentro siempre se ubica entre el ortocentro y el circuncentro; la distancia del ortocentro al baricentro duplica la distancia del baricentro al circuncentro.
• El incentro no siempre se encuentra en la recta de Euler.

Triángulos Isósceles y Equiláteros

• En un triángulo isósceles, la altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz correspondientes al lado diferente (base) coinciden en una misma línea.
• En un triángulo equilátero, las tres alturas, medianas, bisectrices y mediatrices coinciden, y los cuatro puntos notables (baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro) son el mismo punto.

Explora las líneas notables de un triángulo: medianas y alturas. La mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto, mientras que la altura es perpendicular al lado opuesto. Se explica el concepto de baricentro y ortocentro.