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Questions and Answers
Gegeben sei die Funktion $w(x, y) = cos(x^2 + 2y)$. Welche der folgenden Ausdrücke stellt das totale Differential dw korrekt dar?
Gegeben sei die Funktion $w(x, y) = cos(x^2 + 2y)$. Welche der folgenden Ausdrücke stellt das totale Differential dw korrekt dar?
- $dw = cos(x^2 + 2y)(xdx + dy)$
- $dw = -2sin(x^2 + 2y)(xdx + dy)$ (correct)
- $dw = 2sin(x^2 + 2y)(xdx + dy)$
- $dw = -sin(x^2 + 2y)(xdx + dy)$
Die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}$ der Funktion $f(x, y) = xy \cdot ln(2x)$ ist gleich $y \cdot ln(2x)$.
Die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}$ der Funktion $f(x, y) = xy \cdot ln(2x)$ ist gleich $y \cdot ln(2x)$.
False (B)
Um die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}$ einer Funktion $f(x, y)$ zu berechnen, wird die Variable y als eine ______ betrachtet.
Um die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}$ einer Funktion $f(x, y)$ zu berechnen, wird die Variable y als eine ______ betrachtet.
konstante
Wenn $u(x, y) = x^2 + 2y$, was ist $\frac{\partial u}{\partial x}$?
Wenn $u(x, y) = x^2 + 2y$, was ist $\frac{\partial u}{\partial x}$?
Ordnen Sie die Variablen den entsprechenden Schritten bei der Berechnung des totalen Differentials zu:
Ordnen Sie die Variablen den entsprechenden Schritten bei der Berechnung des totalen Differentials zu:
Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt, wie die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung vom Typ (1.10) gefunden wird, nachdem eine partikuläre Lösung bekannt ist?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt, wie die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung vom Typ (1.10) gefunden wird, nachdem eine partikuläre Lösung bekannt ist?
Die Funktion $I_p(x, y) = \frac{x^2}{2} \ln(|y|)$ ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1.10).
Die Funktion $I_p(x, y) = \frac{x^2}{2} \ln(|y|)$ ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1.10).
Welche Bedingung muss eine Funktion $c(x, y)$ erfüllen, um zur allgemeinen Lösung von (1.10) addiert werden zu können, nachdem eine partikuläre Lösung bereits gefunden wurde?
Welche Bedingung muss eine Funktion $c(x, y)$ erfüllen, um zur allgemeinen Lösung von (1.10) addiert werden zu können, nachdem eine partikuläre Lösung bereits gefunden wurde?
Die allgemeine Lösung I(x, y) der Differentialgleichung (1.10) hat die Form $I(x, y) = \frac{x^2}{2} \ln(|y|) + f(x) + ______$, wobei f(x) eine differenzierbare Funktion ist.
Die allgemeine Lösung I(x, y) der Differentialgleichung (1.10) hat die Form $I(x, y) = \frac{x^2}{2} \ln(|y|) + f(x) + ______$, wobei f(x) eine differenzierbare Funktion ist.
Ordne die folgenden Funktionen den entsprechenden Ableitungen zu, die zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden:
Ordne die folgenden Funktionen den entsprechenden Ableitungen zu, die zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden:
Welche der folgenden Aussagen beschreibt den ersten Schritt bei der Integration von $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $ mittels partieller Integration?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt den ersten Schritt bei der Integration von $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $ mittels partieller Integration?
Bei der Berechnung von $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $ durch partielle Integration muss die partielle Integration nur einmal angewendet werden, um das Ergebnis zu erhalten.
Bei der Berechnung von $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $ durch partielle Integration muss die partielle Integration nur einmal angewendet werden, um das Ergebnis zu erhalten.
Nach der ersten Anwendung der partiellen Integration auf $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $, welcher Ausdruck wird als $I(x)$ definiert, um die wiederholte Integration zu vereinfachen?
Nach der ersten Anwendung der partiellen Integration auf $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $, welcher Ausdruck wird als $I(x)$ definiert, um die wiederholte Integration zu vereinfachen?
Bei der zweiten Anwendung der partiellen Integration auf $I(x) = \int e^{3x} \sin(x) , dx$, wenn $p(x) = e^{3x}$ ist, dann ist $p'(x) = $ ______.
Bei der zweiten Anwendung der partiellen Integration auf $I(x) = \int e^{3x} \sin(x) , dx$, wenn $p(x) = e^{3x}$ ist, dann ist $p'(x) = $ ______.
Nachdem die Integrale zusammengefasst wurden, welchen Faktor muss man verwenden, um $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $ zu isolieren?
Nachdem die Integrale zusammengefasst wurden, welchen Faktor muss man verwenden, um $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $ zu isolieren?
Das Ergebnis der Integration $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $ enthlt keine Exponentialfunktion.
Das Ergebnis der Integration $ \int e^{3x} \cos(x) , dx $ enthlt keine Exponentialfunktion.
Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt den ersten Schritt zur Lösung des Funktionals $F[y] = \int_{-1}^{1} f(y(x), y'(x), x) dx$ für $y(x) = x^2$ und $f(y(x), y'(x), x) = y(x)y'(x) + x$?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt den ersten Schritt zur Lösung des Funktionals $F[y] = \int_{-1}^{1} f(y(x), y'(x), x) dx$ für $y(x) = x^2$ und $f(y(x), y'(x), x) = y(x)y'(x) + x$?
Was ist der Wert des Integrals $ \int e^{3x} \cos(x) , dx$?
Was ist der Wert des Integrals $ \int e^{3x} \cos(x) , dx$?
Die Euler-Gleichung ist ein notwendiges Werkzeug, um den stationären Pfad eines Funktionals zu finden, aber es gibt keine Alternativen.
Die Euler-Gleichung ist ein notwendiges Werkzeug, um den stationären Pfad eines Funktionals zu finden, aber es gibt keine Alternativen.
Ordne die Bestandteile der partiellen Integration dem entsprechenden Ausdruck zu, wenn $u(x) = e^{3x}$ und $v'(x) = \cos(x)$.
Ordne die Bestandteile der partiellen Integration dem entsprechenden Ausdruck zu, wenn $u(x) = e^{3x}$ und $v'(x) = \cos(x)$.
Wie lautet die Ableitung $y'(x)$, wenn $y(x) = x^2$?
Wie lautet die Ableitung $y'(x)$, wenn $y(x) = x^2$?
Die Lösung der Euler-Gleichung für das Funktional $F[y] = \int_0^1 (xy + y^2 + y'y) dx$ ist von der Form y = ______.
Die Lösung der Euler-Gleichung für das Funktional $F[y] = \int_0^1 (xy + y^2 + y'y) dx$ ist von der Form y = ______.
Was ist das Ergebnis des Integrals $\int_{-1}^{1} (2x^3 + x) dx$?
Was ist das Ergebnis des Integrals $\int_{-1}^{1} (2x^3 + x) dx$?
Welche Gleichung wird verwendet, um die Extrema eines Funktionals $I[y] = \int_{-1}^{1} F(y(x), y'(x), x) dx$ zu bestimmen?
Welche Gleichung wird verwendet, um die Extrema eines Funktionals $I[y] = \int_{-1}^{1} F(y(x), y'(x), x) dx$ zu bestimmen?
Gegeben sei $F(y(x), y'(x), x) = xy + y^2 + y'y$. Bestimmen Sie $\frac{\partial F}{\partial y}$.
Gegeben sei $F(y(x), y'(x), x) = xy + y^2 + y'y$. Bestimmen Sie $\frac{\partial F}{\partial y}$.
Ein Funktional ist eine Funktion, die eine Funktion als Argument nimmt.
Ein Funktional ist eine Funktion, die eine Funktion als Argument nimmt.
Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Anwendung der Euler-Gleichung zur Bestimmung stationärer Pfade eines Funktionals?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Anwendung der Euler-Gleichung zur Bestimmung stationärer Pfade eines Funktionals?
Die Euler-Gleichung ist immer eine lineare Differentialgleichung.
Die Euler-Gleichung ist immer eine lineare Differentialgleichung.
Wie lautet die allgemeine Form der Euler-Gleichung für ein Funktional der Form $F[y] = \int f(x, y, y') dx$?
Wie lautet die allgemeine Form der Euler-Gleichung für ein Funktional der Form $F[y] = \int f(x, y, y') dx$?
Bei der Anwendung der Euler-Gleichung auf ein Funktional ist das Ziel, eine Funktion zu finden, die das Integral des Funktionals ______.
Bei der Anwendung der Euler-Gleichung auf ein Funktional ist das Ziel, eine Funktion zu finden, die das Integral des Funktionals ______.
Ordnen Sie die folgenden Schritte zur Lösung eines Variationsproblems mithilfe der Euler-Gleichung in der richtigen Reihenfolge zu:
Ordnen Sie die folgenden Schritte zur Lösung eines Variationsproblems mithilfe der Euler-Gleichung in der richtigen Reihenfolge zu:
Gegeben sei das Funktional $F[y] = \int_a^b xy'^2 dx$. Welche der folgenden Differentialgleichungen muss die stationäre Funktion $y(x)$ erfüllen?
Gegeben sei das Funktional $F[y] = \int_a^b xy'^2 dx$. Welche der folgenden Differentialgleichungen muss die stationäre Funktion $y(x)$ erfüllen?
Welche der folgenden Bedingungen muss erfüllt sein, damit die Euler-Gleichung direkt integriert werden kann?
Welche der folgenden Bedingungen muss erfüllt sein, damit die Euler-Gleichung direkt integriert werden kann?
Die Lösung der Euler-Gleichung für ein gegebenes Funktional ist immer eindeutig.
Die Lösung der Euler-Gleichung für ein gegebenes Funktional ist immer eindeutig.
Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Faltung zweier Funktionen nicht korrekt?
Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Faltung zweier Funktionen nicht korrekt?
Die Faltung einer Funktion $f(t)$ mit der Funktion $g(t) = e^{|t|}$ fhrt immer zu einer Funktion, die analytisch lsbar ist.
Die Faltung einer Funktion $f(t)$ mit der Funktion $g(t) = e^{|t|}$ fhrt immer zu einer Funktion, die analytisch lsbar ist.
Wie ndert sich das Ergebnis der Faltung $f * g$, wenn die Funktion $f$ skaliert wird, d.h., wir betrachten $(af) * g$?
Wie ndert sich das Ergebnis der Faltung $f * g$, wenn die Funktion $f$ skaliert wird, d.h., wir betrachten $(af) * g$?
Bei der Berechnung der Faltung von $f(t) = \sin(t)$ und $g(t) = (1 - \cos(t))/t^2$ ist es wichtig, das Integral von ______ zu berechnen.
Bei der Berechnung der Faltung von $f(t) = \sin(t)$ und $g(t) = (1 - \cos(t))/t^2$ ist es wichtig, das Integral von ______ zu berechnen.
Ordne die folgenden Funktionstypen ihren typischen Anwendungen bei der Faltung zu:
Ordne die folgenden Funktionstypen ihren typischen Anwendungen bei der Faltung zu:
Welche der folgenden Operationen ist keine typische Anwendung der Faltung?
Welche der folgenden Operationen ist keine typische Anwendung der Faltung?
Bei der Faltung von zwei Funktionen, die beide endliche Trger haben, hat die resultierende Faltung ebenfalls einen endlichen Trger.
Bei der Faltung von zwei Funktionen, die beide endliche Trger haben, hat die resultierende Faltung ebenfalls einen endlichen Trger.
Nennen Sie einen Vorteil der Verwendung der Faltung im Frequenzbereich mittels der Fouriertransformation im Vergleich zur direkten Berechnung im Zeitbereich.
Nennen Sie einen Vorteil der Verwendung der Faltung im Frequenzbereich mittels der Fouriertransformation im Vergleich zur direkten Berechnung im Zeitbereich.
Flashcards
Was ist dw?
Was ist dw?
Totales Differential von w(x, y)
Wie vereinfacht man w(x, y) = cos(x² + 2y)?
Wie vereinfacht man w(x, y) = cos(x² + 2y)?
w(u) = cos(u), wobei u = x² + 2y
Was ist u(x, y)?
Was ist u(x, y)?
u = x² + 2y
Wie lautet die Kettenregel für dw?
Wie lautet die Kettenregel für dw?
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Wie berechnet man ∂f/∂x, wenn f(x, y) = xy ln(2x)?
Wie berechnet man ∂f/∂x, wenn f(x, y) = xy ln(2x)?
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Besondere Lösung
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Produkt spezielle Lösungen
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Jp(x) Beispiel
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Kp(y) Beispiel
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Allgemeine Lösung
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Partielle Integration
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Formel für partielle Integration
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LIATE-Regel
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Ableitung von e^(3x)
Ableitung von e^(3x)
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Integral von cos(x)
Integral von cos(x)
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Integral von sin(x)
Integral von sin(x)
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Zyklisches Integral
Zyklisches Integral
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Integrationskonstante
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Funktional
Funktional
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Funktional F[y]
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Stationärer Pfad
Stationärer Pfad
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Euler-Gleichung
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Funktional auswerten
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Ableitung von y(x) = x^2
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Integral von f(x) = 2x^3 + x
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Euler-Gleichung anwenden
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F(x, y, y')
F(x, y, y')
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∂F/∂y
∂F/∂y
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∂F/∂y'
∂F/∂y'
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1 - 2y'' = 0
1 - 2y'' = 0
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y = c ln(|x|) + b
y = c ln(|x|) + b
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Was ist Faltung (f ∗ g)(t)?
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Wie berechnet man (f ∗ g)(t)?
Wie berechnet man (f ∗ g)(t)?
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Was ist (f ∗ g)(t) wenn f(t) = 1 und g(t) = e|t|?
Was ist (f ∗ g)(t) wenn f(t) = 1 und g(t) = e|t|?
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Was ist das Ergebnis der Faltung von 1 und e|t|?
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Was bedeutet f ∗ g = g ∗ f?
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Was ist (f ∗ g)(t) wenn f(t) = sin(t) und g(t) = (1 - cos(t))/t²?
Was ist (f ∗ g)(t) wenn f(t) = sin(t) und g(t) = (1 - cos(t))/t²?
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Wie lautet das Faltungsintegral von sin(t) und (1-cos(t))/t²?
Wie lautet das Faltungsintegral von sin(t) und (1-cos(t))/t²?
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Warum ist (f ∗ g)(t) = (g ∗ f)(t)?
Warum ist (f ∗ g)(t) = (g ∗ f)(t)?
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Study Notes
Formeln
-
Definition der ersten Ableitung einer Funktion f(x) bezüglich der Variablen x:
- f'(x) = lim (f(x + ∆x) - f(x)) / ∆x
- ∆x → 0
-
Definition der n-ten Ableitung einer Funktion f(x) bezüglich der Variablen x:
- f^(n)(x) = lim (f^(n-1)(x + ∆x) - f^(n-1)(x)) / ∆x
- ∆x → 0
-
Differentiation von Produkten zweier Funktionen:
- f(x) = v(x)u(x)
- f'(x) = v'(x)u(x) + v(x)u'(x)
-
Kettenregel der Differentiation:
- f(x) = f(u(x))
- f'(x) = f'(u) / u'_x
-
Differentiation des Quotienten zweier Funktionen:
- f(x) = u(x) / v(x)
- f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v²(x)
-
Integration durch Teile:
- ∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx
Erste Ableitungen der grundlegenden Funktionen:
- d/dx x^n = nx^(n-1)
- d/dx sin(ax) = a cos(ax)
- d/dx cos(ax) = -a sin(ax)
- d/dx tan(ax) = a / cos²(ax)
- d/dx ln(ax) = 1 / x
- d/dx exp(ax) = a exp(ax)
Integral der grundlegenden Funktionen:
-
∫ u^n du = u^(n+1) / (n+1) + c, n ≠-1
-
∫ 1/u du = ln |u| + c
-
∫ a^u du = a^u / ln(a) +c
- ∫ e^u du = e^u + c
-
∫ cos(u) du = sin(u) + c
-
∫ sin(u) du = -cos(u) + c
-
Eulersche Gleichung für F = F(y, y', x):
- ∂F/∂y - d/dx (∂F/∂y') = 0
Beispielaufgaben zur Berechnung von Ableitungen und stationären Punkten
-
Die stationären Punkte werden durch die erste Ableitung und der Typ der stationären Punkte durch die zweite Ableitung definiert.
-
Lösung von f'(x) = 0 ergibt die stationären Punkte (Punkt x = a).
- Das Vorzeichen von f''(x) bei a wird bestimmt.
- Minimum, wenn Vorzeichen positiv ist (f''(a) > 0). -Maximum, wenn Vorzeichen negativ ist (f''(a) < 0). -Sattelpunkt, wenn das Ergebnis 0 ist (f''(a) = 0).
-
Um den Maximalwert zu bestimmen, wird die Fläche als Funktion A(x) ausgedrückt, deren Maximum gefunden werden kann.
Beispielaufgabe zur Fensterkonstruktion mit gegebenem Material
- Die Aufgabe beinhaltet den Bau eines rechteckigen Fensters mit Seiten x und y, wobei 6 Meter Rahmenmaterial zur Verfügung stehen.
- Es gilt den Umfang des Rechtecks auf 6m zu beschränken: 2x + 2y = 6, hieraus folgt, dass y = 3 - x.
- Die Fläche des Rechtecks wird durch xy gegeben.
- Die Fläche des Fensters kann als Funktion von x ausgedrückt werden: A(x) = xy = x(3 - x) = 3x - x².
- Um die maximale Fläche zu finden, werden stationäre Punkte der A(x) gesucht (A'(x) = 0) und der maximale stationäre Punkt (A''(x) < 0) ermittelt.
- Um zu bestimmen, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt, wird die zweite Ableitung der gegebenen Funktion A(x) im Punkt x = 1,5 berechnet.
- A''(x) = -2 < 0, also ist x = 1,5 ein Maximum. Da y = 3-x ist, gilt auch y = 1,5.
Partielle Ableitungen
- Um die partielle Ableitung zu berechnen, wird die andere Variable als Konstante behandelt:
- fx = ∂f/∂x
- fy = ∂f/∂y
Formel zur Berechnung der totalen Ableitung
- df = fx dx + fy dy, wobei fx und fy partielle Ableitungen sind.
- Kettenregel kann verwendet werden für die Berechnung der totalen Ableitung.
Bestimmtes Integral
- ∫∫R xy dxdy = 0, wenn die Integrationsgrenzen symmetrisch um Null sind.
- Um das Doppelintegral ∫∫A (x + cos(y)) dxdy zu berechnen, wird zuerst das Integral über x berechnet, wobei y als Konstante betrachtet wird: ∫-π/2π/2 dy ∫02 (x + cos(y)) dx .
- ∫02 (x + cos(y)) dx = 2 + 2 cos(y).
- Anschließend wird das Integral über y berechnet: ∫-π/2π/2 (2 + 2 cos(y)) dy = 2π + 4.
- Hinweis zur Berechnung von ∫∫A xy² dxdy: Zuerst das Integral über y berechnen, dann das Integral über x.
Variationsrechnung
- Die Extrema des Funktionals I[y] = ∫ab F(y(x), y'(x), x) dx werden durch die Euler-Gleichung bestimmt: ∂F/∂y - d/dx (∂F/∂y') = 0.
Integralform der Faltung zweier Funktionen
- Die Integralform der Faltung zweier Funktionen f(t) und g(t) ist als (f * g)(t) = ∫-∞∞ f(τ)g(t - τ) dτ definiert.
- Hierbei gilt f * g = g * f.
- Wenn beide Funktionen f(t) und g(t) für t < 0 gleich Null sind, ändern sich die Integralgrenzen auf (f * g)(t) = ∫0t f(τ)g(t - τ) dτ.
Fourier-Reihe
- Die Fourier-Reihe einer periodischen Funktion f(x) im Intervall -π ≤ x ≤ π wird als f(x) = a0/2 + ∑n=1∞ (an cos nx + bn sin nx) geschrieben.
- Die Koeffizienten a0, an und bn werden durch bestimmte Integrale bestimmt.
- Die Dirichletsche Bedingung impliziert, dass die Fourier-Transformation für eine Funktion f(x) existiert, wenn die Funktion f(x) absolut integrierbar ist.
Fourier-Transformation
- Die Fourier-Transformation ist gegeben durch Î(ω) = 1/√2π ∫-∞+∞ f(t)e^(-iωt) dt.
Vektoren und Skalare
- Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt mit Betrag und Richtung.
- Skalar ist lediglich der Betrag
- Die Addition und Subtraktion von Vektoren erfolgt komponentenweise.
Vektorprodukt
- A x B = (a2b3 - b2a3)i - (a1b3 - b1a3)j + (a1b2 - b1a2)k
Skalarprodukt
- Aâ‹…B = a1b1 + a2b2 + a3b3
- Das Ergebnis ist ein Skalar und kein Vektor
Divergenz
- Das Ergebnis ist ein Skalar
- Definiert als ∇ ⋅ F(x, y, z)
Rotation
- Das Ergebnis ist ein Vektor
- Definiert als ∇ x F(x, y, z)
Lineare Regression
- Funktion wird verwendet, um die wahren Werte der Daten für eine einzelne Variable x zu schätzen.
- y = a + bx
- a und b sind die freien Parameter.
- y = a + bx
- Der mittlere quadratische Fehler (MSE) wird verwendet, um die Genauigkeit der linearen Regression zu bewerten.
- MSE = 1/N Σ(yi - ŷi)²
- N die Anzahl der Werte
- yi die gegebenen Werte. -Å·i die vorhergesagten Werte.
Weitere Formeln
- Gini-Koeffizient = A / (A + B)
- A ist die Fläche zwischen der Gleichheitslinie und der Lorentz-Kurve
- B ist die Fläche unterhalb der Lorentz-Kurve.
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