تعلم الضرب الديكارتي والمجموعات
17 Questions
2 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

ما هو الناتج الناتج عن عملية الاتحاد بين المجموعتين $A = {1, 2}$ و $B = {2, 3, 4}$؟

  • {1, 2, 3, 4} (correct)
  • {1, 2}
  • {2, 4}
  • {2, 3}
  • أي من الرموز التالية تشير إلى عملية الفرق بين مجموعتين؟

  • ×
  • - (correct)
  • ما هو عدد العناصر في حاصل الضرب الديكارتي للمجموعتين $A = {1, 2}$ و $B = {2, 3, 4}$؟

  • 3
  • 6 (correct)
  • 2
  • 4
  • عند تطبيق عملية التقاطع بين $A = {1, 2}$ و $B = {2, 3, 4}$، ما هي العناصر الناتجة؟

    <p>{2}</p> Signup and view all the answers

    إذا كان $A = {2, 3, 4}$، فما هي العناصر التي ستحصل عليها عند إجراء عملية الطرح $A - B$ حيث $B = {2}$؟

    <p>{3, 4}</p> Signup and view all the answers

    ما هي العلاقة بين المجموعتين $A \times B$ و $B \times A$؟

    <p>المجموعتان مختلفتان</p> Signup and view all the answers

    ما هو الشكل الصحيح للضرب الديكارتي للمجموعتين $A = {1, 2}$ و $B = {2, 3, 4}$؟

    <p>{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}</p> Signup and view all the answers

    أي من الخيارات التالية يصف مجموعة العناصر التي تمثل التقاطع بين $A = {1, 2}$ و $C = {1, 3}$؟

    <p>{1}</p> Signup and view all the answers

    ما هو تعريف الضرب الديكارتي للمجموعتين $X$ و $Y$؟

    <p>مجموعة الأزواج المرتبة المكونة من عناصر من $X$ و $Y$</p> Signup and view all the answers

    ما الذي يعنيه الشرط (A × B ≠ B × A)؟

    <p>الضرب الديكارتي غير إبدالي.</p> Signup and view all the answers

    أي من الخيارات التالية يمثل مجموعة العناصر الناتجة عن ضرب المجموعة في نفسها؟

    <p>{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}</p> Signup and view all the answers

    في أي حالة يصبح الضرب الديكارتي إبداليًا؟

    <p>عندما تكون المجموعتان متساويتين.</p> Signup and view all the answers

    كيف يمكن حساب عدد العناصر في حاصل ضرب مجموعتين؟

    <p>عن طريق حساب عدد العناصر في A مضروبًا في عدد العناصر في B.</p> Signup and view all the answers

    ما النتيجة عندما نضرب مجموعة في مجموعة خالية؟

    <p>نحصل على مجموعة خالية.</p> Signup and view all the answers

    ماذا يحدث عندما نعكس ترتيب المجموعتين في حاصل الضرب الديكارتي؟

    <p>يظهر نفس الأزواج المرتبة.</p> Signup and view all the answers

    في حالة استخدام المجموعة الخالية في الضرب، ما يمكننا استنتاجه عن النتائج؟

    <p>لا توجد أزواج مرتبة تُنتج.</p> Signup and view all the answers

    كيف يمكن توضيح أن A × B له نفس عدد العناصر مثل B × A؟

    <p>لأن العدد في الحالتين يعتمد على المجموعتين.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    مفهوم المجموعة

    • المجموعة هي مجموعة من الأعداد، مثل 󰏡 = {١، ٢}.
    • تُستخدم الأقواس للدلالة على المجموعات، والعناصر يمكن ترتيبها بأية طريقة.

    العمليات trên المجموعات

    • إمكانية إجراء عمليات على المجموعات، مثل:
      • الاتحاد (∪): يجمع كل العناصر من المجموعتين، مثلاً 󰏡 ∪ 𞸁 = {١، ٢، ٣، ٤}.
      • التقاطع (∩): يحتفظ بالعناصر المشتركة، مثل 󰏡 ∩ 𞸁 = {٢}.
      • الفرق (−): يخصم العناصر المشتركة، مثل 󰏡 − 𞸁 = {١}.

    الضرب الديكارتي

    • حاصل الضرب الديكارتي 󰏡 × 𞸁 هو مجموعة الأزواج المرتبة (𞸎، 𞸑) حيث 𞸎 ∈ 󰏡 و 𞸑 ∈ 𞸁.
    • مثال: إذا كانت 󰏡 = {١، ٢} و 𞸁 = {٢، ٣، ٤}، تخرج الأزواج المرتبة كالتالي:
      • (١، ٢)، (١، ٣)، (١، ٤)، (٢، ٢)، (٢، ٣)، (٢، ٤).
    • يكون حاصل الضرب الديكارتي 󰏡 × 𞸁 = {(١، ٢)، (١، ٣)، (١، ٤)، (٢، ٢)، (٢، ٣)، (٢، ٤)}، مع ٦ عناصر.

    اختلاف المجموعات الناتجة

    • 󰏡 × 𞸁 و 𞸁 × 󰏡 ليسا متساويين؛ لأن ترتيب الأزواج مهم.
    • الزوّج المكرر الوحيد هو (٢، ٢).

    الحاصل الذاتي للضرب الديكارتي

    • يتعامل مع مجموعة في نفسها كالتالي: 󰏡² = 󰏡 × 󰏡.
    • مثال: 󰏡² = {(١، ١)، (١، ٢)، (٢، ١)، (٢، ٢)}.

    حالات خاصة

    • الضرب الديكارتي يمكن أن يكون إبدالياً فقط عند تكوين مجموعة من نفس العناصر أو إذا كانت إحدى المجموعات فارغة (∅).
    • حالتين حيث الضرب الديكارتي يكون إبداليا:
      • عندما 󰏡 = 𞸁.
      • عندما تكون إحدى المجموعات فارغة.

    حجم المجموعة الناتجة

    • العلاقة بين حجم مجموعة حاصل الضرب الديكارتي تُعطى بـ 𞸍(󰏡 × 𞸁) = 𞸍(󰏡) × 𞸍(𞸁).
    • تظل العلاقة صحيحة عند عكس الترتيب: 𞸍(𞸁 × 󰏡) = 𞸍(𞸁) × 𞸍(󰏡).

    الاستنتاجات

    • 𞸍(󰏡 × 𞸁) = 𞸍(𞸁 × 󰏡)، مما يؤكد أن حجم الناتج ثابت مهما كان ترتيب المجموعات.

    Studying That Suits You

    Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

    Quiz Team

    Description

    في هذا الشارح، سنستعرض كيفية إجراء الضرب الديكارتي واستخدام العمليات المختلفة على المجموعات، بما في ذلك الاتحاد، التقاطع، والفرق. سنركز على كيفية تطبيق هذه العمليات على مجموعات الأعداد وكيفية تمثيلها بشكل صحيح.

    More Like This

    Set Theory and Cartesian Product Quiz
    17 questions
    Cartesian Product of Sets Definition
    12 questions
    Math: Cartesian Product
    14 questions

    Math: Cartesian Product

    CorrectFourier5557 avatar
    CorrectFourier5557
    Cartesian Product on Intervals Quiz
    24 questions
    Use Quizgecko on...
    Browser
    Browser