त्रिकोणमिति

Trigonometry

Definition:
- Study of relationships between the angles and sides of triangles, primarily right triangles.
Key Functions:
- Sine (sin): Opposite side / Hypotenuse
- Cosine (cos): Adjacent side / Hypotenuse
- Tangent (tan): Opposite side / Adjacent side
- Cosecant (csc): 1 / sin
- Secant (sec): 1 / cos
- Cotangent (cot): 1 / tan
Pythagorean Identity:
- sin²(θ) + cos²(θ) = 1
Unit Circle:
- Circle with a radius of 1 centered at the origin (0,0) in the coordinate plane.
- Angles measured in radians; key angles: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, etc.
- Coordinates of points on the unit circle give values of sin(θ) and cos(θ).
Trigonometric Identities:
- Reciprocal Identities:
  - sin(θ) = 1/csc(θ)
  - cos(θ) = 1/sec(θ)
  - tan(θ) = 1/cot(θ)
- Quotient Identities:
  - tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
- Co-Function Identities:
  - sin(π/2 - θ) = cos(θ)
  - tan(π/2 - θ) = cot(θ)
Graphs of Trigonometric Functions:
- Sine and Cosine: Periodic functions with a period of 2π.
- Tangent: Periodic function with a period of π.
- Amplitude (sine/cosine): Height from the center line to the peak.
Applications:
- Used in physics for wave functions, oscillations, and modeling periodic phenomena.
- Essential in engineering for analyzing forces, structures, and signals.
- Utilized in navigation, computer graphics, and architecture.
Law of Sines:
- a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) for any triangle.
Law of Cosines:
- c² = a² + b² - 2ab*cos(C) for any triangle.
Inverse Trigonometric Functions:
- sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x); used to find angles when sides are known.
Angle Measures:
- Measured in degrees or radians; conversion:
  - Degrees to Radians: radians = degrees × (π/180)
  - Radians to Degrees: degrees = radians × (180/π)
Common Angle Values:
- 0°, 30°, 45°, 60°, 90° and their respective radian equivalents (0, π/6, π/4, π/3, π/2).
Special Triangles:
- 30-60-90 triangle: sides in ratio 1:√3:2
- 45-45-90 triangle: sides in ratio 1:1:√2.

त्रिकोणमिति

परिभाषा:
- त्रिकोणों के कोणों और भुजाओं के बीच के संबंधों का अध्ययन, विशेष रूप से समकोण त्रिकोण।
प्रमुख कार्य:
- साइन (sin): विपरीत भुजा / कर्ण
- कोसाइन (cos): समांतर भुजा / कर्ण
- टैन्जेंट (tan): विपरीत भुजा / समांतर भुजा
- कोसेकेंट (csc): 1 / sin
- सेकेंट (sec): 1 / cos
- कोटैन्जेंट (cot): 1 / tan
पाइथागोरियन पहचान:
- sin²(θ) + cos²(θ) = 1
यूनिट सर्कल:
- केंद्र (0,0) पर 1 की त्रिज्या वाला वृत्त।
- कोणों को रेडियन में मापा जाता है; प्रमुख कोण: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, आदि।
- यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के कोऑर्डिनेट्स sin(θ) और cos(θ) के मान प्रदान करते हैं।
त्रिकोणमितीय पहचान:
- प्रतिफल पहचान:
  - sin(θ) = 1/csc(θ)
  - cos(θ) = 1/sec(θ)
  - tan(θ) = 1/cot(θ)
- कोटियात पहचान:
  - tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
- को-फंक्शन पहचान:
  - sin(π/2 - θ) = cos(θ)
  - tan(π/2 - θ) = cot(θ)
त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ:
- साइन और कोसाइन: 2π की आवृत्ति वाले आवर्ती कार्य।
- टैन्जेंट: π की आवृत्ति वाला आवर्ती कार्य।
- अम्प्लीट्यूड (साइन/कोसाइन): मध्य रेखा से उच्चतम बिंदु तक की ऊँचाई।
अनुप्रयोग:
- भौतिकी में तरंग कार्यों, कंपन और आवर्ती घटनाओं के मॉडलिंग में उपयोग किया जाता है।
- अभ engineering में बलों, संरचनाओं और संकेतों के विश्लेषण के लिए आवश्यक।
- नौवहन, कंप्यूटर ग्राफिक्स और वास्तुकला में उपयोग।
साइन का नियम:
- a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) किसी भी त्रिकोण के लिए।
कोसाइन का नियम:
- c² = a² + b² - 2ab*cos(C) किसी भी त्रिकोण के लिए।
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य:
- sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x); जब भुजाएं ज्ञात हों तो कोण प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
कोण माप:
- डिग्री या रेडियन में मापा जाता है; अंकन:
  - डिग्री से रेडियन: रेडियन = डिग्री × (π/180)
  - रेडियन से डिग्री: डिग्री = रेडियन × (180/π)
सामान्य कोण मान:
- 0°, 30°, 45°, 60°, 90° और उनके संबंधित रेडियन समकक्ष (0, π/6, π/4, π/3, π/2)।
विशेष त्रिकोण:
- 30-60-90 त्रिकोण: भुजाओं का अनुपात 1:√3:2
- 45-45-90 त्रिकोण: भुजाओं का अनुपात 1:1:√2।