Triangularizare Ortogonală Matematică
52 Questions
1 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Ce condiție trebuie satisfăcută pentru ca o matrice Q să fie ortogonală?

  • QT  Q = Im
  • Niciuna dintre relațiile de mai sus
  • QT = Q-1
  • Ambele relații de mai sus (correct)

    • Care dintre următoarele proprietăți este caracteristică unei matrici ortogonale Q?

  • Q păstrează norma vectorială euclidiană
  • Colturile matricii Q sunt ortogonale
  • Q este inversabilă
  • Toate opțiunile de mai sus (correct)

    • Ce reprezintă matricea Householder U?

  • O matrice de proiecție
  • O matrice de rotație
  • O matrice ortogonală (correct)
  • O matrice de reflexie

    • Care este relația dintre matricea Householder U și transpusa sa UT?

    <p>UT = U</p> Signup and view all the answers

    Care este scopul procedurii de triangularizare ortogonală a unei matrici A?

    <p>De a transforma matricea A într-o matrice superior triunghiulară</p> Signup and view all the answers

    Ce reprezintă k în algoritmul de triangularizare ortogonală?

    <p>Suma pătratelor elementelor vectorului coloană k al matricii Ak</p> Signup and view all the answers

    Ce este true despre matricea R din factorizarea QR a matricii A?

    <p>R este o matrice superior triunghiulară</p> Signup and view all the answers

    Care este scopul determinării matricei Householder Uk în algoritmul de triangularizare ortogonală?

    <p>De a transforma vectorul coloană k al matricii Ak într-un vector de forma [0  0 k 0  0]T</p> Signup and view all the answers

    Care dintre ecuațiile de mai jos reprezintă relația dintre Uk și k?

    <p>k = ||uk||22 / 2</p> Signup and view all the answers

    În algoritmul de triangularizare ortogonală, care este legătura dintre k și k?

    <p>k = -k</p> Signup and view all the answers

    Ce condiție trebuie să fie îndeplinită pentru ca eliminarea gaussiană să reușească?

    <p>| a[kk,k] | &gt; 0</p> Signup and view all the answers

    Ce reprezintă valoarea ε în contextul discutat?

    <p>O constantă impusă mică, adesea epsilonul-mașină</p> Signup and view all the answers

    Ce se întâmplă cu matricea principală de ordin k dacă pivotul este zero?

    <p>Devine singulară</p> Signup and view all the answers

    Cum afectează matricea 𝑀𝑘 coloanele matricei 𝐴𝑘?

    <p>Lasă nemodificate primele k-1 coloane</p> Signup and view all the answers

    Ce presupune transformarea coloanei k a matricei 𝐴𝑘 de către 𝑀𝑘?

    <p>Zerorizarea liniilor k + 1, ..., n</p> Signup and view all the answers

    Ce este ceea ce definește o matrice singulară în contextul eliminării gaussiene?

    <p>Există cel puțin un pivot zero</p> Signup and view all the answers

    De ce nu se poate realiza descompunerea L-U a matricei A dacă există un pivot zero?

    <p>Pentru că submatricea principală de ordin k este singulară</p> Signup and view all the answers

    Ce rol are vectorul 𝜂 în contextul prezentat?

    <p>Este un vector arbitrar diferit de 𝜉</p> Signup and view all the answers

    Ce reprezintă vectorii coloană ai matricei Q în contextul calculului vectorilor proprii?

    <p>Sunt vectori ortogonali</p> Signup and view all the answers

    Ce condiție trebuie să îndeplinească matricea A pentru a fi considerată de rang complet?

    <p>r = p</p> Signup and view all the answers

    Cum se notează matricea pseudo-diagonală care reunește valorile nenule ale matricei A?

    <p>Σ</p> Signup and view all the answers

    Care este relația care descrie descompunerea matricei A în termeni de matrice ortogonală U și V?

    <p>A = U * Σ * VT</p> Signup and view all the answers

    În cazul în care λi, λi+1 sunt complexe, cum se formulează combinația vectorială?

    <p>xi * qi + j * qi+1, xi+1 * qi - j * qi+1</p> Signup and view all the answers

    Care dintre următoarele afirmații este adevărată despre rangul matricii A?

    <p>Rangul poate fi egal cu numărul maxim de coloane.</p> Signup and view all the answers

    Pentru ce tip de matrice are sens calculul vectorilor Schur?

    <p>Matricea poate fi orice matrice A.</p> Signup and view all the answers

    Care este valoarea minimă pe care o poate avea rangul unei matrice A?

    <p>0</p> Signup and view all the answers

    Ce reprezintă raza spectrală a matricei G?

    <p>Maximul modulelor valorilor proprii ale matricei G</p> Signup and view all the answers

    Care este condiția necesară și suficientă pentru ca şirul de vectori să fie convergent?

    <p>Matricea G să aibă toate valorile proprii subunitare</p> Signup and view all the answers

    Cum influențează raza spectrală viteza de convergență a şirului de vectori?

    <p>Cu cât raza spectrală este mai mică, cu atât viteza de convergență este mai mare</p> Signup and view all the answers

    Ce reprezintă norma matricială infinită || G ||_∞?

    <p>Maximul sumei absolutelor elementelor pe rânduri</p> Signup and view all the answers

    Care este structura matricei A definită prin A = L + D + U?

    <p>L este matricea inferioară triunghiulară, D este matricea diagonală, U este matricea superioară triunghiulară</p> Signup and view all the answers

    Ce formă ia ecuația în metoda Jacobi?

    <p>D * x[k+1] = -(L + U) * x[k] + b</p> Signup and view all the answers

    Ce se întâmplă când norma matricială || G || infinit este mai mică decât 1?

    <p>Raza spectrală a matricei G este garantat că este subunitară</p> Signup and view all the answers

    Ce tipuri de matrice sunt incluse în structura A = L + D + U?

    <p>Matricea inferioară, matricea diagonală, matricea superioară</p> Signup and view all the answers

    Ce reprezintă condiția suficientă pentru convergența metodei Jacobi?

    <p>Max{∑ | g_{i,j} |} &lt; 1</p> Signup and view all the answers

    Care este formularul specific pentru elementul g_{i,j} în metoda Jacobi?

    <p>g_{i,j} = 0, i = j</p> Signup and view all the answers

    Care este una din condițiile necesare pentru ca matricea A să fie diagonal dominantă?

    <p>a_{i,i} &gt; |a_{i,j}| pentru orice j ≠ i</p> Signup and view all the answers

    Ce se întâmplă dacă matricea A nu este diagonal dominantă?

    <p>Metoda Jacobi poate să nu fie convergentă</p> Signup and view all the answers

    Cum se poate exprima $x[i k + 1]$ în funcție de $b_i$ și $a_{i,j}$?

    <p>$x[i k + 1] = (b_i / a_{i,i}) - ∑ (a_{i,j} / a_{i,i}) * x[jk]$</p> Signup and view all the answers

    Care este semnificația variabilei n în formulele prezentate?

    <p>Numărul total de ecuații</p> Signup and view all the answers

    Ce se poate concluziona despre soluția sistemului de ecuații dacă matricea A este diagonal dominantă?

    <p>Soluția este unică indiferent de estimarea inițială</p> Signup and view all the answers

    Care dintre aceste expresii descrie relația dintre coeficientii unei matrice diagonale dominante?

    <p>a_{i,i} &gt; ∑ |a_{i,j}|</p> Signup and view all the answers

    Ce înseamnă că o matrice este ortogonal echivalentă bilateral cu o matrice diagonală?

    <p>Există o serie de transformări ortogonale care pot duce la o matrice diagonală.</p> Signup and view all the answers

    Care este relația dintre rangul matricei A și rangul matricei Σ?

    <p>Rangul matricei A și rangul matricei Σ sunt egale.</p> Signup and view all the answers

    Ce caracterizează matricea Σ pentru cazul în care m ≥ n și rang(A) = r < p?

    <p>Σ are o parte inferioară formată din zero rânduri.</p> Signup and view all the answers

    Ce se înțelege prin vectori singulari la dreapta ai matricei A?

    <p>Coloanele matricei V care se corelează cu valorile singulare nenule.</p> Signup and view all the answers

    Care este semnificația valorilor singulare nenule în contextul matricei A?

    <p>Ele indică rangul matricei A.</p> Signup and view all the answers

    În cazul unei matrice deficiente de rang, care este proprietatea valorilor singulare?

    <p>Există un număr maxim de valori nenule egale cu rangul matricei.</p> Signup and view all the answers

    Care este structura matricei Σ când m < n și rang(A) = r = m?

    <p>Σ are o parte inferioară plină de zero și valorile nenule pe diagonală.</p> Signup and view all the answers

    Care dintre următoarele propoziții este adevărată despre matricea U?

    <p>Coloanele matricei U sunt vectorii singuli la stânga.</p> Signup and view all the answers

    Ce reprezintă simbolul diag{σ1, σ2, ..., σp} în contextul matricei Σ?

    <p>O matrice diagonală cu valorile singulare nenule.</p> Signup and view all the answers

    Ce se întâmplă cu valorile singulare dacă rangul matricei A este maxim?

    <p>Există exact p valori singulare nenule și r = p.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Metode Numerice - Note de Studiu

    • Note: Nota finală = 0.3 * Nota laborator + 0.7 * Nota examen. Realizarea sarcinilor de lucru, Pertinența răspunsurilor la teme (săptămânile 4, 8 și 11) sunt necesare. Nota laborator și Nota examen trebuie să fie minim 4.50.

    • Condiții intrare în examen: maxim 1 absență la laborator. 1 absență poate fi recuperată în ultima săptămână.

    • Structura Materiei:

      • Calculul în virgulă mobilă
      • Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare determinate
      • Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare supradeterminate
      • Calculul valorilor și vectorilor proprii
      • Calculul valorilor singulare
      • Rezolvarea ecuațiilor şi sistemelor de ecuații neliniare
      • Aproximarea numerică a funcţiilor
      • Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale

    • Aritmetica în Virgulă Mobilă (Cap. 1.1):

      • Reprezentarea numerelor în calculator depinde de tipul numerelor (întregi sau reale), structura calculatorului, baza de reprezentare a numerelor, şi lungimea cuvântului de memorie.
      • Numerele întregi reprezentabile formează un set finit.
      • Aritmetica cu numere întregi este exactă (cu excepții pentru operații de împărțire).
      • Reprezentarea numerelor reale (în virgulă mobilă) este aproximativă.
      • Mulțimea F conţine numerele reale care pot fi reprezentate în calculator.
      • Mulțimea G conţine numerele reale care pot fi reprezentate efectiv în calculator.
      • Reprezentarea în cod complementar.
      • Operații de rotunjire:
        • rotunjire prin tăiere (trunchiere)
        • rotunjire simetrică
        • rotunjire uniformă
      • Erori:
        • depăşire (binară) inferioară
        • depăşire (binară) superioară

    • Sisteme determinate de ecuații algebrice liniare (Cap. 2):

      • Formularea problemei: A • x = b.
      • Matricea A este inversabilă (nesingulară).
      • Teorema de existenţă şi unicitate.
      • Rezolvare prin triangularizare directă.
      • Rezolvare prin triangularizare cu pivotare parţială.
      • Calculul determinantului unei matrici.
      • Calculul inversei unei matrici.
      • Metode iterative (Jacobi, Gauss-Seidel).

    • Sisteme supradeterminate de ecuatii algebrice liniare (Cap. 3):

      • coloanele matricii A sunt liniar independente.
      • subspațiu imagine al matricii A.
      • subspațiu nul (nucleu) al matricii A.
      • condiții de soluție unică (rang(A)=n)
      • minimizarea unei funcții criteriu

    • Calculul valorilor și vectorilor proprii (Cap. 4):

      • Formularea problemei: A • x = λ • x.
      • Teorema de existență
      • Forma canonică Schur și algoritmul QR
      • Calculul vectorilor proprii

    • Descompunerea valorilor singulare (Cap. 5):

      • Formularea problemei.
      • Teorema descompunerii valorilor singulare (SVD).
      • Algoritmul SVD.
      • Aplicații ale SVD.

    • Ecuații diferențiale ordinare cu condiții inițiale (Cap. 8):

      • Formularea problemei.
      • Teorema de existență și unicitate.
      • Metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi și de ordinul superior.
      • Sisteme de ecuații diferențiale ordinare.

    Studying That Suits You

    Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

    Quiz Team

    Related Documents

    Metode Numerice - Curs de PDF

    Description

    Acest quiz abordează conceptele de bază legate de matricele ortogonale și procedurile de triangularizare ortogonală. Vei explora proprietățile matricei Householder și relațiile dintre diferitele matrice implicate în aceste procese. Testează-ți cunoștințele și învață mai multe despre aceste tehnici matematice esențiale.

    More Like This

    Use Quizgecko on...
    Browser
    Open
    Browser
    Browser