त्रिकोणमिति

Trigonometry

• Definition:

  • Study of relationships between the angles and sides of triangles, primarily right triangles.

• Key Functions:

  • Sine (sin): Opposite side / Hypotenuse
  • Cosine (cos): Adjacent side / Hypotenuse
  • Tangent (tan): Opposite side / Adjacent side
  • Cosecant (csc): 1 / sin
  • Secant (sec): 1 / cos
  • Cotangent (cot): 1 / tan

• Pythagorean Identity:

  • sin²(θ) + cos²(θ) = 1

• Unit Circle:

  • Circle with a radius of 1 centered at the origin (0,0) in the coordinate plane.
  • Angles measured in radians; key angles: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, etc.
  • Coordinates of points on the unit circle give values of sin(θ) and cos(θ).

• Trigonometric Identities:

  • Reciprocal Identities:
    • sin(θ) = 1/csc(θ)
    • cos(θ) = 1/sec(θ)
    • tan(θ) = 1/cot(θ)
  • Quotient Identities:
    • tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
  • Co-Function Identities:
    • sin(π/2 - θ) = cos(θ)
    • tan(π/2 - θ) = cot(θ)

• Graphs of Trigonometric Functions:

  • Sine and Cosine: Periodic functions with a period of 2π.
  • Tangent: Periodic function with a period of π.
  • Amplitude (sine/cosine): Height from the center line to the peak.

• Applications:

  • Used in physics for wave functions, oscillations, and modeling periodic phenomena.
  • Essential in engineering for analyzing forces, structures, and signals.
  • Utilized in navigation, computer graphics, and architecture.

• Law of Sines:

  • a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) for any triangle.

• Law of Cosines:

  • c² = a² + b² - 2ab*cos(C) for any triangle.

• Inverse Trigonometric Functions:

  • sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x); used to find angles when sides are known.

• Angle Measures:

  • Measured in degrees or radians; conversion:
    • Degrees to Radians: radians = degrees × (π/180)
    • Radians to Degrees: degrees = radians × (180/π)

• Common Angle Values:

  • 0°, 30°, 45°, 60°, 90° and their respective radian equivalents (0, π/6, π/4, π/3, π/2).

• Special Triangles:

  • 30-60-90 triangle: sides in ratio 1:√3:2
  • 45-45-90 triangle: sides in ratio 1:1:√2.

त्रिकोणमिति

• परिभाषा:

  • त्रिकोणों के कोणों और भुजाओं के बीच के संबंधों का अध्ययन, विशेष रूप से समकोण त्रिकोण।

• प्रमुख कार्य:

  • साइन (sin): विपरीत भुजा / कर्ण
  • कोसाइन (cos): समांतर भुजा / कर्ण
  • टैन्जेंट (tan): विपरीत भुजा / समांतर भुजा
  • कोसेकेंट (csc): 1 / sin
  • सेकेंट (sec): 1 / cos
  • कोटैन्जेंट (cot): 1 / tan

• पाइथागोरियन पहचान:

  • sin²(θ) + cos²(θ) = 1

• यूनिट सर्कल:

  • केंद्र (0,0) पर 1 की त्रिज्या वाला वृत्त।
  • कोणों को रेडियन में मापा जाता है; प्रमुख कोण: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, आदि।
  • यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के कोऑर्डिनेट्स sin(θ) और cos(θ) के मान प्रदान करते हैं।

• त्रिकोणमितीय पहचान:

  • प्रतिफल पहचान:
    • sin(θ) = 1/csc(θ)
    • cos(θ) = 1/sec(θ)
    • tan(θ) = 1/cot(θ)
  • कोटियात पहचान:
    • tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
  • को-फंक्शन पहचान:
    • sin(π/2 - θ) = cos(θ)
    • tan(π/2 - θ) = cot(θ)

• त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ:

  • साइन और कोसाइन: 2π की आवृत्ति वाले आवर्ती कार्य।
  • टैन्जेंट: π की आवृत्ति वाला आवर्ती कार्य।
  • अम्प्लीट्यूड (साइन/कोसाइन): मध्य रेखा से उच्चतम बिंदु तक की ऊँचाई।

• अनुप्रयोग:

  • भौतिकी में तरंग कार्यों, कंपन और आवर्ती घटनाओं के मॉडलिंग में उपयोग किया जाता है।
  • अभ engineering में बलों, संरचनाओं और संकेतों के विश्लेषण के लिए आवश्यक।
  • नौवहन, कंप्यूटर ग्राफिक्स और वास्तुकला में उपयोग।

• साइन का नियम:

  • a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) किसी भी त्रिकोण के लिए।

• कोसाइन का नियम:

  • c² = a² + b² - 2ab*cos(C) किसी भी त्रिकोण के लिए।

• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य:

  • sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x); जब भुजाएं ज्ञात हों तो कोण प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

• कोण माप:

  • डिग्री या रेडियन में मापा जाता है; अंकन:
    • डिग्री से रेडियन: रेडियन = डिग्री × (π/180)
    • रेडियन से डिग्री: डिग्री = रेडियन × (180/π)

• सामान्य कोण मान:

  • 0°, 30°, 45°, 60°, 90° और उनके संबंधित रेडियन समकक्ष (0, π/6, π/4, π/3, π/2)।

• विशेष त्रिकोण:

  • 30-60-90 त्रिकोण: भुजाओं का अनुपात 1:√3:2
  • 45-45-90 त्रिकोण: भुजाओं का अनुपात 1:1:√2।