Teoría de Probabilidad: Experimentos y Variables

Teoría de Probabilidad

• El concepto de probabilidad tiene su origen en los juegos de azar como lanzamiento de monedas, dados o juegos de naipes.
• Actualmente produce modelos matemáticos de procesos aleatorios.
  • Estos procesos se denominan "experimentos".
• En cualquier experimento se observa una "variable aleatoria" X.
  • X es una función cuyos valores en el experimento ocurren "al azar".
  • X se caracteriza por una distribución de probabilidad.
• También se puede observar más de una variable aleatoria tal como peso y estatura, y dureza y resistencia a la tensión.

Experimentos, resultados, eventos

• En probabilidad y estadística existe interés en datos que resultan de experimentos controlados en el laboratorio o en la observación de la naturaleza.
• Un experimento es un proceso para obtener una medición u observación.
• Una simple ejecución de un experimento se llama ensayo.
• Ejemplos de experimentos.
  • Inspeccionar un foco.
  • Lanzar un dado.
  • Medir la precipitación pluvial.
  • Medir la resistencia de un cable de acero.
  • Elegir aleatoriamente una persona y preguntarle por un modelo de carro.
• El término "experimento" se usa en sentido amplio.
• Existe interés en experimentos que implican aleatoriedad, efectos del azar.
• El resultado o punto muestra es lo que se obtiene al hacer un experimento.
• El espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados posibles.
• En los ejemplos proporcionados:
  • (1) Inspeccionar un foco a fin de ver si está o no defectuoso: S = {D, N}, D = defectuoso, N= no defectuoso.
  • (2) Lanzar un dado y observar el resultado: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • (3) Efectuar una medición de la precipitación pluvial diaria: S son los números no negativos en algún intervalo 0 ≤ x ≤ K.
  • (4) Medir la resistencia a la tensión de algún cable de acero: S son los números en algún intervalo a ≤ x ≤b.
  • (5) Elegir aleatoriamente a una persona y preguntarle si le gusta algún modelo nuevo de automóvil: S = {G, N, I}, G = Le gusta, N = No le gusta, I = Está indeciso(a).
• Los subconjuntos de S se denominan eventos y los resultados son eventos simples.
• En (2) los eventos son A = {1, 3, 5} ("número impar"), B = {2, 4, 6} ("número par"), C= {5, 6}, los seis eventos simples {1}, {2}, ..., {6}
• En problemas practicos interesan mas los eventos que los resultados.

Ejemplo de Eventos

• Se tienen cuatro empaques del 1 al 4, de los cuales dos están defectuosos (1 y 2).
• El experimento consiste en extraer al azar dos empaques.
• El espacio muestral S tiene 6 resultados (pares no ordenados).
  • (1,2), (1,3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,4)
• Existe interés en el número de empaques defectuosos obtenidos.
  • A = {(3, 4)} "No hay defectuosos"
  • B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} "Hay un defectuoso"
  • C = {(1, 2)} "Hay dos defectuosos".

Subconjuntos

• En un ensayo, si ocurre un resultado que es un punto de un evento A, se dice que sucede A.
  • Por ejemplo, si al lanzar un dado se obtiene 3, se dice que sucede el evento A: Número impar.
• A ⊂ B ("A es un subconjunto de B"), significa que todos los puntos de A también son puntos de B. Si sucede A, entonces también sucede B.
• Por ejemplo, en un ensayo, si sucede A = {4, 5} (el resultado del lanzamiento del dado es 4 o 5), entonces B = {4, 5, 6} también sucede.

Uniones, intersecciones, complementos

• Dados los eventos A, B, C... de un espacio muestral S, es posible deducir más eventos.
• La unión A ∪ B de A y B consta de los puntos que están en A o en B o en ambos.
• La intersección A ∩ B de A y B consta de los puntos que están en A y en B.
• Si A y B no tienen puntos en común [como A = {1, 3, 5} y B = {2, 4, 6} en (2)], se denominan mutuamente excluyentes.
  • La ocurrencia de uno de esos eventos excluye la ocurrencia simultánea.
    • Si se obtiene un número impar, no es posible obtener un número par en el mismo ensayo.
  • Se escribe A ∩ B = Ø, donde Ø es el conjunto vacío (sin elementos).
• El complemento Ac de un evento A consta de los puntos de S que no están en A.
  • En (2), el complemento de A = {1, 3, 5} es Ac= {2, 4, 6} = B.
  • Un evento y su complemento siempre son mutuamente excluyentes, y su unión es todo el espacio S.
    • A ∩ Ac = Ø
    • A ∪ Ac = S
• Las uniones e intersecciones de más eventos se definen de manera semejante.
  • La unión de los eventos A₁, ..., Aₘ consta de los puntos que están en por lo menos un Aj.
  • La intersección consta de los puntos que están en cada uno de los eventos A₁,.., Aₘ
• Los diagramas de Venn son representaciones gráficas de eventos en un espacio muestral.
  • Son de gran utilidad para trabajar con eventos, sobre todo con varios de ellos.

Probabilidad

• En un experimento, se supone que la "probabilidad" de un evento A mide aproximadamente con cuánta frecuencia ocurre A si se efectúan muchos ensayos.
• Al lanzar una moneda, las caras H y las cruces T aparecen casi con la misma frecuencia.
  • H y T son "equiprobables".
• Al lanzar un dado, cada uno de los resultados 1,..., 6 son equiprobables.
• Estos son ejemplos de experimentos con espacios muestrales S que tienen un número finito de resultados (puntos) que son equiprobables.
• Si el espacio muestral S de un experimento consta de un número finito de resultados (puntos) equiprobables, entonces la probabilidad P(A) de un evento A es