Толқындық теңдеудің шешімі

Толқындық теңдеудің бастапқы-шеттік есептері

• Біртекті толқындық теңдеу үшін біртекті (нөлдік) шекаралық шарт берілген: utt = a²uxx(x,t), 0 < x < l, t > 0.
• u(0,t) = u(l,t) = 0, t > 0 шекаралық шартымен және u(x,0) = φ(x), ut(x,0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l бастапқы шартымен берілген бастапқы-шеттік (аралас) есепті шешу қарастырылады.
• Фурьенің айнымалыларға жіктеу әдісі осы есепті шешу үшін қолданылады.
• Есептің нөлдік емес шешімі u(x,t) = X(x)T(t) ≠ 0 (4) түрінде ізделеді.
• x және t айнымалылары өзгерген кезде, екінші ретті туындылар есептеліп, (1) теңдеуге қойылады: X(x)T"(t) = a²X"(x)T(t).

Дифференциалдық теңдеулерді ажырату

• Алынған теңдеудің екі жағын да a²X(x)T(t)-ке бөлсек, T"(t) / a²T(t) = X"(x) / X(x) теңдігі шығады (5).
• Бұл теңдіктің бір жағы тек х айнымалысына, екінші жағы тек t айнымалысына тәуелді.
• Егер бір айнымалыны тұрақты етіп, екіншісін өзгертсек, онда теңдік тек қана тұрақты санға тең болғанда орындалады.
• Теңдіктің екі жағы да μ-ға теңестіріледі, яғни T"(t) / a²T(t) = X"(x) / X(x) = μ (6).
• Жеке-жеке теңестіргенде келесі теңдеулер алынады: T"(t) - μα²T(t) = 0 (7) және X"(x) - μX(x) = 0 (8), мұндағы μ - кез келген тұрақты сан.

Штурм-Лиувилль есебін шешу

• Ізделінді шешімді (2) шекаралық шарттарға қоямыз: u(0,t) = X(0)T(t) = 0, u(l,t) = X(l)T(t) = 0.
• T(t) ≠ 0 болғандықтан (4), келесі шекаралық шарттар алынады: X(0) = 0, X(l) = 0 (9).
• X(x) функциясының (8) - (9) есебінің нөлдік емес шешімі болуы Штурм-Лиувилль есебі деп аталады.
• μ-ге сәйкес X(x) нөлдік емес шешімі - меншікті функциялар, ал μ тұрақтылары - меншікті мәндер деп аталады.
• Есептің шешімдері μ тұрақтысына байланысты қарастырылады.

Мүмкін жағдайларды талдау

• Егер μ = 0 болса, (8) теңдеудің жалпы шешімі X(x) = C₁x + C2 болады.
• (9) шарттарды қолдансақ, C₁ = C2 = 0 болады, демек, X(x) = 0 нөлдік шешім алынады.
• Егер μ = λ² > 0 болса, (8) теңдеудің шешімі X(x) = C₁e^(λx) + C₂e^(-λx) болады.
• (9) шарттарды қолдансақ, C₁ = C₂ = 0 болады, яғни бұл жағдайда да X(x) = 0 нөлдік шешімге келеміз.
• Егер μ = -λ² < 0 теріс сан болса, (8) теңдеудің жалпы шешімі X(x) = C₁cos(λx) + C₂sin(λx) болады.
• (9) шарттарды қолдансақ, X(0) = C₁ = 0 және X(l) = C₂sin(λl) = 0 болады.

Меншікті мәндер

• Сондықтан С₂ еркін тұрақты болғандықтан, λ мәні λk = πk / l, k = 1, 2, 3, ... (10) болады.
• Демек, (8)-(9) есебінің нөлдік емес шешімі тек μ = -λ² < 0 теріс сан болған кезде бар болады.
• Тиісті функциялар Xk(x) = sin(πkx / l), k = 1, 2, 3, ... (11) тең болады.
• (7) теңдеудің жалпы шешімі Tk(t) = Ak cos(πkat / l) + Bk sin(πkat / l), k = 1, 2, ... (12) түрінде табылады.
• Мұнда Ak, Bk - еркін тұрақты сандар, ал индекс әрбір λk мәні үшін жеке шешімдер береді.
• Дербес шешімдер uk(x,t) = (Ak cos(πkat / l) + Bk sin(πkat / l))sin(πkx / l), k = 1, 2, ... түрінде алынады.
• (1)-(3) есебі сызықтық болғандықтан, суперпозиция қағидасы бойынша жалпы шешімі:

Жалпы шешімі және бастапқы шарттарды қолдану

• Жалпы шешім u(x,t) = ∑ (Ak cos(πkat / l) + Bk sin(πkat / l)) sin(πkx / l) (13) түрінде болады.
• Ак, Вк еркін тұрақтыларын табу үшін (3) бастапқы шарттарды қолданамыз.
• t = 0 мәнін қойсақ, u(x, 0) = ∑ Ak sin(πkx / l) болады.
• Екінші жағынан, u(x,0) = φ(x), сондықтан ∑ Ak sin(πkx / l) = φ(x) (14).
• (13) өрнектен t бойынша туынды алып, t = 0 қойсақ, ut(x, 0) = ∑ (πka / l)Bk sin(πkx / l) теңдігі алынады.
• (3) екінші шарты бойынша ut(x, 0) = ψ(x), демек ∑ (πka / l)Bk sin(πkx / l) = ψ(x) (16).

Фурье қатарына жіктеу және шешімді тексеру

• Алынған (14), (16) теңдіктер φ(x), ψ(x) функцияларының синус бойынша Фурье қатарына жіктелулері болып табылады.
• Ак, Вк Фурье коэффициенттерін табу үшін келесі формулалар қолданылады:
  • Ak = (2 / l) ∫ φ(x) sin(kπx / l) dx
  • Bk = (2 / πka) ∫ ψ(x) sin(kπx / l) dx (17)
• (1)-(3) бастапқы-шеттік есептің шешімі формалды түрде (13) қатарымен өрнектеледі, ондағы Ак, Вк коэффициенттері (17) интегралдарымен есептеледі. Енді осы формалдық қай кезде қисынды болатындығын тексеру керек.
• (13) шешімнің тексеруінің бірінші қадамы - функционалдық қатардың жинақтылығын тексеру. Ол үшін сандық қатар қарастырылады: ∑ (|Ak| + |Bk| / k) (18). Бұл қатардың жинақты болуы үшін φ(x) ∈ C¹[0, l], φ(0) = φ(l) = 0, ψ(x) ∈ C[0, l] (19) орындалуы жеткілікті.
• (14) қатардың бірқалыпты жинақтылығын тексеру үшін ∑ (k|Ak| + |Bk|) (20) қарастырылады. Ал бұл қатар жинақты болуы үшін φ(x) ∈ C²[0, l], φ(0) = φ(l) = 0, ψ(x) ∈ C¹[0, l], ψ(0) = ψ(l) = 0 болуы керек.
• (13) қатарының әрбір мүшесі х және t бойынша екі рет дифференциалдануы үшін ∑ (k²|Ak| + k|Bk|) жинақталуы жеткілікті. Бұл қатардың жинақталуы үшін φ(x) ∈ C³[0, l], φ(0) = φ(l) = 0, φ"(0) = φ"(l) = 0, ψ(x) ∈ C²[0, l], ψ(0) = ψ(l) = 0 (21) орындалуы жеткілікті.

Қорытынды

• (13) қатар (1)-(3) есебінің шешімі болуы үшін φ және ψ функциялары (21) шарттарын қанағаттандыруы қажет.