त्रिकोणमिति

Trigonometry

• Definition: A branch of mathematics dealing with the relationships between the angles and sides of triangles, particularly right-angled triangles.

Fundamental Concepts

• Right Triangle: A triangle with one angle measuring 90 degrees.
• Hypotenuse: The longest side, opposite the right angle.
• Adjacent Side: The side next to the angle of interest.
• Opposite Side: The side opposite to the angle of interest.

Trigonometric Ratios

1. Sine (sin):
   • sin(θ) = Opposite / Hypotenuse
2. Cosine (cos):
   • cos(θ) = Adjacent / Hypotenuse
3. Tangent (tan):
   • tan(θ) = Opposite / Adjacent

Reciprocal Functions

1. Cosecant (csc):
   • csc(θ) = 1/sin(θ)
2. Secant (sec):
   • sec(θ) = 1/cos(θ)
3. Cotangent (cot):
   • cot(θ) = 1/tan(θ)

Pythagorean Identity

• sin²(θ) + cos²(θ) = 1

Angle Sum and Difference Formulas

• Sine:
  • sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)
• Cosine:
  • cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)
• Tangent:
  • tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))

Unit Circle

• A circle with a radius of 1, used to define trigonometric functions for all angles.
• Coordinates of points on the unit circle: (cos(θ), sin(θ))

Common Angles and Values

• 0°: sin(0) = 0, cos(0) = 1, tan(0) = 0
• 30°: sin(30) = 1/2, cos(30) = √3/2, tan(30) = 1/√3
• 45°: sin(45) = √2/2, cos(45) = √2/2, tan(45) = 1
• 60°: sin(60) = √3/2, cos(60) = 1/2, tan(60) = √3
• 90°: sin(90) = 1, cos(90) = 0, tan(90) = undefined

Applications

• Used in physics, engineering, and computer science.
• Essential for solving problems involving angles, distances, and periodic phenomena (e.g., waves).

Important Theorems

• Law of Sines: (a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C))
• Law of Cosines: c² = a² + b² - 2ab*cos(C)

Summary

• Trigonometry connects angles and side lengths in triangles.
• Key functions: sine, cosine, tangent, and their reciprocals.
• Understanding the unit circle and special angles is crucial for solving trigonometric problems.

त्रिकोणमिति

• परिभाषा: गणित की एक शाखा जो त्रिकोणों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन करती है, विशेषकर समकोण त्रिकोणों की।

मौलिक अवधारणाएँ

• समकोण त्रिकोण: एक त्रिकोण जिसमें एक कोण 90 डिग्री होता है।
• हाइपोटेन्यूज़: सबसे लंबी भुजा, जो समकोण के विपरीत होती है।
• आसन्न भुजा: उस कोण के निकटवर्ती भुजा जिसका अध्ययन किया जा रहा है।
• विपरीत भुजा: उस कोण के विपरीत भुजा जिसका अध्ययन किया जा रहा है।

त्रिकोणमितीय अनुपात

• साइन (sin):
  • sin(θ) = विपरीत / हाइपोटेन्यूज़
• कोसाइन (cos):
  • cos(θ) = आसन्न / हाइपोटेन्यूज़
• टैन्जेंट (tan):
  • tan(θ) = विपरीत / आसन्न

प्रतिकूल कार्य

• कोसिकेंट (csc):
  • csc(θ) = 1/sin(θ)
• सेकेंट (sec):
  • sec(θ) = 1/cos(θ)
• कोटैन्जेंट (cot):
  • cot(θ) = 1/tan(θ)

पायथागोरियन पहचान

• sin²(θ) + cos²(θ) = 1

कोण योग और अंतर सूत्र

• साइन:
  • sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)
• कोसाइन:
  • cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)
• टैन्जेंट:
  • tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))

यूनिट वृत्त

• एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 1 होती है, सभी कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाती है।
• यूनिट वृत्त पर बिंदुओं के निर्देशांक: (cos(θ), sin(θ))

सामान्य कोण और मान

• 0°: sin(0) = 0, cos(0) = 1, tan(0) = 0
• 30°: sin(30) = 1/2, cos(30) = √3/2, tan(30) = 1/√3
• 45°: sin(45) = √2/2, cos(45) = √2/2, tan(45) = 1
• 60°: sin(60) = √3/2, cos(60) = 1/2, tan(60) = √3
• 90°: sin(90) = 1, cos(90) = 0, tan(90) = अतिदिव्य

अनुप्रयोग

• भौतिकी, अभियांत्रिकी और कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग किया जाता है।
• कोणों, दूरी, और आवधिक घटनाओं (जैसे, तरंगें) से संबंधित समस्याओं को हल करने में आवश्यक।

महत्वपूर्ण सिद्धांत

• साइन का सिद्धांत: (a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C))
• कोसाइन का सिद्धांत: c² = a² + b² - 2ab*cos(C)

सारांश

• त्रिकोणमिति कोणों और भुजाओं की लंबाई को संबंधित करती है।
• महत्वपूर्ण कार्य: साइन, कोसाइन, टैन्जेंट और उनके प्रतिकूल।
• ट्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने के लिए यूनिट वृत्त और विशेष कोणों की समझ आवश्यक है।

यह क्विज त्रिकोणमिति के मूलभूत सिद्धांतों और अनुपातों पर केंद्रित है। विशेष रूप से, यह सही कोण वाले त्रिकोणों की विशेषताओं और त्रिकोणमितीय अनुपात जैसे साइन, कोसाइन, और टैनजेंट की समीक्षा करेगा।