त्रिकोणमिति: साइन 함수 (Trigonometry: Sine Function)

Sine

Definition

The sine of an angle in a right-angled triangle is the ratio of the length of the side opposite the angle to the length of the hypotenuse.

Formula

sin(A) = opposite side / hypotenuse

Unit Circle

The sine function can be defined using the unit circle, where the sine of an angle is the y-coordinate of the point where the terminal side of the angle intersects the unit circle.

Properties

• The sine function is an odd function: sin(-A) = -sin(A)
• The sine function has a period of 2π: sin(A + 2π) = sin(A)
• The sine function has a range of [-1, 1]

Identities

• Pythagorean identity: sin^2(A) + cos^2(A) = 1
• Sum and difference formulas:
  • sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
  • sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Applications

• Triangulation: used to find the length of sides and angles in right-angled triangles
• Wave motion: used to model periodic motion, such as sound and light waves
• Navigation: used in navigation systems, such as GPS, to calculate distances and directions

समकोण त्रिभुज में साइन की परिभाषा

• समकोण त्रिभुज में किसी कोण का साइन उस कोण के विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात होता है।

साइन फॉर्मूला

• sin(A) = विपरीत भुजा / कर्ण

एकक वृत्त

• एकक वृत्त में साइन फंक्शन को परिभाषित किया जा सकता है, जहां किसी कोण का साइन एकक वृत्त पर उस कोण के最后ी भुजा के giao से मिलने वाले बिंदु का y-निर्देशांक होता है।

गुणधर्म

• साइन फंक्शन एक विषम फंक्शन है: sin(-A) = -sin(A)
• साइन फंक्शन की अवधि 2π है: sin(A + 2π) = sin(A)
• साइन फंक्शन का परास [-1, 1] है

समीकरण

• पाइथागोरस समीकरण: sin^2(A) + cos^2(A) = 1
• योग और अन्तर समीकरण: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B); sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

अनुप्रयोग

• त्रिभुजीकरण: समकोण त्रिभुजों में भुजाओं और कोणों की लंबाई निकालने के लिए प्रयोग किया जाता है।
• तरंग गति: आवृत्ति गति के मॉडलिंग के लिए प्रयोग किया जाता है, जैसे ध्वनि और प्रकाश तरंगें।
• नेविगेशन: नेविगेशन सिस्टम, जैसे जीपीएस, में दूरियों और दिशाओं की गणना के लिए प्रयोग किया जाता है।

त्रिकोणमितीय फलन: साइन (Sine)

• त्रिकोण के समकोण त्रिभुज में साइन किसी कोण के लिए विपरीत भुजा तथा कर्ण का अनुपात है।
• साइन का सूत्र: sin(A) = विपरीत भुजा / कर्ण

साइन के गुण

• साइन की.Range: -1 ≤ sin(A) ≤ 1
• साइन की अवधि: 2π (sin(A) = sin(A + 2π))
• साइन एक विषम फलन है: sin(-A) = -sin(A)

साइन से सम्बन्धित पहचान

• पाइथागोरस पहचान: sin²(A) + cos²(A) = 1
• योग तथा अन्तर सूत्र:
  • sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
  • sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

साइन का आलेख

• साइन का आलेख लहर подобी वक्र है जिसका आयाम 1 तथा अवधि 2π है।
• आलेख x-अक्ष पर 0, π, 2π,... पर पार होता है

साइन के अनुप्रयोग

• समकोण त्रिभुज की समस्याएं: लम्बाई तथा कोण निकालना
• लहर प्रवाह: दोहरा घटना के माडलिंग (जैसे आवाज़ तथा प्रकाश तरंग)
• विश्लेषी ज्यामिति: द्वि-आयामी में त्रिभुज की समस्याएं सुलझाना

इस क्विज़ में साइन फंक्शन की परिभाषा, सूत्र, और गुणों के बारे में जानें. साइन फंक्शन का उपयोग यूनिट सर्कल में कैसे किया जाता है, यह भी सीखें.