Modelos de Variables Aleatorias
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Questions and Answers

¿Cuál es la relación entre los intervalos de tiempo disjuntos y la variable aleatoria Xt según los postulados de Poisson?

  • Son variables constantes
  • Son variables dependientes
  • Son variables independientes (correct)
  • Se superponen

    • ¿Qué significa que la distribución de Xt depende únicamente del número de unidades del intervalo de tiempo?

  • La probabilidad depende del inicio del intervalo
  • La probabilidad depende de la duración del intervalo (correct)
  • La probabilidad se distribuye uniformemente
  • La probabilidad es constante en todos los intervalos

    • La probabilidad de que ocurra más de una vez el suceso A en un intervalo de tiempo suficientemente corto es:

  • Infinitesimal frente a P(Xt = 1) (correct)
  • Independiente de P(Xt = 1)
  • Casi igual a 1
  • Proporcional a la duración del intervalo

    • ¿Qué se debe aceptar para probar que Xt sigue una distribución P(λ · t)?

    <p>Que se formalizan adecuadamente los postulados</p> Signup and view all the answers

    En un intervalo de unidad, si ha ocurrido el suceso A, ¿qué se puede distinguir?

    <p>Si A ocurrió o no</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el papel de λ en la distribución P(λ · t)?

    <p>Es el número medio de veces que ocurre A por unidad de tiempo</p> Signup and view all the answers

    Si se considera un intervalo suficientemente pequeño, ¿qué ocurre con P(Xt = 1)?

    <p>Es mayor que P(Xt &gt; 1)</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se relaciona la probabilidad de que ocurran ciertos eventos en contenedores disjuntos según la distribución de Poisson?

    <p>No hay relación entre ellas</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es una propiedad importante de la distribución normal?

    <p>Permite la transformación linear de variables manteniendo la normalidad.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué indica que la distribución normal es un modelo relevante para problemas reales?

    <p>Su utilidad en muchas técnicas de inferencia estadística.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué consecuencia puede tener el uso inapropiado de la distribución normal?

    <p>Puede llevar a conclusiones erróneas si se abusa de la normalidad.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el tipo de métodos que se mencionan como 'robustos' en la estadística?

    <p>Métodos que no son afectados por desviaciones de la normalidad.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se debe hacer para confirmar la normalidad de una variable antes de realizar inferencias?

    <p>Poner a prueba los métodos de bondad de ajuste.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es una de las técnicas utilizadas para trabajar con la distribución normal?

    <p>Cambio de variable para simplificar a la normal.</p> Signup and view all the answers

    Los métodos robustos son útiles porque:

    <p>Son menos sensibles a violaciones en la suposición de normalidad.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué caracteriza a la distribución normal en términos de otras distribuciones?

    <p>Puede ser una distribución límite de otras distribuciones.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la esperanza matemática para una variable X con distribución E(λ)?

    <p>$1/λ$</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la varianza de una variable X con distribución E(λ)?

    <p>$2/λ$</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué ocurre con la altura máxima de la gráfica de la función de densidad a medida que λ aumenta?

    <p>Aumenta</p> Signup and view all the answers

    Si X tiene una distribución E(λ) y Y = aX para a > 0, ¿cuál es la distribución de Y?

    <p>E(λ/a)</p> Signup and view all the answers

    Para valores pequeños de λ, la distribución E(λ) es más adecuada para variables que:

    <p>Tomen con probabilidad alta valores positivos pequeños</p> Signup and view all the answers

    Al calcular la esperanza de X al integrar, que se toma como u y dv?

    <p>u = x, dv = e^{-λx} dx</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se puede afirmar sobre la función de densidad de distribución E(λ)?

    <p>Depende del parámetro λ</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se comporta la integral de la función de densidad E(λ) cuando λ tiende a infinito?

    <p>Tiende a cero</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la fórmula correcta para la esperanza matemática E(X) de una variable aleatoria con distribución G(p)?

    <p>$\frac{1 - p}{p}$</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué representa la varianza Var(X) de una variable aleatoria con distribución G(p)?

    <p>$\frac{1 - p}{p^2}$</p> Signup and view all the answers

    Si $p = 0.5$, ¿cuál es el valor de E(X) para una variable aleatoria con distribución G(0.5)?

    <p>$2$</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se calcula la varianza Var(X) a partir de E(X)?

    <p>E(X(X - 1)) + E(X)[1 - E(X)]</p> Signup and view all the answers

    Si la probabilidad $p$ varía en la distribución G(p), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre la esperanza E(X)?

    <p>E(X) siempre aumenta con el aumento de p.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué valor obtiene la esperanza matemática E(X) cuando $p = 0.1$?

    <p>$9$</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la varianza de una distribución G(0.8) es correcta?

    <p>Var(X) es igual a 1.25.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se define el término $q$ en una distribución G(p)?

    <p>$q = 1 - p$</p> Signup and view all the answers

    Al analizar la suma de los términos de una progresión geométrica en la fórmula de E(X), ¿qué serie se utiliza?

    <p>Serie geométrica.</p> Signup and view all the answers

    Si X es una variable aleatoria con distribución G(0.5), ¿cuál es la varianza Var(X)?

    <p>$0.5$</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué significa que una variable aleatoria tenga distribución gamma γ(k, λ)?

    <p>Es el tiempo que ha transcurrido hasta la k-ésima ocurrencia del suceso A.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se representa la distribución ji-cuadrado en términos de distribución gamma?

    <p>γ(n/2, 1)</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuáles son los parámetros necesarios para que una variable tenga distribución beta?

    <p>p &gt; 0 y q &gt; 0</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué función se utiliza para normalizar la función de densidad de la distribución beta?

    <p>La función gamma</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se determina la esperanza matemática E(X) de una variable X con distribución beta?

    <p>E(X) = rac{p}{p + q}</p> Signup and view all the answers

    En cuál de las siguientes situaciones es más relevante utilizar la distribución beta?

    <p>Para modelar proporciones relacionadas con un experimento de Bernoulli.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la varianza Var(X) de una variable X que sigue una distribución beta?

    <p>Var(X) = rac{pq}{(p + q)^2}</p> Signup and view all the answers

    Qué se entiende por la distribución uniforme en el contexto de la distribución beta?

    <p>β(1, 1)</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la definición de la variable X en la distribución hipergeométrica H(N, D, n)?

    <p>Número de elementos de la clase A en los n seleccionados</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué condiciones deben cumplirse para el valor de k en la función de probabilidad P(X = k)?

    <p>k ≤ D y n - k ≤ N - D</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se calcula la esperanza matemática E(X) de la distribución hipergeométrica H(N, D, n)?

    <p>E(X) = n * (D / N)</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el significado de la varianza Var(X) en la distribución hipergeométrica?

    <p>Medida de la dispersión de X alrededor de E(X)</p> Signup and view all the answers

    ¿Bajo qué condiciones se puede aproximar la distribución hipergeométrica con una distribución binomial?

    <p>Cuando D/N se aproxima a p al infinito</p> Signup and view all the answers

    En la fórmula de probabilidad P(X = k), ¿qué representa el término n!D en el numerador?

    <p>Las combinaciones de los elementos de A seleccionados</p> Signup and view all the answers

    Para la distribución hipergeométrica H(N, D, n), ¿qué indica el parámetro D?

    <p>Número de elementos de la clase A en el conjunto</p> Signup and view all the answers

    En el contexto de la distribución hipergeométrica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?

    <p>La selección se hace con reemplazamiento</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Modelos para Variables Aleatorias

    • Uno de los objetivos del Cálculo de Probabilidades es determinar distribuciones prototipo que sirvan como modelos para el comportamiento de las variables en problemas reales.
    • Estas distribuciones pueden ser exactas o idealizaciones de las distribuciones reales.
    • Se eligen con dos objetivos: ser una representación exacta o buena aproximación de distribuciones reales, y ser fáciles de manejar para el desarrollo de técnicas estadísticas.

    Modelos de Distribuciones para Variables Aleatorias Discretas

    • Los modelos de distribuciones discretas sirven como modelo exacto o límite para distribuciones reales.
    • Se presentan mediante ejemplos, variables aleatorias y la deducción de la distribución.
    • Un ejemplo es la distribución degenerada en un punto c, que toma ese valor con probabilidad 1 y cualquier otro con probabilidad 0. Se representa como c.
    • Esta distribución tiene una función de distribución que toma el valor 0 para x < c y 1 para x ≥ c. También se conoce como variable aleatoria causal.
    • Los modelos discretos se basan en experimentos de Bernoulli donde solo interesa si un suceso A (como una pieza defectuosa o un éxito) ocurre o no.
    • Se destacan los modelos binomial, de Poisson, de Pascal, geométrica, binomial negativa e hipergeométrica.

    Distribución Binomial

    • La distribución binomial, B(n,p), se asocia con el número de veces que ocurre un suceso A en n experimentos independientes de Bernoulli, donde p es la probabilidad de que ocurra A en un experimento.
    • Los posibles valores de la variable X son del 0 al n.
    • La función de probabilidad se define como: P(X =k) = (n k) * [P(A)]^k * [1 - P(A)]^(n-k).
    • La esperanza matemática E(X) = np y la varianza Var(X) = np*(1-p).

    Distribución de Poisson

    • La distribución de Poisson, P(λ), es un modelo límite de una distribución binomial cuando n es grande y p es pequeño ( n*p = λ)
    • La función de probabilidad se define como: P(X = k) = [e^-λ * λ^k] / k!
    • La esperanza matemática E(X) = λ y la varianza Var(X) = λ.

    Distribución Uniforme Discreta

    • La distribución uniforme discreta, U{x1, ...,xn}, se presenta cuando todos los valores de la variable aleatoria son igualmente probables.
    • La función de probabilidad es: P(X = xi) = 1/n (para i = 1, ...,n)
    • Su esperanza matemática E(X) = (x1+...+xn)/n y varianza Var(X) = [(x1-E(X))^2 + (x2-E(X))^2...+ (xn-E(X))^2] / n.

    Otros Modelos de Distribuciones Discretas

    • Distribución binomial negativa.
    • Otros modelos incluyen modelos de distribuciones binomiales negativas, hipergeométricas.

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