تبسيط الكسور الجبرية وتحليل الحدود

تبسيط الكسور الجبرية

• الكسر الجبري هو نسبة بين حدين جبريين.
• يُبسط الكسر الجبري بقسمة البسط والمقام على العوامل المشتركة.
• العوامل المشتركة يجب ألا تساوي صفرًا.

تحليل الحدود الجبرية

• تحليل الحدود الجبرية هو إيجاد العوامل التي تضرب معًا لتكوين الحد المعطى.
• تقنيات تحليل الحدود الجبرية تشمل:
  • استخراج العامل المشترك الأكبر (GCF).
  • تحليل الفرق بين مربعين.
  • تحليل مجموع أو فرق مكعبين.
  • تحليل ثلاثي الحدود.
  • تحليل ثلاثي الحدود باستخدام خصائص خاصة.

استخراج العامل المشترك الأكبر (GCF)

• تحديد أكبر عامل مشترك بين جميع حدود البسط والمقام.
• قسمة البسط والمقام على GCF لتبسيط الكسر.
  • مثال: (2x + 4) / (3x + 6) يُحلل إلى 2(x + 2) / 3(x + 2).
  • يُختصر العامل المشترك (x + 2) ليصبح الناتج (2/3).

تحليل الفرق بين مربعين

• الفرق بين مربعين هو (a² - b²) ويُحلل إلى (a + b)(a - b).
• مثال: (x² - 4) يُحلل إلى (x + 2)(x - 2).

تحليل مجموع أو فرق مكعبين

• مجموع مكعبين هو (a³ + b³) ويُحلل إلى (a + b)(a² - ab + b²).
• الفرق بين مكعبين هو (a³ - b³) ويُحلل إلى (a - b)(a² + ab + b²).

تحليل ثلاثي الحدود

• ثلاثي الحدود هو تعبير جبري مكون من ثلاثة حدود، على شكل ax² + bx + c.
• طرق متنوعة لتحليل ثلاثي الحدود حسب قيم a, b, و c.

خطوات تبسيط الكسر الجبري

• تحليل البسط إلى عوامله الأولية.
• تحليل المقام إلى عوامله الأولية.
• اختصار العوامل المشتركة في البسط والمقام.
• كتابة الكسر الناتج في أبسط صورة.

مثال توضيحي

• الكسر الجبري (x² - 4) / (x² + 2x).
• تحليل البسط: (x² - 4) = (x + 2)(x - 2).
• تحليل المقام: (x² + 2x) = x(x + 2).
• اختصار العامل المشترك (x + 2).
• الكسر المبسط: (x - 2) / x.

أمور يجب مراعاتها

• التأكد من استبعاد القيم التي تُجعل المقام يساوي صفرًا من إجابة الكسر المُبسط.
• الانتباه إلى قيم x التي تُحول الكسر إلى شكل غير معرف.

ملاحظات إضافية

• تبسيط الكسور الجبرية مهم في الجبر، خاصة في حل المعادلات والمتباينات، وعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة للكسور.
• فهم تحليل الحدود الجبرية ضروري لحل المعادلات وتبسيط التعبيرات الجبرية المعقدة.