त्रिकोणमिति

Trigonometry

• Definition:

  • Study of relationships between the angles and sides of triangles, primarily right triangles.

• Key Functions:

  • Sine (sin): Opposite side / Hypotenuse
  • Cosine (cos): Adjacent side / Hypotenuse
  • Tangent (tan): Opposite side / Adjacent side
  • Cosecant (csc): 1 / sin
  • Secant (sec): 1 / cos
  • Cotangent (cot): 1 / tan

• Pythagorean Identity:

  • sin²(θ) + cos²(θ) = 1

• Unit Circle:

  • Circle with a radius of 1 centered at the origin (0,0) in the coordinate plane.
  • Angles measured in radians; key angles: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, etc.
  • Coordinates of points on the unit circle give values of sin(θ) and cos(θ).

• Trigonometric Identities:

  • Reciprocal Identities:
    • sin(θ) = 1/csc(θ)
    • cos(θ) = 1/sec(θ)
    • tan(θ) = 1/cot(θ)
  • Quotient Identities:
    • tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
  • Co-Function Identities:
    • sin(π/2 - θ) = cos(θ)
    • tan(π/2 - θ) = cot(θ)

• Graphs of Trigonometric Functions:

  • Sine and Cosine: Periodic functions with a period of 2π.
  • Tangent: Periodic function with a period of π.
  • Amplitude (sine/cosine): Height from the center line to the peak.

• Applications:

  • Used in physics for wave functions, oscillations, and modeling periodic phenomena.
  • Essential in engineering for analyzing forces, structures, and signals.
  • Utilized in navigation, computer graphics, and architecture.

• Law of Sines:

  • a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) for any triangle.

• Law of Cosines:

  • c² = a² + b² - 2ab*cos(C) for any triangle.

• Inverse Trigonometric Functions:

  • sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x); used to find angles when sides are known.

• Angle Measures:

  • Measured in degrees or radians; conversion:
    • Degrees to Radians: radians = degrees × (π/180)
    • Radians to Degrees: degrees = radians × (180/π)

• Common Angle Values:

  • 0°, 30°, 45°, 60°, 90° and their respective radian equivalents (0, π/6, π/4, π/3, π/2).

• Special Triangles:

  • 30-60-90 triangle: sides in ratio 1:√3:2
  • 45-45-90 triangle: sides in ratio 1:1:√2.

त्रिकोणमिति

• परिभाषा:

  • त्रिकोणों के कोणों और भुजाओं के बीच के संबंधों का अध्ययन, विशेष रूप से समकोण त्रिकोण।

• प्रमुख कार्य:

  • साइन (sin): विपरीत भुजा / कर्ण
  • कोसाइन (cos): समांतर भुजा / कर्ण
  • टैन्जेंट (tan): विपरीत भुजा / समांतर भुजा
  • कोसेकेंट (csc): 1 / sin
  • सेकेंट (sec): 1 / cos
  • कोटैन्जेंट (cot): 1 / tan

• पाइथागोरियन पहचान:

  • sin²(θ) + cos²(θ) = 1

• यूनिट सर्कल:

  • केंद्र (0,0) पर 1 की त्रिज्या वाला वृत्त।
  • कोणों को रेडियन में मापा जाता है; प्रमुख कोण: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, आदि।
  • यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के कोऑर्डिनेट्स sin(θ) और cos(θ) के मान प्रदान करते हैं।

• त्रिकोणमितीय पहचान:

  • प्रतिफल पहचान:
    • sin(θ) = 1/csc(θ)
    • cos(θ) = 1/sec(θ)
    • tan(θ) = 1/cot(θ)
  • कोटियात पहचान:
    • tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
  • को-फंक्शन पहचान:
    • sin(π/2 - θ) = cos(θ)
    • tan(π/2 - θ) = cot(θ)

• त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ:

  • साइन और कोसाइन: 2π की आवृत्ति वाले आवर्ती कार्य।
  • टैन्जेंट: π की आवृत्ति वाला आवर्ती कार्य।
  • अम्प्लीट्यूड (साइन/कोसाइन): मध्य रेखा से उच्चतम बिंदु तक की ऊँचाई।

• अनुप्रयोग:

  • भौतिकी में तरंग कार्यों, कंपन और आवर्ती घटनाओं के मॉडलिंग में उपयोग किया जाता है।
  • अभ engineering में बलों, संरचनाओं और संकेतों के विश्लेषण के लिए आवश्यक।
  • नौवहन, कंप्यूटर ग्राफिक्स और वास्तुकला में उपयोग।

• साइन का नियम:

  • a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) किसी भी त्रिकोण के लिए।

• कोसाइन का नियम:

  • c² = a² + b² - 2ab*cos(C) किसी भी त्रिकोण के लिए।

• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य:

  • sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x); जब भुजाएं ज्ञात हों तो कोण प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

• कोण माप:

  • डिग्री या रेडियन में मापा जाता है; अंकन:
    • डिग्री से रेडियन: रेडियन = डिग्री × (π/180)
    • रेडियन से डिग्री: डिग्री = रेडियन × (180/π)

• सामान्य कोण मान:

  • 0°, 30°, 45°, 60°, 90° और उनके संबंधित रेडियन समकक्ष (0, π/6, π/4, π/3, π/2)।

• विशेष त्रिकोण:

  • 30-60-90 त्रिकोण: भुजाओं का अनुपात 1:√3:2
  • 45-45-90 त्रिकोण: भुजाओं का अनुपात 1:1:√2।

यह क्विज त्रिकोणमिति के मूल सिद्धांतों और कार्यों पर आधारित है। इसमें त्रिकोण के कोणों और किनारों के बीच के संबंधों का अध्ययन शामिल है। प्रमुख क्रियाएँ जैसे साइन, कोसाइन, और टैंजेंट की पहचान करें।