Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

• Descreve a probabilidade de um evento com base no conhecimento prévio de condições relacionadas.

Fórmula do Teorema de Bayes

• A fórmula é expressa como: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

Termos da Fórmula

• $P(A|B)$: Probabilidade a posteriori de A, dado B.
• $P(B|A)$: Probabilidade a posteriori de B, dado A.
• $P(A)$: Probabilidade a priori de A.
• $P(B)$: Probabilidade a priori de B.

Dedução

• A probabilidade condicional de A dado B é: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• $P(A \cap B)$ é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente.
• Similarmente, $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
• Rearranjando, $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

Exemplo Prático: Diagnóstico Médico

• Baseia-se na estimativa inicial (probabilidade a priori) da probabilidade de um paciente ter uma doença.
• Um exame é realizado, cujo resultado altera a probabilidade.
• É feito o uso do Teorema de Bayes para calcular a nova probabilidade (probabilidade a posteriori).

Exemplo Numérico

• Prevalência da doença: $P(Doença) = 0,01$ (1%).
• Taxa de verdadeiro positivo do exame: $P(Positivo|Doença) = 0,9$ (90%).
• Taxa de falso positivo do exame: $P(Positivo|¬Doença) = 0,1$ (10%).

Cálculo da Probabilidade a Posteriori

• Calcula-se $P(Doença|Positivo) = \frac{P(Positivo|Doença) * P(Doença)}{P(Positivo)}$
• Calcular $P(Positivo)$ usando a lei da probabilidade total: $P(Positivo) = P(Positivo|Doença) * P(Doença) + P(Positivo|¬Doença) * P(¬Doença)$
• $P(¬Doença) = 1 - P(Doença) = 0,99$

Substituição de Valores

• $P(Positivo) = 0,9 * 0,01 + 0,1 * 0,99 = 0,108$

Resultado Final

• $P(Doença|Positivo) = \frac{0,9 * 0,01}{0,108} = 0,0833$ (8,33%).
• Mesmo com um exame positivo, a probabilidade de ter a doença é baixa devido à baixa prevalência e à taxa de falso positivo.

Comparação de Números Complexos

Definição

• Sejam $z = a+bi$ e $z' = a'+b'i$ dois números complexos onde $a, a', b, b' \in \mathbb{R}$.
• $z = z'$ se, e somente se, $a=a'$ e $b=b'$.

Observação

• Não existe ordem em $\mathbb{C}$.
• Não é possível dizer que $z > z'$ ou $z < z'$.

Módulo de um Número Complexo

• Seja $z = a+bi$ um número complexo com $a, b \in \mathbb{R}$.
• O módulo de $z$, denotado por $|z|$, é definido como: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Propriedades do Módulo

• Para todo $z \in \mathbb{C}$, $|z| \geq 0$
• $|z| = 0$ se, e somente se, $z = 0$
• Para todo $z \in \mathbb{C}$, $|z| = |-z| = |\overline{z}|$
• Para todos $z, z' \in \mathbb{C}$, $|zz'| = |z||z'|$
• Para todo $z \in \mathbb{C}$ não nulo, $|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|}$
• Desigualdade triangular: $|z+z'| \leq |z| + |z'|$
• $||z| - |z'|| \leq |z-z'|$

Argumento de um Número Complexo Não Nulo

• Seja $z = a+bi$ um número complexo não nulo com $a, b \in \mathbb{R}$.
• Argumento de $z$, denotado por $arg(z)$, é a medida em radianos do ângulo orientado $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ onde $M$ é o ponto de afixo $z$.

Propriedades

• $z = |z|(cos(\theta) + isin(\theta))$ onde $\theta$ é um argumento de $z$.
• Para todo $z \in \mathbb{C}^*$, $arg(z) = arg(z) [2\pi]$
• Para todos $z, z' \in \mathbb{C}^*$, $arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2\pi]$
• Para todo $z \in \mathbb{C}^*$ e todo $n \in \mathbb{Z}$, $arg(z^n) = n arg(z) [2\pi]$
• Para todo $z \in \mathbb{C}^*$, $arg(\frac{1}{z}) = -arg(z) [2\pi]$
• Para todos $z, z' \in \mathbb{C}^*$, $arg(\frac{z}{z'}) = arg(z) - arg(z') [2\pi]$
• Para todo $z \in \mathbb{C}^*$, $arg(\overline{z}) = -arg(z) [2\pi]$

Forma Trigonométrica

• Seja $z$ um número complexo não nulo de módulo $r$ e argumento $\theta$.
• $z = r(cos(\theta) + isin(\theta))$

Forma Exponencial

• Seja $z$ um número complexo não nulo de módulo $r$ e argumento $\theta$.
• $z = re^{i\theta}$ onde $e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)$.

Análise de Dados Avançada e Modelagem Estatística

Inferência Causal

Dados Observados

• $Y_i$: Resultado do sujeito $i$.
• $T_i$: Tratamento do sujeito $i$.
• $X_i$: Covariáveis observadas do sujeito $i$.

Resultados Potenciais

• $Y_i(t)$: Resultado potencial do sujeito $i$ se recebesse o tratamento $t$.

Efeito Causal

• $Y_i(1) - Y_i(0)$: Efeito causal do tratamento no sujeito $i$.

Problema Fundamental da Inferência Causal

• Observação de apenas um dos resultados potenciais para cada sujeito.

Suposições para Inferência Causal

• Consistência: $Y_i = Y_i(T_i)$
• Ignorabilidade: $Y_i(0), Y_i(1) \perp T_i | X_i$
• Positividade: $0 < P(T_i = 1 | X_i) < 1$

DAGs (Grafos Acíclicos Dirigidos)

Definição

• Um DAG é um grafo com arestas direcionadas e sem ciclos.

Componentes

• Nós: Variáveis
• Arestas: Representam relações causais

Terminologia

• Pais: Nós com arestas direcionadas apontando para um nó
• Filhos: Nós com arestas direcionadas partindo de um nó
• Ancestrais: Pais, avós, etc.
• Descendentes: Filhos, netos, etc.

d-separação (d-separation)

• Um caminho entre dois nós é d-separado se for bloqueado por:
  • Um colisor ($A \rightarrow C \leftarrow B$) onde C e seus descendentes não são condicionados
  • Uma cadeia ($A \rightarrow B \rightarrow C$) ou garfo ($A \leftarrow B \rightarrow C$) onde B é condicionado

Caminho de Porta dos Fundos (Backdoor Path)

• Caminho que contém uma seta apontando para o nó de tratamento.

Caminho de Porta da Frente (Frontdoor Path)

• Caminho que não contém seta apontando para o nó de tratamento.

Métodos

Regressão

• Modelo: $Y_i = \alpha + \beta T_i + \gamma X_i + \epsilon_i$
• Interpretação: $\beta$ é o efeito causal estimado do tratamento no resultado.
• Suposições:
  • Linearidade
  • Aditividade
  • Sem viés de variável omitida

Emparelhamento (Matching)

• Processo:
  • Emparelhar sujeitos tratados e controles com base nas covariáveis observadas.
  • Estimar o efeito médio do tratamento nos tratados (ATT).
• Fórmula: $ATT = E[Y_i(1) - Y_i(0) | T_i = 1]$
• Suposições:
  • Ignorabilidade
  • Positividade

Ponderação da Probabilidade Inversa do Tratamento (IPTW)

• Processo:
  • Estimar a probabilidade de tratamento dado as covariáveis observadas.
  • Ponderar cada sujeito pelo inverso da probabilidade de tratamento.
• Fórmula: $\hat{ATE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{T_i Y_i}{\hat{P}(T_i = 1 | X_i)} - \frac{(1 - T_i) Y_i}{\hat{P}(T_i = 0 | X_i)}$
• Suposições:
  • Ignorabilidade
  • Positividade
  • Especificação correta do modelo de tratamento

Variáveis Instrumentais

• Variável relacionada ao tratamento, mas não ao resultado, exceto através do tratamento.
• Suposições:
  • Relevância: $Cov(Z_i, T_i) \neq 0$
  • Restrição de exclusão: $Cov(Z_i, Y_i(t)) = 0$
  • Ignorabilidade: $Z_i \perp {Y_i(0), Y_i(1)} | X_i$

Análise de Mediação

• Técnica para examinar os mecanismos pelos quais uma variável independente afeta uma variável dependente através de uma variável mediadora.

• Passos:

  • Estimar o efeito total da variável independente na variável dependente.
  • Estimar o efeito da variável independente na variável mediadora.
  • Estimar o efeito da variável mediadora na variável dependente, controlando a variável independente.
  • Estimar o efeito direto da variável independente na variável dependente, controlando a variável mediadora.

• Fórmulas:

  • Efeito total: $TE = c$
  • Efeito indireto: $IE = a \cdot b$
  • Efeito direto: $DE = c'$