Questions and Answers
ما هو الناتج الناتج عن عملية الاتحاد بين المجموعتين $A = {1, 2}$ و $B = {2, 3, 4}$؟
أي من الرموز التالية تشير إلى عملية الفرق بين مجموعتين؟
ما هو عدد العناصر في حاصل الضرب الديكارتي للمجموعتين $A = {1, 2}$ و $B = {2, 3, 4}$؟
عند تطبيق عملية التقاطع بين $A = {1, 2}$ و $B = {2, 3, 4}$، ما هي العناصر الناتجة؟
Signup and view all the answers
إذا كان $A = {2, 3, 4}$، فما هي العناصر التي ستحصل عليها عند إجراء عملية الطرح $A - B$ حيث $B = {2}$؟
Signup and view all the answers
ما هي العلاقة بين المجموعتين $A \times B$ و $B \times A$؟
Signup and view all the answers
ما هو الشكل الصحيح للضرب الديكارتي للمجموعتين $A = {1, 2}$ و $B = {2, 3, 4}$؟
Signup and view all the answers
أي من الخيارات التالية يصف مجموعة العناصر التي تمثل التقاطع بين $A = {1, 2}$ و $C = {1, 3}$؟
Signup and view all the answers
ما هو تعريف الضرب الديكارتي للمجموعتين $X$ و $Y$؟
Signup and view all the answers
ما الذي يعنيه الشرط (A × B ≠ B × A)؟
Signup and view all the answers
أي من الخيارات التالية يمثل مجموعة العناصر الناتجة عن ضرب المجموعة في نفسها؟
Signup and view all the answers
في أي حالة يصبح الضرب الديكارتي إبداليًا؟
Signup and view all the answers
كيف يمكن حساب عدد العناصر في حاصل ضرب مجموعتين؟
Signup and view all the answers
ما النتيجة عندما نضرب مجموعة في مجموعة خالية؟
Signup and view all the answers
ماذا يحدث عندما نعكس ترتيب المجموعتين في حاصل الضرب الديكارتي؟
Signup and view all the answers
في حالة استخدام المجموعة الخالية في الضرب، ما يمكننا استنتاجه عن النتائج؟
Signup and view all the answers
كيف يمكن توضيح أن A × B له نفس عدد العناصر مثل B × A؟
Signup and view all the answers
Study Notes
مفهوم المجموعة
- المجموعة هي مجموعة من الأعداد، مثل = {١، ٢}.
- تُستخدم الأقواس للدلالة على المجموعات، والعناصر يمكن ترتيبها بأية طريقة.
العمليات trên المجموعات
- إمكانية إجراء عمليات على المجموعات، مثل:
- الاتحاد (∪): يجمع كل العناصر من المجموعتين، مثلاً ∪ 𞸁 = {١، ٢، ٣، ٤}.
- التقاطع (∩): يحتفظ بالعناصر المشتركة، مثل ∩ 𞸁 = {٢}.
- الفرق (−): يخصم العناصر المشتركة، مثل − 𞸁 = {١}.
الضرب الديكارتي
- حاصل الضرب الديكارتي × 𞸁 هو مجموعة الأزواج المرتبة (𞸎، 𞸑) حيث 𞸎 ∈ و 𞸑 ∈ 𞸁.
- مثال: إذا كانت = {١، ٢} و 𞸁 = {٢، ٣، ٤}، تخرج الأزواج المرتبة كالتالي:
- (١، ٢)، (١، ٣)، (١، ٤)، (٢، ٢)، (٢، ٣)، (٢، ٤).
- يكون حاصل الضرب الديكارتي × 𞸁 = {(١، ٢)، (١، ٣)، (١، ٤)، (٢، ٢)، (٢، ٣)، (٢، ٤)}، مع ٦ عناصر.
اختلاف المجموعات الناتجة
- × 𞸁 و 𞸁 × ليسا متساويين؛ لأن ترتيب الأزواج مهم.
- الزوّج المكرر الوحيد هو (٢، ٢).
الحاصل الذاتي للضرب الديكارتي
- يتعامل مع مجموعة في نفسها كالتالي: ² = × .
- مثال: ² = {(١، ١)، (١، ٢)، (٢، ١)، (٢، ٢)}.
حالات خاصة
- الضرب الديكارتي يمكن أن يكون إبدالياً فقط عند تكوين مجموعة من نفس العناصر أو إذا كانت إحدى المجموعات فارغة (∅).
- حالتين حيث الضرب الديكارتي يكون إبداليا:
- عندما = 𞸁.
- عندما تكون إحدى المجموعات فارغة.
حجم المجموعة الناتجة
- العلاقة بين حجم مجموعة حاصل الضرب الديكارتي تُعطى بـ 𞸍( × 𞸁) = 𞸍() × 𞸍(𞸁).
- تظل العلاقة صحيحة عند عكس الترتيب: 𞸍(𞸁 × ) = 𞸍(𞸁) × 𞸍().
الاستنتاجات
- 𞸍( × 𞸁) = 𞸍(𞸁 × )، مما يؤكد أن حجم الناتج ثابت مهما كان ترتيب المجموعات.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
في هذا الشارح، سنستعرض كيفية إجراء الضرب الديكارتي واستخدام العمليات المختلفة على المجموعات، بما في ذلك الاتحاد، التقاطع، والفرق. سنركز على كيفية تطبيق هذه العمليات على مجموعات الأعداد وكيفية تمثيلها بشكل صحيح.
