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Questions and Answers
La tasa de variación ______ determina la velocidad media, si la función $f$ es una función espacio – tiempo.
La tasa de variación ______ determina la velocidad media, si la función $f$ es una función espacio – tiempo.
media
La ______ de $f$ en $a$ (pendiente de la recta tangente) es el límite de las pendientes de las rectas secantes.
La ______ de $f$ en $a$ (pendiente de la recta tangente) es el límite de las pendientes de las rectas secantes.
derivada
Dadas dos funciones, $f(x)$ y $g(x)$, la derivada del producto de estas funciones, $(f(x) \cdot g(x))'$, se calcula como $f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot ______$.
Dadas dos funciones, $f(x)$ y $g(x)$, la derivada del producto de estas funciones, $(f(x) \cdot g(x))'$, se calcula como $f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot ______$.
g'(x)
Si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ es una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces se puede aplicar la Regla de ______.
Si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ es una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces se puede aplicar la Regla de ______.
Si una función es ______ en un punto, entonces es continua en ese punto.
Si una función es ______ en un punto, entonces es continua en ese punto.
La ______ de la recta tangente a la curva en un punto dado es un valor numérico que describe la dirección y la inclinación de la recta tangente en ese punto.
La ______ de la recta tangente a la curva en un punto dado es un valor numérico que describe la dirección y la inclinación de la recta tangente en ese punto.
Las ______ laterales permiten analizar el comportamiento de la derivada cuando se acerca a un punto desde la izquierda o desde la derecha.
Las ______ laterales permiten analizar el comportamiento de la derivada cuando se acerca a un punto desde la izquierda o desde la derecha.
Los ______ singulares son puntos donde la derivada de la función es cero o no existe.
Los ______ singulares son puntos donde la derivada de la función es cero o no existe.
Para hallar la ecuación de la recta ______ a una función $f(x)$ en $x = a$, se utiliza la fórmula: $y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)$
Para hallar la ecuación de la recta ______ a una función $f(x)$ en $x = a$, se utiliza la fórmula: $y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)$
La regla de la ______ se utiliza para derivar funciones compuestas.
La regla de la ______ se utiliza para derivar funciones compuestas.
Si la derivada de una función es ______ en un intervalo, entonces la función es creciente en ese intervalo.
Si la derivada de una función es ______ en un intervalo, entonces la función es creciente en ese intervalo.
La tasa de variación media de una función $f$ entre los valores $a$ y $b$ se calcula como $TVM(a, b) = \frac{f(b) - f(a)}{______ - a}$.
La tasa de variación media de una función $f$ entre los valores $a$ y $b$ se calcula como $TVM(a, b) = \frac{f(b) - f(a)}{______ - a}$.
Optimizar una función es averiguar cuál es su valor máximo (o mínimo) y determinar para qué valor de $x$ se ______.
Optimizar una función es averiguar cuál es su valor máximo (o mínimo) y determinar para qué valor de $x$ se ______.
La derivada de una constante es siempre ______.
La derivada de una constante es siempre ______.
Si la derivada de una función es cero en un punto, ese punto es un posible ______ local.
Si la derivada de una función es cero en un punto, ese punto es un posible ______ local.
Al calcular la derivada de $x^n$, la regla de la potencia establece que la derivada es $n \cdot x^______$.
Al calcular la derivada de $x^n$, la regla de la potencia establece que la derivada es $n \cdot x^______$.
El concepto de derivada es una herramienta fundamental en el cálculo diferencial para estudiar la ______ de las funciones.
El concepto de derivada es una herramienta fundamental en el cálculo diferencial para estudiar la ______ de las funciones.
Para funciones con puntos angulosos, las derivadas laterales son diferentes, por lo tanto, la función no es ______ en ese punto.
Para funciones con puntos angulosos, las derivadas laterales son diferentes, por lo tanto, la función no es ______ en ese punto.
La derivada de $e^x$ es ______.
La derivada de $e^x$ es ______.
El valor de $f'(x)$ indica la pendiente de la recta ______ en cualquier punto $x$ de la función $f(x)$.
El valor de $f'(x)$ indica la pendiente de la recta ______ en cualquier punto $x$ de la función $f(x)$.
La derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$, mientras que la derivada de $\cos(x)$ es $______ \sin(x)$
La derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$, mientras que la derivada de $\cos(x)$ es $______ \sin(x)$
La recta ______ es perpendicular a la recta tangente en un específico punto de la función, nos dice la dirección opuesta al cambio instantáneo.
La recta ______ es perpendicular a la recta tangente en un específico punto de la función, nos dice la dirección opuesta al cambio instantáneo.
Si $f''(x) > 0$ en un intervalo, entonces la función $f(x)$ es ______ hacia arriba en ese intervalo.
Si $f''(x) > 0$ en un intervalo, entonces la función $f(x)$ es ______ hacia arriba en ese intervalo.
La derivada de $f(x) = x$ es igual a ______.
La derivada de $f(x) = x$ es igual a ______.
Una función tiene un máximo relativo en un punto si la derivada cambia de ______ a negativo en ese punto.
Una función tiene un máximo relativo en un punto si la derivada cambia de ______ a negativo en ese punto.
La derivada de una suma de funciones es la ______ de las derivadas de cada función.
La derivada de una suma de funciones es la ______ de las derivadas de cada función.
Los puntos donde la segunda derivada es igual a cero, $f''(x) = 0$, son conocidos como puntos de ______.
Los puntos donde la segunda derivada es igual a cero, $f''(x) = 0$, son conocidos como puntos de ______.
La derivada de $f(x) = \ln(x)$ es $f'(x) = \frac{______}{x}$
La derivada de $f(x) = \ln(x)$ es $f'(x) = \frac{______}{x}$
La derivada de una función en un punto indica la tasa de cambio ______ de la función en ese punto.
La derivada de una función en un punto indica la tasa de cambio ______ de la función en ese punto.
Si la primera derivada $f'(x) = 0$ y la segunda derivada $f''(x) > 0$ en un punto, entonces la función tiene un mínimo ______ en ese punto.
Si la primera derivada $f'(x) = 0$ y la segunda derivada $f''(x) > 0$ en un punto, entonces la función tiene un mínimo ______ en ese punto.
La antiderivada de una función es también conocida como ______.
La antiderivada de una función es también conocida como ______.
Para determinar los intervalos de crecimiento y ______ de una función, es esencial analizar el signo de la primera derivada.
Para determinar los intervalos de crecimiento y ______ de una función, es esencial analizar el signo de la primera derivada.
La ______ de una función puede ser usada para encontrar las dimensiones que maximizan o minimizan alguna cantidad relacionada a la misma.
La ______ de una función puede ser usada para encontrar las dimensiones que maximizan o minimizan alguna cantidad relacionada a la misma.
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta ______ a la función en ese punto.
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta ______ a la función en ese punto.
La regla de ______ es útil para simplificar el cálculo de límites cuando se tienen formas indeterminadas.
La regla de ______ es útil para simplificar el cálculo de límites cuando se tienen formas indeterminadas.
Si la segunda derivada de una función es positiva en un intervalo, se dice que la función es ______ en ese intervalo.
Si la segunda derivada de una función es positiva en un intervalo, se dice que la función es ______ en ese intervalo.
La derivada de $f(x) = kx$, donde $k$ es una constante, es igual a ______.
La derivada de $f(x) = kx$, donde $k$ es una constante, es igual a ______.
Una función es derivable en un punto si el límite de la diferencia de cocientes existe en ese punto, y si las derivadas ______ laterales son iguales.
Una función es derivable en un punto si el límite de la diferencia de cocientes existe en ese punto, y si las derivadas ______ laterales son iguales.
Si $f'(x) < 0$ en un intervalo, entonces la función $f(x)$ es ______ en ese intervalo.
Si $f'(x) < 0$ en un intervalo, entonces la función $f(x)$ es ______ en ese intervalo.
El proceso de calcular la derivada de una función se llama ______.
El proceso de calcular la derivada de una función se llama ______.
Flashcards
Tasa de variación media
Tasa de variación media
La tasa de cambio promedio de una función f entre dos puntos a y b.
¿Qué es la derivada f'(a)?
¿Qué es la derivada f'(a)?
La derivada de una función f en un punto a es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
¿Cómo medir el crecimiento en un punto?
¿Cómo medir el crecimiento en un punto?
Medir el crecimiento en un punto a través de la pendiente de la recta tangente en ese punto.
¿Qué es función derivada?
¿Qué es función derivada?
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¿Cómo obtener la función derivada?
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Derivada de una constante
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Función identidad
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Función potencia. f(x) = x^n
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Producto de función por constante.
Producto de función por constante.
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Suma de funciones
Suma de funciones
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Producto de funciones
Producto de funciones
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Cociente de funciones
Cociente de funciones
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Regla de la cadena
Regla de la cadena
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Ecuación de la recta tangente
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Ecuación de recta normal
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¿Cómo hallar puntos con derivada K?
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¿Puntos singulares: Cómo encontrarlos?
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Optimización de funciones
Optimización de funciones
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Regla de L'Hôpital
Regla de L'Hôpital
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Resultado Regla de L'Hôpital
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Derivadas laterales
Derivadas laterales
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Derivabilidad y continuidad
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¿Qué son los puntos singulares?
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Study Notes
Tema 6: Derivadas
Tasa de Variación Media
- La tasa de variación de una función f entre los valores a y b se define como TV(a, b) = f(b) – f(a).
- La tasa de variación media de una función f entre los valores a y b se define como TVM(a, b) = (f(b) − f(a)) / (b - a).
- La tasa de variación media determina la velocidad media si f es una función espacio-tiempo, y determina la pendiente o coeficiente angular de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
- Con frecuencia, al intervalo se le designa mediante la expresión [a, a+h], así, TVM[a, a+h] = (f(a+h) - f(a)) / h.
Ejemplos de Tasa de Variación Media
- Dada f(x) = 5x - x², se calcula la TVM en los intervalos [1, 2], [1, 3], [1, 4] y [1, 5].
- TVM[1, 2] = (f(2) - f(1)) / (2-1) = (6-4) / 1 = 2.
- TVM[1, 3] = (f(3) - f(1)) / (3-1) = (6-4) / 2 = 1.
- TVM[1, 4] = (f(4) - f(1)) / (4-1) = (4-4) / 3 = 0.
- TVM[1, 5] = (f(5) - f(1)) / (5-1) = (0-4) / 4 = -1.
Más Ejemplos de Tasa de Variación Media
- Para y = √(x−1), se calcula la TVM en los intervalos [1, 2], [1, 5] y [1, 10].
- TVM[1, 2] = (f(2) - f(1)) / (2-1) = (√1 - √0) / 1 = 1.
- TVM[1, 5] = (f(5) - f(1)) / (5-1) = (√4 - √0) / 4 = 1/2.
- TVM[1, 10] = (f(10) - f(1)) / (10-1) = (√9 - √0) / 9 = 1/3.
TVM en un Intervalo Variable
- Se calcula la TVM de la función del ejemplo anterior en el intervalo [1, 1+h].
- TVM[1, 1+h] = (f(1+h) - f(1)) / h = (5(1+h) - (1+h)² - (5·1 - 1²)) / h.
- Simplificando: (5 + 5h - 1 - h² - 2h - 5 + 1) / h = (-h² + 3h) / h = -h + 3.
Crecimiento en un Punto. Derivada
- El crecimiento en un punto se mide mediante la pendiente de la recta tangente.
- El crecimiento de una función en un punto se mide mediante la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
- Se llama derivada de f en a (siendo a la abscisa del punto) y se expresa f’(a), que se lee "f prima de a".
Ejemplos de Derivadas en Puntos Específicos
- Dada una función, en el punto A(1, 4), la derivada en ese punto es f’(1) = 2.
- En el punto B(5, 5), f’(5) = -1.
- En el punto C(8, 2), f’(8) = 0.
- En el punto D(10, 4), f’(10) = 2.5.
Obtención de la Derivada a Partir de la Expresión Analítica
- La derivada de f en a (pendiente de la recta tangente) es el límite de las pendientes de las rectas secantes:.
- f’(a) = lim (f(x) - f(a)) / (x-a) cuando x tiende a a = lim (f(a+h) - f(a)) / h cuando h tiende a 0.
Ejemplo de Cálculo de Derivada por Límite
- Dada f(x) = 3x - x², se calcula f’(1).
- f’(1) = lim (f(1+h) - f(1)) / h cuando h tiende a 0.
- Esto es igual a lim (3(1+h) - (1+h)² - 4) / h cuando h tiende a 0.
- Simplificando: lim (4 + 3h - h² - 4) / h cuando h tiende a 0 = lim (3h - h²) / h cuando h tiende a 0.
- Por lo tanto, f’(1) = lim 3 - h cuando h tiende a 0 = 3.
Función Derivada
- Se llama derivada de f a una función f’ que asocia a cada abscisa x, la derivada de f en ese punto, f’(x), o sea, la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en ese punto. A la derivada de f la llamaremos f’ o bien Df(x).
- Df(x) = f’(x) = lim (f(x+h) - f(x)) / h cuando h tiende a 0.
Ejemplo de Cálculo de Función Derivada
- Se calcula la función derivada de f(x) = √x, y a partir de ella, f’(1) y f’(4).
- f’(x) = lim (√(x+h) - √x) / h cuando h tiende a 0.
- Multiplicando y dividiendo por el conjugado: lim ((√(x+h) - √x) (√(x+h) + √x)) / (h(√(x+h) + √x)) cuando h tiende a 0.
- Simplificando: lim (x + h - x) / (h(√(x+h) + √x)) cuando h tiende a 0 = lim 1 / (√(x+h) + √x) cuando h tiende a 0.
- Por lo tanto, f’(x) = 1 / (2√x).
- Luego f’(1) = 1/2 y f’(4) = 1/4.
Ejemplos Adicionales de Funciones Derivadas
- Determinar la función derivada de f(x) = x² y g(x) = (2x + 3) / x.
Reglas para Obtener las Derivadas de Algunas Funciones
- Función constante: f(x) = K ⇒ f’(x) = 0.
- Función identidad: f(x) = x ⇒ f’(x) = 1.
- Funciones potencia: f(x) = xⁿ ⇒ f’(x) = n · xⁿ⁻¹.
Funciones Trigonométricas y sus Recíprocas
- D(sen x) = cos x.
- D(cos x) = -sen x.
- D(tg x) = 1 + tg² x = 1 / cos² x.
- D(arcsen x) = 1 / √(1-x²).
- D(arccos x) = -1 / √(1-x²).
- D(arctg x) = 1 / (1+x²).
Funcionales exponenciales y logarítmicas
- D(eˣ) = eˣ.
- D(aˣ) = aˣ · ln a.
- D(ln x) = 1 / x.
- D(logₐ x) = 1 / (x· ln a).
Productos de una Función por una Constante
- D[k· f(x)] = k· Df(x) = k· f’(x), donde k es constante. Utilizando la regla y = 7x³, Df(x) = 7· D(x³) = 7· 3x² = 21x².
Sumas de Funciones
- D[f(x) + g(x)] = f´(x) + g '(x). La regla general D[f(x) + g(x) + ....] = f’(x) + g’(x) + ....
- La siguiente suma D(2x⁴ - 5x³ + 7x² - 3) = 8x³ - 15x² + 14x.
Producto de Funciones
- Para dos factores, D[f(x) · g(x)] = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x).
- La regla en general derivada D[f · g · ... · h] = f’· g · ... · h + f · g’· ... · h + ... + f · g · ... · h’.
- Para calcular la derivada del primer ejemplo , D [x²senx] = 2xsenx + x²cosx.
- Para calcular la derivada del segundo ejemplo, D[x²senx· 2ˣ] = 2xsenx·2ˣ + x²cosx·2ˣ + x²senx·2ˣ ·ln2.
Cociente de Funciones
- Usa la fórmula para calcular la derivada de cocientes D[f(x) / g(x)] = (f’(x) · g(x) - f(x) · g’(x)) / (g(x))².
- Un ejemplo para calcular D[(sen x)/(cos x)] = (cosx·cosx - senx(-senx)) / (cos² x) = 1 / cos² x.
Regla de la Cadena. Derivada de una Función Compuesta
- Si f and g son funciones diferenciables, D{g[f(x)]} = g’[f(x)] · f’(x).
- Si f, g and h son funciones diferenciables, D{h{g[f(x)]}} = h’{g[f(x)]} · g’[f(x)] · f’(x).
Ecuación de la Recta Tangente
- La ecuación de la recta tangente a y = f(x) en x=a es y – f(a) = f’(a)·(x−a).
Ejemplo de Hallar la Recta Tangente
- Para f(x) = x³ - 5x + 1 en x=2:
- Se calcula f(2) = 2³-5(2)+1 = -1.
- Se calcula f’(x) = 3x² -5.
- Resultando en f’(2) = 3(2)²-5=7.
- .En esta recta tangente, y-(-1) = 7(x-1) o y=7x-15
Ecuación de la Recta Normal
- Es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto.
- Su ecuación viene dada de la forma: y-f(a)=-1f’(a)*(x-a).
Obtención de los Puntos en los que la Derivada Tiene Un Cierto Valor
- Para hallar los puntos en los que la derivada tiene un cierto valor K, se resuelve la ecuación f’(x)=K.
- Sus raíces son las abscisas de los puntos buscados.
Obtención de los Puntos Singulares de una Función
- Se define como puntos singulares de una función a los puntos de tangente horizontal.
- Esto implica el uso de una función donde la derivada es cero.
- Los máximos y mínimos relativos son de este tipo
- Las abscisas de estos puntos se derivan de las ecuaciones f`(x)=0.
- Determinar donde crece y donde decrece la función y=x3-6*x2+9x+2 de la función mencionada
Optimización de Funciones
- Optimizar una función es preguntar cuál es su valor máximo (o mínimo).
- Determinar el mejor valor de x, se debe alcanzar esa optimización.
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