Толқын теңдеуі және Коши есебі

• Абай атындағы ҚазҰПУ Математика және математикалық модельдеу кафедрасының математикалық физика теңдеулері бойынша №3 дәрісі ұсынылған
• Дәріс тақырыбы: Толқын теңдеуі үшін Коши есебі, Даламбер формуласы, Біртекті емес толқын теңдеу үшін Коши есебі және Дюамель қағидасы

Толқындық теңдеу

• 1 ұзындығына тең, екі ұшынан бекітілген ішектің көлденең ауытқуын қарастырады
• Ішек деп июге қарсы кедергісі жоқ, көлденең қимасының ауданы ұзындығымен салыстырғанда өте аз, солқылдақ жіңішке жіпті елестетуге болады
• Ішектің июге қарсы кедергі күші жоқ болғандықтан, t уақыт мезеттегі х нүктесіндегі оның T(x,t) керілу күші сол х нүктедегі жанама бағытымен бағыттас болады
• Ішек тепе-теңдік қалпында Oxu жазықтығында Ox өсінің бойында орналассын және тығыздығы ρ = const тұрақты болсын
• Ішек сыртқы F(x,t) күштің әсерінен тепе-теңдік қалпынан көлденең ауытқысын, яғни ішектің әрбір нүктесі Ou өсіне параллель бағытталып қозғалады
• Ішектің x нүктелерінің t уақыт аралығындағы тыныштық күйден көлденең ауытқуын u(x,t) деп белгілейді.
• Ішектің көлденең ауытқуы u(x,t) аз тербелісі қарастырылғандықтан, u(x,t) және ux(x,t) - бірінші ретті туындыларының квадраттары және олардың көбейтінділері бұл шамалардың өздерімен салыстырғанда жоғарғы ретті аз шамалар болады
• Сондықтан теңдеуді қорытып шығаруда оларды ескермеуге болады, яғни u² ≈ uux ≈ 0 деп есептейміз
• Ішектің кез келген [x, x + ∆x] бөлігіндегі тербелісті қарастырайық
• Бұл аралықтағы шек бөлігінің ұзындығы lPQ = ∫x+∆x/x √(1 + uz²)dx ≈ (x + ∆x) - x = ∆x
• иtt - a²uxx = f(x,t) ішектің көлденең тербелісінің теңдеуін аламыз, мұндағы a² = T₀/ρ, f(x,t) = 1/ρ F(x,t), ρ = const
• Бұл теңдеу бір өлшемді біртекті емес толқындық теңдеуі деп аталады
• Егер F(x,t) = 0 болса, яғни шек сыртқы күштің әсерінсіз тербелетін болса онда ішектің еркін тербелісінің теңдеуін аламыз
• иtt - a²uxx = 0
• Бұл теңдеу біртекті толқындық теңдеуі деп аталады
• Көп өлшемді жағдайда да (мысалы екі өлшемді жағдайда жазық мембрана теңдеуін) осындай жолдармен толқындық теңдеуін қорытып шығаруға болады: иtt - a²∆u(x,t) = 0, x = (x1,x2,...xn) ∈ Rn

Математикалық физика теңдеулеріңе қойылатын негізгі есептер

• Дифференциалдық теңдеулердің шешімдері әдетте көп болады
• Олардың ішінен қажетті шешімді алу үшін оған зерттелініп отырған құбылыстың табиғатына байланысты қосымша шарттар қойылады
• Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне уақыт бойынша бастапқы шарт (Коши шарты) және кеңістіктік айнымалы бойынша шекаралық (шеттік) шарттар қойылады
• Егер қарастырылып отырған облыс шенелмеген болса, мәселен, бір өлшемді жағдайда x ∈ (-∞, ∞), онда толқындық және жылөткізгіштік теңдеулерінің қажетті шенелген жалғыз шешімін алу үшін оларға бастапқы шарттар (немесе Коши шарты деп аталады) қойылады
• u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ R

Коши есебі

• u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ R теңдеулер жүйесін қанағаттандыратын u(x, t) функциясын табу есебін түсінеміз
• Мұндағы Q = R × (t > 0), Q = R × (t ≥ 0)
• Мұндағы φ(x), ψ(x) – бастапқы немесе Коши берілгендері деп аталатын белгілі функциялар

Математикалық физика есептерінің қисынды қойылуы

• Математикалық физика есептері нақты құбылыстарды сипаттайтындықтан, физикалық, математикалық мағынасына байланысты олардың қисынды және қисынсыз қойылу ұғымдары енгізіледі
• Егер қарастырылып отырған кеңістікте қойылған математикалық есептің шешімі бар болса, шешімі жалғыз болса, және шешімі орнықты болса, онда есеп қисынды қойылған деп аталады
• Есептің шешімінің орнықты болуы дегеніміз шешімінің есептің бастапқы берілгендерінен (шекаралық функциядан, бастапқы шарттағы функциядан, теңдеудің оң жағынан және т.б.) үздіксіз тәуелді болуы, яғни есептің берілгендерінің аз өзгеріске енуінен шешімнің айтарлықтай үлкен өзгеріске ұшырамауын түсінеміз

Толқындық теңдеу үшін қойылған Коши есебі

• Толқындық теңдеу үшін қойылған Коши есебі және Дюамель қағидасы берілген
• Біртекті емес толқындық теңдеуі Utt = a²∆U + f(x,t), (x,t) ∈ Qt = {(x,t) : x ∈ Rn, t > 0} және U (x, 0) = φ(x), Ut (x, 0) = ψ(x), x ∈ Rn бастапқы шарттарды қанағаттандыратын u(x,t) ∈ C2,2x,t(Qt) ∩ C0,1x,t(Qt) шешімін табу есебін қарастырайық
• Бұл (6) – (7) есебі толқындық теңдеу үшін қойылған Коши есебі деп, ал оның u(x,t) ∈ C2,2x,t(Qt) ∩ C0,1x,t(Qt), Qt = Qt ∪ {t = 0} шешімі классикалық шешім деп аталады
• Мұндағы a - жылдамдық, f(x,t), φ(x), ψ(x) – берілген тегіс функциялар, ал ∆U(x1, x2,...xn, t) = ∑k=1n ∂²U/∂xk² кеңістік айнымалылары бойынша анықталған Лаплас операторы
• (6) – (7) есебі n = 1 жағдайда шексіз ұзын ішектің тербелісін, n = 2 жағдайда жазық мембрананың, n = 3 болса, газдың (дыбыстың) таралуын сипаттайды
• (6) – (7) есеп сызықтық болғандықтан, оның шешімін төмендегі екі есепке жіктеу арқылы (редукция әдісі деп аталады) іздейміз, яғни шешімді U(x,t) = u(x,t) + v(x,t) түрінде іздейміз

Теорема

• Егер f(x,t) ∈ C¹(Qt), φ(x) ∈ C²(R), ψ(x) ∈ C¹(R), n = 1 немесе f(x,t) ∈ C²(Qt), φ(x) ∈ C³(Rn), ψ(x) ∈ C²(Rn), n = 2, 3 болса, онда (6) – (7) Коши есебінің шешімі бар және жалғыз болады
• Даламбер формуласы бойынша бірөлшемді біртекті емес толқыныдық теңдеу үшін қойылған Коши есебін қарастырайық
• Жоғарыдағы (6) - (7) толқындық теңдеу үшін қойылған Коши есебі бір өлшемді жағдайда мына түрде жазылады: Utt = a²Uxx + f(x,t), x ∈ R = (-∞, ∞), t > 0, U (x, 0) = φ(x), Ut (x, 0) = ψ(x), x ∈ R
• Бұл (18) – (19) есебі шексіз ұзын (ұштарындағы тербелісті ескермеуге болатындай) ішектің көлденең тербелісін сипаттайды
• Есептің шешімін U(x,t) = u(x,t) + v(x,t) түрінде іздейміз
• Мұндағы u(x,t) – келесі біртекті теңдеу үшін Коши есебінің шешімі: utt = a²uxx(x,t), x ∈ R, t > 0, u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ R
• ал v(x,t) – біртекті емес теңдеу мен нөлдік бастапқы шарттарды қанағаттандыратын Коши есебінің шешімі: vtt = a²vxx + f(x,t), x ∈ R, t > 0, v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0, x ∈ R
• (20) – (21) есебінің шешімі (10) Даламбер формуласымен анықталынатынын көрсетейік
• (20) теңдеудің сипаттауыш теңдеуі (dx)² - (adt)² = 0 және оның x - at = C₁, x + at = C₂ екі сипаттауышы болады.
• Бұл сипаттауыштар арқылы 𝜉 = x - at, 𝜂 = x + at жаңа айнымалылар енгізсек, онда (20) теңдеу uξη = 0 канондық түрге келеді
• Мұны ξ және η бойынша интегралдасақ u(ξ,η) = f(ξ) + g(η), мұндағы f, g функциялары – сәйкес ξ, η айнымалыларынан ғана тәуелді екі рет дифференциалданатын кез келген функциялар
• Демек, (20) теңдеудің жалпы шешімі u(x,t) = f(x – at) + g(x + at). Әдетте бұл жалпы шешімді Даламбер шешімі деп атайды
• Енді (21) бастапқы шарттарды қолданып, бұл f, g функцияларын анықтаймыз:f(x) = ½φ(x) - 1/(2a)∫x/x0 ψ(y)dy - C/2, g(x) = ½φ(x) + 1/(2a)∫x/x0 ψ(y)dy + C/2
• Бұларды (23) қойсақ, нәтижеде (20) – (21) есебінің шешімін, яғни (10) Даламбер формуласын аламыз
• u(x,t) = ½ [φ(x - at) + φ(x + at)] + 1/(2a) ∫x+at/x-at ψ(ξ)dξ
• Ал (22) есебінің шешімі Дюамель қағидасы және Даламбер формуласы бойынша υ(x, t) = 1/(2a)∫t/0 dT ∫x+a(t-τ)/x-a(t-τ) f (ξ, τ) αξ
• Енді бұл екі есептің u(x, t) және v(x,t) шешімдерін қосып нәтижеде біртекті емес жалпы түрде қойылған Коши есебінің шешімін аламыз: U(x, t) = ½ [φ(x + at) + φ(x - at)] + 1/(2a) ∫x+at/x-at ψ(ξ) dξ + 1/(2a) ∫t/0 dT ∫x+a(t-τ)/x-a(τt-τ) f (ξ, τ) αξ