Espacios Vectoriales Normados y de Banach

Espacios Vectoriales Normados

• La norma en un espacio vectorial $X$ es una función $| \cdot |: X \to \mathbb{R}$ que satisface ciertas propiedades.
• $|x| \ge 0$ para todo $x \in X$: La norma de cualquier vector es no negativa. $-|x| = 0 \iff x = 0$: La norma es cero si y solo si el vector es el vector cero. $-|\lambda x| = |\lambda| |x|$ para todo $x \in X$ y $\lambda \in \mathbb{F}$: La norma es homogénea. $-|x + y| \le |x| + |y|$ para todo $x, y \in X$: Se cumple la desigualdad triangular.
• Un espacio vectorial $X$ equipado con una norma $| \cdot |$ se denomina espacio vectorial normado.
• Ejemplos de espacios vectoriales normados son $\mathbb{R}^n$ con la norma euclidiana, la 1-norma o la norma infinito; $\mathbb{C}^n$ con la norma euclidiana; $C[a, b]$ con la norma del supremo; y $L^p(a, b)$ con la p-norma.
• Un espacio vectorial normado es también un espacio métrico con $d(x, y) = |x - y|$.
• La norma es una función continua.

Espacios de Banach

• Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado que es completo.
• $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{C}^n$ con cualquier norma son ejemplos de espacios de Banach.
• $C[a, b]$ con la norma del supremo y $L^p(a, b)$ con la p-norma para $1 \le p \le \infty$ también son espacios de Banach.
• La integridad es crucial para muchos resultados en el análisis funcional.
• No todos los espacios vectoriales normados son espacios de Banach. Un ejemplo es $C[a, b]$ con la 1-norma.

Operadores Lineales

• Un operador lineal entre espacios vectoriales normados $X$ e $Y$ es una función $T: X \to Y$ que satisface: $T(x + y) = T(x) + T(y)$ y $T(\lambda x) = \lambda T(x)$.
• Un operador lineal $T: X \to Y$ es acotado si existe una constante $M > 0$ tal que $|T(x)| \le M |x|$ para todo $x \in X$.
• La norma del operador acotado $T$ se define como $|T| = \sup_{|x| = 1} |T(x)|$.
• Un operador lineal es continuo si y solo si es acotado.
• El conjunto de operadores lineales acotados de $X$ a $Y$ se denota $B(X, Y)$.
• $B(X, Y)$ es un espacio vectorial normado con la norma de operador.
• Si $Y$ es un espacio de Banach, entonces $B(X, Y)$ también es un espacio de Banach.

Espacios de Hilbert

• Un producto interno en un espacio vectorial $X$ es una función $\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \to \mathbb{F}$ que satisface ciertas propiedades.
• $\langle x, x \rangle \ge 0$ para todo $x \in X$: El producto interno de un vector consigo mismo es no negativo.
• $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0$: El producto interno es cero si y solo si el vector es el vector cero.
• $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ para todo $x, y \in X$: El producto interno es hermitiano.
• $\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle$ para todo $x, y \in X, \lambda \in \mathbb{F}$: El producto interno es lineal en el primer argumento.
• $\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle$ para todo $x, y, z \in X$: El producto interno es aditivo en el primer argumento.
• Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno que es completo.
• $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{C}^n$ con $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i}$ son ejemplos de Espacios de Hilbert.
• $L^2(a, b)$ con $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) \overline{g(x)} dx$ es un ejemplo de Espacio de Hilbert.
• El producto interno induce una norma: $|x| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ y los espacios de Hilbert tienen una estructura geométrica rica. Además, satisface la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $|\langle x, y \rangle| \le |x| |y|$.

Teoremas Importantes

• Teorema de Banach-Steinhaus (Principio de Acotación Uniforme): Si $X$ es un espacio de Banach, $Y$ un espacio vectorial normado, y $T_i \in B(X, Y)$ para $i \in I$ (algún conjunto de índices), y si $\sup_{i \in I} |T_i(x)| < \infty$ para todo $x \in X$, entonces $\sup_{i \in I} |T_i| < \infty$.
• Teorema de la Aplicación Abierta: Si $X$ e $Y$ son espacios de Banach y $T \in B(X, Y)$ es sobreyectiva, entonces $T$ es una aplicación abierta (es decir, $T(U)$ es abierto en $Y$ para todo conjunto abierto $U$ en $X$).
• Teorema de la Gráfica Cerrada: Si $X$ e $Y$ son espacios de Banach y $T: X \to Y$ es un operador lineal, y si la gráfica de $T$, $\Gamma(T) = {(x, T(x)) : x \in X}$, es cerrada en $X \times Y$, entonces $T \in B(X, Y)$.

Carga por Fricción

• La carga por fricción ocurre cuando dos objetos neutros se frotan entre sí.
• Un objeto gana electrones y se carga negativamente.
• El otro objeto pierde electrones y se carga positivamente.
• Ejemplo: frotar una barra de vidrio con seda.

Carga por Conducción

• La carga por conducción implica cargar un objeto neutro al tocarlo con un objeto cargado.
• Los electrones se transfieren entre los objetos hasta que alcanzan un equilibrio de carga.
• Ejemplo: tocar una esfera metálica neutra con una varilla cargada negativamente.

Carga por Inducción

• La carga por inducción implica cargar un objeto sin contacto directo con un objeto cargado.
• Se induce una separación de carga en el objeto neutro debido a la proximidad del objeto cargado.
• El objeto se pone a tierra para permitir que los electrones fluyan dentro o fuera, luego se quita la conexión a tierra, dejando el objeto cargado.
• Ejemplo: acercar una varilla cargada negativamente a una esfera metálica neutra conectada a tierra.

Fuerza eléctrica

• La fuerza eléctrica es atractiva entre cargas de signo opuesto.
• La fuerza eléctrica es repulsiva entre cargas del mismo signo.
• La magnitud de la fuerza depende de la cantidad de carga en cada objeto y de la distancia entre ellos.

Ley de Coulomb

• La ley de Coulomb cuantifica la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$
• $F$ es la fuerza eléctrica, $k$ es la constante de Coulomb ($8.99 \times 10^9 N \cdot m^2/C^2$), $q_1$ y $q_2$ son las magnitudes de las cargas, y $r$ es su distancia.

Conductores y Aisladores

• Los conductores permiten que los electrones fluyan libremente (por ejemplo, los metales).
• Los aisladores resisten el flujo de electrones (por ejemplo, caucho, plástico).

Campos eléctricos

• Un campo eléctrico es una región alrededor de un objeto cargado donde se experimentaría una fuerza eléctrica sobre otra carga.
• Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección del campo, apuntando lejos de las cargas positivas y hacia las cargas negativas.
• La fuerza del campo es proporcional a la densidad de las líneas de campo.

Fuerza del campo eléctrico

• La fuerza del campo eléctrico $E$ es la fuerza eléctrica $F$ por unidad de carga $q$, dada por $E = \frac{F}{q}$.
• Para una carga puntual $Q$, la fuerza del campo a una distancia $r$ es $E = k \frac{Q}{r^2}$.

Introducción al álgebra: Expresiones algebraicas

• Una expresión algebraica combina letras y números mediante operaciones (+, -, ×, ÷, ^).
• Se utilizan para representar áreas (ej. $A = l^2$ para un cuadrado) y volúmenes (ej. $V = a^3$ para un cubo).

Clasificación de expresiones algebraicas

• Monomio: 1 término (ej. $5x^2$).
• Binomio: 2 términos (ej. $2x + 3y$).
• Trinomio: 3 términos (ej. $x + y + z$).
• Polinomio: 4 o más términos.

Valor numérico de una expresión algebraica

• Se calcula al reemplazar las variables con valores numéricos y simplificar.
• Ejemplo: Para $3x^2 + 2x - 5$ con $x = 2$, el valor numérico es 11.

Dérivabilité

• Le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Si la limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie, alors $f$ est dérivable en $a$.
• Tangente:
  • Définition: La tangente au point d'abscisse $a$ passe par $(a;f(a))$ et a pour pente $f'(a)$
  • Équation : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$
• Dérivabilité et Croissance :
  • Si une fonction est dérivable alors elle est continue.
  • La réciproque est fausse. Un exemple est la fonction valeur absolue en $0$.

Las propiedades del gas

• Los gases llenan uniformemente cualquier recipiente.
• Los gases son fácilmente compresibles.
• Los gases se mezclan completamente con cualquier otro gas.
• Los gases ejercen presión sobre las paredes del recipiente.

Presión

La ecuación de la presión

$Presión = \frac{Fuerza}{Área}$

Las unidades de medida

• 1 pascalio (Pa) = 1 N/m²
• 1 bar = 10⁵ Pa = 100 kPa
• 1 atm = 760 mm Hg = 760 torr = 101.325 kPa

Las leyes de los gases

La ley de Boyle

Para una cantidad fija de gas a temperatura constante, la presión y el volumen son inversamente proporcionales. $P_1V_1 = P_2V_2$

La ley de Charles

Para una cantidad fija de gas a presión constante, el volumen y la temperatura son directamente proporcionales.

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

La ley de Avogadro

Para los gases a la misma temperatura y presión, los volúmenes iguales contienen el mismo número de moles.

$V ∝ n$

La ley de los gases ideales

$PV = nRT$

• P: Presión
• V: Volumen
• n: número de moles
• R: constante de los gases ideales (0.08206 L atm / (mol K) u 8.314 J / (K mol))
• T: Temperatura

La densidad de los gases y la masa molar

La ecuación de la masa molar

$d = \frac{nM}{V} = \frac{PM}{RT}$

• d: Densidad
• M: Masa molar

La ecuación de la masa molar

$M = \frac{dRT}{P}$

La ley de Dalton de las presiones parciales

Para una mezcla de gases, la presión total es la suma de las presiones parciales de cada gas.

$P_{total} = P_1 + P_2 +... + P_n$

La ecuación de la presión parcial

$P_1 = X_1P_{total}$

• $X_1$: Fracción molar del gas 1

Teoría molecular cinética de los gases

1. Los gases consisten en partículas en movimiento aleatorio.
2. El volumen de las partículas es insignificante.
3. Las interacciones entre las partículas también son insignificantes.
4. La energía cinética promedio es proporcional a la temperatura en Kelvin.
5. Las colisiones son perfectamente elásticas.

La raíz de la velocidad cuadrática media

$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

• $u_{rms}$: La raíz de la velocidad cuadrática media

La ley de Graham de la efusión

La velocidad de efusión de un gas es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa molar.

$\frac{rate_1}{rate_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$

Gases reales

La ecuación de Van der Waals

$(P + a(\frac{n}{V})^2)(V - nb) = nRT$

• a: corrige las atracciones intermoleculares
• b: corrige el volumen de las moléculas de gas