Teilchen auf einem Ring und Rotationsspektrum von CO

Particle on a Ring

• Schrödinger-Gleichung: $-\frac{\hbar^2}{2I}\frac{d^2}{d\phi^2}\Phi(\phi)=E\Phi(\phi)$
• $I=\mu r^2$ ist das Trägheitsmoment.
• $\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ ist die reduzierte Masse.
• Die allgemeine Lösung lautet $\Phi(\phi)=A e^{im\phi}$.
• $\Phi(\phi)=\Phi(\phi+2\pi)$
• $e^{im\phi}=e^{im(\phi+2\pi)}$
• $e^{im2\pi}=1$
• $m=0, \pm 1, \pm 2, \dots$
• $E_m=\frac{\hbar^2m^2}{2I}$
• Die Wellenfunktionen sind $\Phi_m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\phi}$.

Rotationsspektrum von Kohlenmonoxid (CO)

• $E_J=BJ(J+1)$
• $B=\frac{\hbar^2}{2I}$
• $I=\mu r^2=\frac{m_c m_o}{m_c+m_o}r^2$
• $m_c=12m_p$
• $m_o=16m_p$
• $\mu=\frac{12 \cdot 16}{28}m_p=\frac{48}{7}m_p$
• $m_p=1.67 \times 10^{-27} kg$
• $r=113 pm$
• $I=\frac{48}{7} \cdot 1.67 \times 10^{-27} kg \cdot (113 \times 10^{-12} m)^2=1.46 \times 10^{-46} kg \cdot m^2$
• $B=\frac{(1.054 \times 10^{-34} Js)^2}{2 \cdot 1.46 \times 10^{-46} kg \cdot m^2}=3.8 \times 10^{-23}J$
• $\Delta E=E_{J+1}-E_J=B(J+1)(J+2)-BJ(J+1)=2B(J+1)$
• $\Delta E=h\nu$
• $\nu=\frac{2B(J+1)}{h}=\frac{2 \cdot 3.8 \times 10^{-23}J (J+1)}{6.626 \times 10^{-34}Js}=1.15 \times 10^{11} Hz (J+1)$
• $\nu=115 GHz (J+1)$
• $J=0 \rightarrow \nu = 115 GHz$
• $J=1 \rightarrow \nu = 230 GHz$
• $J=2 \rightarrow \nu = 345 GHz$

Die Fourier-Transformation und ihre Anwendungen

• Die Fourier-Transformation zerlegt eine Funktion in ihre Frequenzen. Sie liefert eine Frequenzbereichsdarstellung der ursprünglichen Funktion.
• Die Fourier-Transformation einer Funktion $f(t)$ ist definiert als: $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt$
• Hierbei ist $F(\omega)$ die Fourier-Transformation von $f(t)$, $f(t)$ ist die Funktion im Zeitbereich, $\omega$ ist die Kreisfrequenz ($2\pi f$) und $j$ ist die imaginäre Einheit ($\sqrt{-1}$).
• Die inverse Fourier Transformation ist: $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Eigenschaften der Fourier-Transformation

• Linearität: $F[af(t) + bg(t)] = aF(\omega) + bG(\omega)$
• Zeitliche Verschiebung: $F[f(t - t_0)] = e^{-j\omega t_0}F(\omega)$
• Zeitskalierung: $F[f(at)] = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$
• Dualität: $F[F(t)] = 2\pi f(-\omega)$
• Faltung: $F[f(t) * g(t)] = F(\omega)G(\omega)$
• Differentiation: $F[\frac{df(t)}{dt}] = j\omega F(\omega)$

Häufige Fourier-Transformationspaare

• $\delta(t)$ transforms zu 1.
• 1 transformiert zu $2\pi\delta(\omega)$.
• $e^{j\omega_0t}$ transformiert zu $2\pi\delta(\omega - \omega_0)$.
• $cos(\omega_0t)$ transformiert zu $\pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$.
• $sin(\omega_0t)$ transformiert zu $j\pi[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)]$.
• $rect(t)$ transformiert zu $sinc(\frac{\omega}{2})$.

Anwendungen der Fourier-Transformation

Signalverarbeitung

• Filtern: Die Fourier-Transformation wird verwendet, um Filter zu entwerfen und zu implementieren, indem die Frequenzkomponenten eines Signals modifiziert werden.
• Spektralanalyse: Analyse des Frequenzinhalts von Signalen, z. B. Audio- oder Funkwellen.
• Datenkompression: Techniken wie JPEG und MP3 verwenden die diskrete Kosinustransformation (DCT), eine Art Fourier-Transformation, um Daten zu komprimieren, indem weniger wichtige Frequenzkomponenten verworfen werden.

Bildbearbeitung

• Bildverbesserung: Modifizieren der Frequenzkomponenten eines Bildes, um bestimmte Merkmale hervorzuheben.
• Bildkompression: JPEG-Komprimierung verwendet die diskrete Kosinustransformation (DCT), um Bilder im Frequenzbereich darzustellen.
• Merkmalsextraktion: Identifizieren von Merkmalen in Bildern anhand ihres Frequenzinhalts.

Medizinische Bildgebung

• MRT: Die Fourier-Transformation wird verwendet, um Bilder aus Rohdaten zu rekonstruieren, die bei der Magnetresonanztomographie (MRT) erfasst werden.
• CT-Scans: Die Computertomographie (CT) verwendet die gefilterte Rückprojektion, die Fourier-Transformationstechniken beinhaltet, um Bilder aus Röntgendaten zu rekonstruieren.

Telekommunikation

• Modulation und Demodulation: Die Fourier-Transformation wird verwendet, um Modulationsschemata zur Übertragung von Informationen über Kommunikationskanäle zu analysieren und zu entwerfen.
• Kanalentzerrung: Kompensieren der Auswirkungen eines Kommunikationskanals auf das übertragene Signal mithilfe von Frequenzbereichtechniken.

Weitere Anwendungen

• Schwingungsanalyse: Analyse der Frequenzkomponenten von Schwingungen in mechanischen Systemen, um Fehler oder Unwuchten zu erkennen.
• Wirtschaft und Finanzen: Analyse von Zeitreihendaten, um Muster und Trends auf den Finanzmärkten zu erkennen.
• Quantenmechanik: Das Lösen der Schrödinger-Gleichung in der Quantenmechanik beinhaltet oft Fourier-Transformationen, um zwischen Orts- und Impulsraum zu wechseln.

Arten der Fourier-Transformation

• Kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT): Wird auf stetige, nichtperiodische Funktionen angewendet.
• Diskrete Fourier-Transformation (DFT): Wird auf diskrete, periodische Funktionen angewendet.
• Diskrete Zeit-Fourier-Transformation (DTFT): Wird auf diskrete, nichtperiodische Funktionen angewendet.
• Schnelle Fourier-Transformation (FFT): Ist ein Algorithmus zur effizienten Berechnung der DFT.

Vorteile der Fourier-Transformation

• Frequenzbereichsanalyse: Ermöglicht eine einfache Analyse des Systemverhaltens bei verschiedenen Frequenzen.
• Signalzerlegung: Zerlegt ein Signal in seine Frequenzkomponenten, wodurch Filterung und Rauschunterdrückung möglich werden.
• Faltungsvereinfachung: Wandelt die Faltung im Zeitbereich in die Multiplikation im Frequenzbereich um, was die Berechnung vereinfacht.

Nachteile der Fourier-Transformation

• Rechenkomplexität: Kann für lange Signale rechenintensiv sein, obwohl der FFT-Algorithmus dies deutlich reduziert.
• Informationsverlust: Beim Transformieren vom Zeitbereich in den Frequenzbereich und zurück kann ein Teil der Informationen verloren gehen, insbesondere bei verlustbehafteten Komprimierungstechniken.
• Stationaritätsannahme: Geht davon aus, dass das Signal über den analysierten Zeitraum stationär ist, was in realen Anwendungen möglicherweise nicht immer der Fall ist.

Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip besagt, dass schneller bewegte Luft weniger Druck ausübt.
• Flugzeugflügel sind so geformt, dass die Luft über der Oberseite schneller als die Luft unter dem Flügel strömen muss.
  • Schnellere Luft = weniger Druck
  • Langsamere Luft = mehr Druck
  • Druckunterschied erzeugt Auftrieb

Curveball

• Der Spin eines Curveballs erzeugt einen Druckunterschied.
• Die Luft strömt auf einer Seite des Balls schneller als auf der anderen Seite.
  • Schnellere Luft = weniger Druck
  • Langsamere Luft = mehr Druck
  • Der Druckunterschied zwingt den Ball zur Kurve.

Satz (Kettenregel)

• Angenommen, $g$ ist differenzierbar an der Stelle $x$ und $f$ ist differenzierbar an der Stelle $g(x)$. Dann ist die zusammengesetzte Funktion $F = f \circ g$, definiert durch $F(x) = f(g(x))$, differenzierbar an der Stelle $x$ und $F'(x)$ ist gegeben durch das Produkt: $F'(x) = f'(g(x))g'(x)$

Beispiel

• $F(x) = \sqrt{x^2 + 1}$
• $f(x) = \sqrt{x}$
• $g(x) = x^2 + 1$ so $F(x) = f(g(x)) = \sqrt{x^2 + 1}$
• $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $g'(x) = 2x$
• Dann gibt die Kettenregel $F'(x) = f'(g(x))g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Beispiel

• $y = \sin(x^2)$
• $\frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x$

Beispiel

• $y = (\frac{x-3}{2x+1})^9$
• $\frac{dy}{dx} = 9 (\frac{x-3}{2x+1})^8 \cdot \frac{d}{dx} (\frac{x-3}{2x+1})$
  • $= 9(\frac{x-3}{2x+1})^8 \cdot \frac{(2x+1)(1) - (x-3)(2)}{(2x+1)^2}$
  • $= 9(\frac{x-3}{2x+1})^8 \cdot \frac{2x+1 - 2x + 6}{(2x+1)^2}$
  • $= 9(\frac{x-3}{2x+1})^8 \cdot \frac{7}{(2x+1)^2}$
  • $= \frac{63(x-3)^8}{(2x+1)^{10}}$

Implizite Differentiation

• Die Gleichung $x^3 + y^3 = 6xy$ definiert eine Kurve, die als Folium von Descartes bezeichnet wird.
• Die Tangente an diese Kurve am Punkt (3, 3) ist $y = -x + 6$.

Physik

• BSc Physik: 3 Jahre
• MPhys Physik: 4 Jahre
• Es besteht die Möglichkeit, für ein Semester oder ein ganzes Jahr im Ausland zu studieren.

Module

Jahr 1

• Kernmodule:
  • Mathematik für die Physik
  • Einführung in die Mechanik
  • Felder, Energie und Veränderung
  • Thermophysik
  • Schwingungen und Wellen
  • Essentielle Physik
• Beispiel für optionale Module:
  • Das Universum entdecken
  • Einführung in die Programmierung

Jahr 2

• Kernmodule:
  • Mathematische Methoden für die Physik
  • Quantenphysik
  • Elektromagnetismus
  • Thermodynamik und statistische Mechanik
  • Festkörperphysik
  • Optik
• Beispiel für optionale Module:
  • Sterne und Planeten
  • Kernphysik

Jahr 3

• Kernmodule:
  • Fortgeschrittene Quantenphysik
  • Elektrodynamik
  • Kern- und Teilchenphysik
  • Statistische Datenanalyse
  • Physik der kondensierten Materie
• Beispiel für optionale Module:
  • Quanteninformation
  • Allgemeine Relativitätstheorie
  • Medizinische Physik

Jahr 4 MPhys only

• Kernmodule:
  • Forschungsmethoden
  • Projekt
• Beispiel für optionale Module:
  • Fortgeschrittene Quanteninformation
  • Eichfeldtheorie
  • Weiche Physik der kondensierten Materie
  • Plasmaphysik
  • Terahertz-Technologie

Karrieren

• Ein Physikstudium kann Türen zu einer Vielzahl von Karrieren öffnen.
• Beispiele, wohin Absolventen gegangen sind:
  • Datenwissenschaftler
  • Softwareentwickler
  • Wissenschaftlicher Mitarbeiter
  • Medizinischer Physiker
  • Geophysiker
  • Lehrer
  • Wissenschaftskommunikation
  • Finanzwesen

Das 4C's Framework: Ein praktischer Leitfaden und eine Vorlage

• Das 4C's Framework ist ein Tool zur Gestaltung von Lernerfahrungen, das um vier Schlüsselelemente aufgebaut ist: Verbindungen, Konzepte, konkrete Übung und Schlussfolgerungen.

Vorteile der Verwendung des 4C's Framework

• Es ist einfach und leicht zu bedienen.
• Es gewährleistet eine vielseitige Lernerfahrung.
• Es kann auf verschiedene Lernkontexte angewendet werden.
• Es hilft, Lernende effektiv einzubeziehen.

Die 4C's

1. Verbindungen

• Der Zweck dieses ersten Schritts ist es, eine Verbindung zwischen den Teilnehmern und dem Thema herzustellen, indem auf ihr Vorwissen und ihre Erfahrungen zurückgegriffen wird.
• Ziele:
  • Das Thema einführen.
  • Die Ziele vorstellen.
  • Die Teilnehmer fragen, was sie bereits über das Thema wissen.
  • Nach ihren Erfahrungen im Zusammenhang mit dem Thema fragen.
  • Erörtern, warum das Thema für sie wichtig ist.

2. Konzepte

• In diesem Abschnitt werden Informationen verdaulich vermittelt.
• Ziele:
  • Wichtige Informationen austauschen.
  • Hauptideen oder -prinzipien erläutern.
  • Beispiele zeigen.
  • Visualisierungen verwenden (z. B. Diagramme, Grafiken).
  • Das Verständnis überprüfen.

3. Konkrete Übung

• Hier wenden die Teilnehmer die Konzepte an, die sie gelernt haben.
• Ziele:
  • Einzel- oder Gruppenaktivitäten durchführen.
  • Fallstudien bearbeiten.
  • An Rollenspielen teilnehmen.
  • Diskussionen führen.
  • Gelegenheiten zur sofortigen Anwendung bieten.

4. Schlussfolgerungen

• Hier werden die wichtigsten Erkenntnisse zusammengefasst
• Ziele:
  • Die wichtigsten Erkenntnisse zusammenfassen.
  • Erörtern, wie das neue Wissen / die neuen Fähigkeiten angewendet werden können.
  • Die Teilnehmer ermutigen, sich Ziele zu setzen.
  • Ressourcen für das weitere Lernen bereitstellen.
  • Mit einem Aufruf zum Handeln abschließen.

Template

Tipps für eine effektive Nutzung

• Beginnen Sie immer mit Verbindungen, um die Teilnehmer einzubeziehen.
• Halten Sie den Abschnitt "Konzepte" prägnant und konzentriert.
• Stellen Sie sicher, dass die "Konkrete Praxis" relevant und praxisnah ist.
• Verwenden Sie "Schlussfolgerungen", um das Lernen zu verstärken und die Anwendung zu fördern.
• Passen Sie den Rahmen an Ihre spezifischen Lernziele und Ihr Publikum an.

Algorithmischer Handel

Modul 1: Landschaft des algorithmischen Handels

Sitzung 1.1: Einführung in den algorithmischen Handel

• Was ist algorithmischer Handel?
• Ausführung von Aufträgen auf der Grundlage vorprogrammierter Anweisungen.
• Anweisungen können basieren auf:
• Preis
• Zeit
• Menge
• Mathematisches Modell
• Algorithmischer Handel
• Auch bekannt als:
• Automatisierter Handel
• Black-Box-Handel
• Algo-Trading
• Systematischer Handel
• Menschliche Eingriffe sind minimal bis gar nicht vorhanden
• Arten des algorithmischen Handels
• Ausführungsalgorithmen
• Statistische Arbitrage
• Trendfolgestrategien
• Market-Making
• Ausführungsalgorithmen
• Ziel: Reduzierung der Transaktionskosten
• Techniken:
• Volumengewichteter Durchschnittspreis (VWAP)
• Zeitgewichteter Durchschnittspreis (TWAP)
• Implementationsdefizit
• Zielschluss
• Prozentsatz des Volumens (POV)
• Statistische Arbitrage
• Ausnutzung statistischer Fehlbewertungen.
• Techniken:
• Paarweiser Handel
• Indexarbitrage
• Mittlere Reversion
• Trendfolgestrategien
• Profitieren von der Fortsetzung bestehender Trends
• Techniken:
• Gleitende Durchschnitte
• Ausbruchsstrategien
• Preiskanal
• Market-Making
• Platzieren von Kauf- und Verkaufsaufträgen, um Liquidität bereitzustellen
• Techniken:
• Orderbuchanalyse
• Bestandsverwaltung
• Aktualisierung von Angeboten
• Vorteile des algorithmischen Handels
• Reduzierte Transaktionskosten
• Verbesserte Geschwindigkeit der Auftragsausführung
• Erhöhte Handelseffizienz
• Fähigkeit zum Backtesting von Strategien
• Reduzierte emotionale Entscheidungsfindung
• Nachteile des algorithmischen Handels
• Technische Expertise erforderlich
• Risiko von Systemausfällen
• Potenzial für Überoptimierung
• Erhöhter Wettbewerb
• Regulierungsrechtliche Prüfung
• Teilnehmer am algorithmischen Handel
• Hedgefonds
• Proprietäre Handelsfirmen
• Institutionelle Investoren
• Market Maker
• Privatanleger
• Technologie-Stack für den algorithmischen Handel
• Programmiersprachen: Python, C++, Java
• Datenfeeds: Bloomberg, Reuters
• Ausführungsplattformen: Interactive Brokers, FIX API
• Cloud Computing: AWS, Azure
• Backtesting-Software: QuantConnect, TradingView
• Regulatorisches Umfeld
• SEC-Regel 15c3-5 (Marktzugangsregel)
• MiFID II (Europa)
• FINRA-Regel 5270 (Front-Running)
• Die Zukunft des algorithmischen Handels
• Erhöhter Einsatz von künstlicher Intelligenz und maschinellem Lernen
• Größerer Fokus auf Datenanalyse
• Ausgefeiltere Risikomanagementtechniken
• Expansion in neue Märkte und Anlageklassen

Sitzung 1.2: Einführung in Python

• Warum Python?
• Einfach zu lernen
• Große Community
• Umfangreiche Bibliotheken
• Vielseitig
• Frei und Open Source
• Wichtige Bibliotheken für den algorithmischen Handel
• Pandas: Datenanalyse
• NumPy: Numerische Berechnungen
• SciPy: Wissenschaftliche Berechnungen
• Matplotlib: Visualisierung
• Statsmodels: Statistische Modellierung
• Scikit-learn: Maschinelles Lernen
• Grundlegende Syntax und Datenstrukturen
• Variablen
• Datentypen: Ganzzahlen, Fließkommazahlen, Strings, Booleans
• Operatoren: Arithmetische, Vergleichs-, logische
• Kontrollfluss: If-Anweisungen, for-Schleifen, while-Schleifen
• Funktionen
• Listen, Tupel, Dictionaries
• Arbeiten mit Pandas
• DataFrames und Series
• Datenmanipulation: Filtern, Sortieren, Gruppieren
• Datenbereinigung: Umgang mit fehlenden Werten
• Datenaggregation: Berechnung von Statistiken
• Daten lesen und schreiben: CSV, Excel, SQL
• Arbeiten mit NumPy
• Arrays
• Mathematische Operationen
• Lineare Algebra
• Zufallszahlengenerierung
• Datenvisualisierung mit Matplotlib
• Liniendiagramme
• Streudiagramme
• Histogramme
• Balkendiagramme
• Anpassung

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

## Load data
data = pd.read_csv('stock_data.csv', index_col='Date')

## Calculate SMA
data['SMA_20'] = data['Close'].rolling(window=20).mean()

## Plot
plt.plot(data['Close'], label='Close Price')
plt.plot(data['SMA_20'], label='20-day SMA')
plt.legend()
plt.show()

• Ressourcen für das Erlernen von Python
• Offizielles Python-Tutorial
• Online-Kurse: Coursera, Udemy, DataCamp
• Bücher: "Python for Data Analysis" von Wes McKinney, "Automate the Boring Stuff with Python" von Al Sweigart
• Community-Foren: Stack Overflow, Reddit

Sitzung 1.3: Einführung in die Finanzmärkte

• Marktstruktur
• Börsen: NYSE, NASDAQ, LSE
• Over-the-Counter (OTC)-Märkte
• Elektronische Kommunikationsnetze (ECNs)
• Dark Pools
• Anlageklassen
• Aktien: Aktien
• Festverzinsliche Wertpapiere: Anleihen
• Rohstoffe: Gold, Öl
• Währungen: Forex
• Derivate: Optionen, Futures
• Auftragsarten
• Marktauftrag
• Limit Order
• Stop-Order
• Stop-Limit-Order
• Marktteilnehmer
• Institutionelle Investoren
• Privatanleger
• Market Maker
• Hedgefonds
• Zentralbanken
• Marktdaten
• Ebene 1: Geld- und Briefkurse
• Ebene 2: Informationen zum Orderbuch
• Historische Daten: Zeitreihen von Preisen und Volumina
• Newsfeeds: Wirtschaftliche Indikatoren, Unternehmensmeldungen
• Handelsmechanismen
• Order Routing
• Matching Engines
• Abwicklung und Clearing
• Risikomanagement
• Marktrisiko
• Kreditrisiko
• Liquiditätsrisiko
• Operationelles Risiko
• Leistungskennzahlen
• Sharpe Ratio
• Maximaler Drawdown
• Informationsquote
• Sortino Ratio
• Gesetzliches Umfeld
• Securities and Exchange Commission (SEC)
• Financial Industry Regulatory Authority (FINRA)
• Commodity Futures Trading Commission (CFTC)
• Marktmikrostruktur
• Geld-Brief-Spanne
• Orderbuchdynamik
• Preisbildung
• Marktauswirkung
• Ressourcen zum Lernen über die Finanzmärkte
• Investopedia
• Bloomberg
• Financial Times
• Wall Street Journal

Análisis de Fourier

• La transformada de Fourier es una herramienta matemática que descompone una función en sus componentes de frecuencia, con aplicaciones en procesamiento de señales, análisis de imágenes y resolución de ecuaciones diferenciales.

Serie de Fourier

• La serie de Fourier representa una función periódica como una suma de senos y cosenos.
• La función $f(t)$ de periodo $T$ puede representarse como $f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n cos(\frac{2\pi nt}{T}) + b_n sin(\frac{2\pi nt}{T})]$
• Los coeficientes de Fourier son:
  • $a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt$
  • $a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos(\frac{2\pi nt}{T}) dt$
  • $b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) sin(\frac{2\pi nt}{T}) dt$
• Forma Compleja: $f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j\frac{2\pi nt}{T}}$
  • Los coeficientes complejos de Fourier son: $c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-j\frac{2\pi nt}{T}} dt$

Transformada de Fourier

• La transformada de Fourier extiende el concepto de la serie de Fourier a funciones no periódicas: $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$
  • $\omega$ es la frecuencia angular.
• Transformada Inversa: $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$

Propiedades

• Linealidad: $F{af(t) + bg(t)} = aF(\omega) + bG(\omega)$
• Escalamiento: $F{f(at)} = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$
• Desplazamiento en el tiempo: $F{f(t - t_0)} = e^{-j\omega t_0}F(\omega)$
• Desplazamiento en frecuencia: $F{e^{j\omega_0 t}f(t)} = F(\omega - \omega_0)$
• Convolución: $F{(f * g)(t)} = F(\omega)G(\omega)$
• Derivación en el tiempo: $F{\frac{df}{dt}} = j\omega F(\omega)$

Aplicaciones

• Procesamiento de Señales: Análisis y diseño de filtros, compresión de datos.
• Análisis de Imágenes: Detección de bordes, compresión de imágenes (JPEG).
• Acústica: Análisis de espectro de sonido, diseño de ecualizadores.
• Medicina: Resonancia magnética (MRI), electroencefalografía (EEG).

Ejemplo

• Transformada de Fourier de un pulso rectangular:
  • $f(t) = \begin{cases} 1, & |t| < T \ 0, & |t| > T \end{cases}$
  • $F(\omega) = \int_{-T}^{T} e^{-j\omega t} dt = \frac{2sin(\omega T)}{\omega}$

Matplotlib

Fehlermeldung: Kein Modul namens "matplotlib"

• Problem: Eine Fehlermeldung beim Importieren von Matplotlib.
• Mögliche Ursachen:
• Matplotlib ist nicht installiert
• Matplotlib ist nicht für die verwendete Python-Umgebung installiert
• Code wird vor Abschluss der Installation von Matplotlib ausgeführt
• Die verwendete Datei .py heißt matplotlib.py
• Lösungen:
• Sicherstellen, dass Matplotlib installiert ist (mittels pip install matplotlib)
• Bei virtuellen Umgebungen sicherstellen, dass diese aktiviert wurden
• Bei mehreren Python-Umgebungen sicherstellen, dass Matplotlib für die korrekte installiert wird (mittels pip3 oder python -m pip install matplotlib)
• Warten, bis die Installation von Matplotlib abgeschlossen ist
• Die Datei .py in einen anderen Namen als matplotlib.py umbenennen
• **Erklärung:**Python kann ein Modul mit dem angegebenen Namen nicht finden.

Statik

Kapitel 3 Gleichgewicht eines Teilchens

• Bedingungen für das Gleichgewicht eines Teilchens
  • ∑ F = 0
  • ∑ Fx = 0
  • ∑ Fy = 0
  • ∑ Fz = 0
• Freikörperdiagramm
  • Eine Skizze, die nur das interessierende Teilchen "frei" von seiner Umgebung zeigt
  • Alle auf das Teilchen wirkenden Kräfte zeigen

3.1 Bedingung für das Gleichgewicht eines Teilchens

• Ein Teilchen befindet sich im Gleichgewicht, wenn es in Ruhe bleibt, falls es sich ursprünglich in Ruhe befindet, oder sich mit konstanter Geschwindigkeit weiterbewegt, falls es sich ursprünglich in Bewegung befindet.
• Nach dem ersten Newtonschen Bewegungsgesetz muss die auf ein Teilchen wirkende resultierende Kraft Null sein.
• Vektorform ∑ F = 0
• Rechteckige Komponenten $\sum F_x \mathbf{i} + \sum F_y \mathbf{j} + \sum F_z \mathbf{k} = 0$ $\sum F_x = 0$ $\sum F_y = 0$ $\sum F_z = 0$

3.2 Das Freikörperdiagramm

• Um Probleme im Zusammenhang mit dem Gleichgewicht lösen zu können, müssen alle auf das Teilchen wirkenden Kräfte berücksichtigt werden.
• Der beste Weg, dies zu tun, ist das Zeichnen eines Freikörperdiagramms (FBD).
• Das Vorgehen zum Zeichnen eines FBD ist:

1. Umrissform zeichnen: Man stelle sich vor, das Teilchen ist isoliert oder "frei" von seiner Umgebung.
2. Alle Kräfte zeigen: Man gebe auf dieser Skizze alle Kräfte an, die auf das Teilchen wirken.
3. Jede Kraft identifizieren: Die Kräfte sind in der Regel bekannt, wenn Betrag oder Richtung nicht bekannt sind, stellt man die Kraft mit einem Symbol dar.

Beispiel 3.1

• Der Kronleuchter hat ein Gewicht von 100 lb
• Bestimme die Zugkraft in jedem Kabel, das ihn trägt
• Lösung
  • Zuerst zeichnet man ein FBD des Kronleuchters, Fig. 3-lb
  • Man beachte, dass die Kabelkräfte TAC und TAB an dem Ring "ziehen".
• Gleichgewichtsgleichungen
  • Da es sich um ein 2D-Problem handelt, gilt $\sum F_x = 0; T_{AB} \cos 30^\circ - T_{AC} = 0$ $\sum F_y = 0; T_{AB} \sin 30^\circ - 100 lb = 0$
• Auflösen der zweiten Gleichung nach $T_{AB}$ und Einsetzen in die erste Gleichung ergibt $T_{AB} = 200 lb$ $T_{AC} = 173 lb$