Symmetrie und Raumlage in der Primarstufe

Symmetrie

• Symmetrie findet sich häufig in Kinderzeichnungen und wird als "schön" empfunden.
• Symmetrische Formen können in der Primarstufe erlernt werden.
• Achsensymmetrische Formen können erkannt und dargestellt werden.
• Reale Objekte lassen sich auf einer Bildebene symmetrisch darstellen (zuerst immer entlang einer vertikalen Achse).
• Zerlegung in zwei symmetrische Hälften (deckungsgleich) durch Falten, Schneiden, Legen, Spiegeln.
• Verbindungen zu Kunst, Sachunterricht und Deutschunterricht (z. B. Spiegelung, Palindrome, Buchstaben, Wörter).
• Studie von Franke (2007), Seiten 217 ff.

Raumlage

• Relative Positionen von Objekten zueinander (oben/unten, vorne/hinten, links/rechts, horizontal/vertikal).
• Ebene und räumliche Objekte in verschiedenen Darstellungen an passenden Positionen positionieren und erzeugen.
• Sichtbarkeit von Objekten kann vollständig oder teilweise sein.
• Exemplarische Aufgaben zu Raumlage finden sich unter https://geometriedidaktik.at/training/aufgaben-zur-foerderung-des-raeumlichen-denkens/ in der Rubrik „Raumlage“.

Richtungen und Wege

• Absolute Richtungsangaben (z. B. rechts, links, vorwärts, rückwärts).
• Wegbeschreibungen relativ zu einem Bezugspunkt (z. B. „gehe drei Schritte vorwärts, drehe dich nach links“).
• Wegbeschreibungen können zweidimensional oder dreidimensional sein.

Aufgabe: Richtungen und Wege

• Aufgabe: Eine beliebige Figur auf kariertem Papier zeichnen, die sich in einer durchgängigen Linie zeichnen lässt.
• Den Weg ausgehend von einem markierten Anfangspunkt beschreiben a) absolut und b) relativ zum Zeichner.
• Mindestens 15 Instruktionen sind notwendig.
• Symbole oder Begriffe für die Beschreibungen wählen.

Körper

• Vollkörper
• Kantenmodell
• Flächenmodell (z. B. Netz)
• Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Pyramide, Kegel (Prisma).
• Zu den Körpern gibt es Links zu Online-Ressourcen.

Würfel und Würfelgebäude

• verschiedene Beispiele von Würfel und Würfel-Gebäuden
• Identifikation verschiedener Würfelnetze
• Kenntnisse über Würfelbauwerke und -netze, einschließlich der Anzahl der Würfel.
• Online-Links zu Übungen und Spielen zu Würfeln und Würfelgebauden

Unterschiedliche Würfelnetze

• Es gibt 11 Würfelnetze.
• Mit Drehung und Spiegelung gibt es 20 Würfelnetze

Würfelbauwerke: Würfelbrett

• online Basistraining zur Bearbeitung von Würfelbauwerken (Links zur Verfügung gestellt).
• Lösungen und Aufgaben zu Würfelbauwerken und deren Analyse.

Würfelgebäude

• Anzahl der Würfel in einem Bauplan bestimmen.
• Baupläne erkennen und zeichnen.
• Ansichten verschiedener Würfelgebäude.

Arbeitsblatt 1 (Würfelcode lesen)

• Codierung von Würfelgebauden durch Binärcodes (0 und 1)
• Aufgaben zum Entschlüsseln und Zeichnen von Würfelgebauden mit zugehöriger Codierung.

Spiralprinzip

• Regelmäßiger, zirkulärer Aufbau von Lerninhalten.
• Abfolge von Themen und Niveaus.
• Mehrere Beispiele für die Anwendung des Spiralprinzips in geometrischen Themen.

Perspektivisches Zeichnen in Kinderzeichnungen

• Probleme mit der Tiefenwahrnehmung beim Zeichnen.
• Kinder zeichnen, was sie wissen und nicht, was sie sehen, bis zum Alter von 10 Jahren.
• Unterschiedliche Ansätze zur Darstellung von Tiefe.

Entwicklungsstadien

• Eben-schematisch, massiv-schematisch, prärealistisch und realistisch.

Darstellung von Tiefe

• Verdeckung funktioniert nicht automatisch, sondern wird erlernt.
• Übung zur Darstellung von Tiefe (Partielle Überblendung).

Ergänzung zu den Entwicklungsstadien

• Stadien der Entwicklung von geometrischen Körpervorstellungen.
• Tabellen mit verschiedenen geometrischen Körpern.

Wissen oder Vorstellung?

• Skripte und Schemata werden abgespeichert und abgerufen.
• Gegenstandswissen, Vorstellung eines Prototyps.
• Abbildungswissen: Malschema (z. B., längliche Dinge als Strich).
• Ausführungswissen.

Anregungen zum räumlichen Zeichnen

• Freihandzeichnungen und verschiedene Möglichkeiten zur Visualisierung (Anregungen zur räumlichen Wahrnehmung).
• Zugänge zu räumlichen Darstellungen mittels Ebenen- und Baupläne, Ansichten usw.
• Techniken wie Schattenwurf und Dreitafelprojektion

Dreitafelprojektion

• Darstellung von Würfelgebauden in verschiedenen Perspektiven.

Anregungen zum räumlichen Zeichnen

• Würfelplättchen: Regelmäßige Sechsecke in drei kongruente Rhomben aufteilen.
• Anordnen und überlappen → Würfelgebäude.
• Aufgaben zu Isometriepapier.

Zeichnen räumlicher Objekte

• Projektion räumlicher Objekte in die Ebene.
• Realistische Zeichnungen und Wahrnehmung.
• Verfahren zum Modellieren von Objekten (z.B. Schatten, Verkürzung, Tiefencodierung).
• Verfahren zu Zeichnung und Konstruktion (z. B. Parallelprojektion, Schrägbilder, Kavalierperspektive, Zentralperspektive).
• Wichtigkeit von Zwischenschritten beim Zeichnen.

Zeichnen ebener Figuren

• Linien und Strecken, geometrische Grundformen
• Freihandzeichnungen
• Visuomotorische Koordination
• Punkte verbinden und nachzeichnen
• Muster fortsetzen und spiegeln
• Kästchenpapier- oder Punktgitter-Methoden
• Zeichnen mit Schablonen oder Zeichengeräten.

Hilfsmittel bei der Bearbeitung von Aufgaben

• Bilder, Modelle, Gesten, Zeichnungen, verbale Hilfen.
• Repräsentationsformen (z.B. Materielle Modelle, Schrägbilder, Schrägriss, Ein-, Zwei- und Dreitafelprojektion, Netz, Abwicklung, ebene Kurven und Flächenstücke)
• Verwendung rein sprachlicher Beschreibungen.

Material: Somawürfel

• Informationen und Details zu Somawürfeln.
• Identifizierung vorhandener bzw. fehlender Formen.
• Aufgaben zu Drei- und Vierlingsformen.

Material: Polydron

• Einführung ins Material Polydron.
• Aufgaben und Übungen mit Polydron.

Material: Würfelgebäude

• Bauen und Nachbauen von Würfelgebauden.
• Zeichnen von Würfelgebauden (Dreitafelprojektion).
• Üben von Bauplänen zu Würfelgestellen.

Zeichnen räumlicher Objekte

• Unterstützung und Anleitung für die Darstellung von Quadern und Würfeln.
• Verwendung von Kästchenpapier oder Dreiecksgitter.
• Zeichnen von Würfel-Gebäuden (mit Punkten).

Tools zum Zeichnen

• Informationen über Tools zur Unterstützung des Zeichnens (Websites mit interaktiven Hilfsmitteln, z. B. Papiervorlage und Geogebra).

Räumliches Denken

• Sehvorgang, visuelle Wahrnehmung
• Raumvorstellungsvermögen.

Räumliches Vorstellungsvermögen/Raumvorstellung

• Visuelle Wahrnehmung, räumliches Denken, räumliche Orientierung und Operieren mit Bildern im Kopf.

Visuelle Wahrnehmung als Voraussetzung des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Figur-Grund-Unterscheidung, räumliche Tiefe.
• Verarbeitung von verzerrten, schiefen oder skizzierten Objekten.
• Aufgaben zu optischen Täuschungen (z. B. Kippfiguren).
• Leistungssteigerung der visuellen Wahrnehmung bis zum Alter von 8 Jahren.

Visuelle Wahrnehmung als Voraussetzung des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Visuomotorische Koordination (Zusammenspiel von visueller Wahrnehmung und motorischen Fähigkeiten)
• Wahrnehmungskonstanz (Wahrnehmung von Objekten als unveränderlich, obwohl deren Darstellung variiert).
• Größenkonstanz (Erkennen von Größen von Objekten unabhängig von Abstand).
• Formenkonstanz (Erkennen von Formen von Objekten unabhängig von Blickwinkel und Betrachtungsweise).
• Wahrnehmungstäuschungen.

Visuelle Wahrnehmung als Voraussetzung des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Räumliche Orientierung (Fähigkeit, sich in Bezug auf die Umwelt zu orientieren und den eigenen Standort zu bestimmen).
• Standortbestimmung und räumliche Beziehungen (Beziehungen zwischen Objekten).
• Wahrnehmung der Raumlage, zwischen Objekten.
• Kenntnisse über Bezugssysteme.
• Inversion erkennen (Objekte in anderer Richtung sehen).
• Rechts-Links-Orientierung.
• Stabile Umgebung wahrnehmen.

Visuelle Wahrnehmung als Voraussetzung des räumlichen Vorstellungsvermögens

• Defizite in der visuellen Wahrnehmung.
• Zusammenhang zwischen visueller Wahrnehmung und anderen Lernprozessen (Lesen, Schreiben, Rechnen).
• Verwechslungen zwischen Buchstaben und Ziffern.

Räumliches Vorstellungsvermögen

• Beziehung zwischen visueller Wahrnehmung und mentalem Operieren mit räumlichen Objekten.
• Räumliche Intelligenz.

Räumliche Wahrnehmung

• räumliche Beziehungen
• Wahrnehmung der Beziehung von Objekten im Bezug zum eigenen Körper.

Räumliche Beziehungen

• Erfassen räumlicher Gruppierungen von Objekten oder Teilen.
• Objekte aus unterschiedlichen Perspektiven darstellen.
• Mentale Operationen mit Objekten (z. B. Drehen, Spiegeln, Verschieben).

Veranschaulichung

• Gedankliche Bewegungen des Objekts (z. B. Drehen, Verschieben, Falten, Zerlegen).

Räumliche Orientierung

• Eigene Person in der Situation und mentaler Standortwechsel.

Entwicklung räumlicher Vorstellungen (nach Piaget)

• Sensomotorisches Stadium, Präoperationales Stadium, Konkret-operationales Stadium, Formal-operationales Stadium.
• Entwicklung räumlicher Fähigkeiten bei Kindern im Kontext der Piaget'schen Stadien der kognitiven Entwicklung.

Räumliches Denken

• Beschreibung von Raumvorstellungstests für Kinder.
• Aufgaben, die für Schulbücher geeignet sind.

Beziehung

• Definitionen und Aufgabentypen für kognitive Prozesse wie mentale Rotation, räumliche Orientierung und räumliche Visualisierung.

Kopfgeometrie

• Übungen zur Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens.
• Aufgaben und Beispiele, wie räumliche Beziehungen dargestellt werden.

Beispiele

• Aufgaben und Beispiele mit Bezug zur Drehung, Spiegelung, räumlichen Beziehungen.
• Aufgaben mit unterschiedlichen geometrischen Formen.

Messen

• "Augenmaß" und direkte/indirekte Vergleiche.
• Selbstgewählte Maßeinheiten (z.B. Schritte, Daumen).
• Messinstrumente und standardisierte Maßeinheiten.
• Größe und Einheit in Bezug zum Messen.

Einstiegsbeispiel

• Beispiele zu Mengenvorstellungen.
• Rechnen mit Hilfe von Mustern und Bereichen.

Mögliche Schwierigkeiten beim Messen

• Positionierung des Messgeräts nicht am Nullpunkt.
• Verwendung unterschiedlicher Skalen und Maßeinheiten.
• Passung von Messgeräten (z.B. für gekrümmte oder komplexe Objekte).
• Aufgaben zur Fehleranalyse bei Messungen.
• Schätzen und Abschätzen von Werten.

Messen

• Schritte für Messvorgänge (z.B. passende Einheit wählen, Messgerät wählen).
• Beispielaufgaben sowie verwendete Online-Ressourcen.
• Mehrfaches Verwenden der Einheit.
• Zerlegung zur besseren Verständnis und Vereinfachung und Bestimmung der Einheiten.

Messverständnis

• Verständnis von Größen (Invarianz), Transitivität, Untergliederung der Größe, Mehrfaches Anwenden.
• Bedeutung des Messhandelns und der Verwendung von Maßeinheiten im Alltag.
• Relationen zwischen Einheiten und Zahlenwerten.

Stützpunktvorstellungen

• Mentale Repräsentationen von Größen.
• Entwicklung von Stützpunkten durch Erfahrungen mit Einheiten.
• Beispielhafte Größen wie Zentimeter, Zentimeter, Meter, usw.

Umfang und Flächeninhalt

• Umfang als Länge, Umfangberechnung und -berechnung.
• Links zu interaktiven Übungen und Spielen in Online-Umgebungen.

Flächeninhalt

• Beschreibung zu Flächeninhalt, Flächenmodell und Flächenlegungen.
• Online-Links zu interaktiven Flächenmodellen und -spielen.

Flächeninhalt

• Unterscheidung von Fläche und Flächeninhalt.
• Unsicherheiten beim Schätzen von Flächeninhalten.
• Prinzip der Flächeninvarianz.
• Messen und Rechnen mit Flächeninhalten.

Flächeninhalt

• Definition der Gleichheit von Flächeninhalten (deckungsgleich, zerlegungsgleich, auslegungsgleich).
• Beispiele zu Tätigkeiten (Legen, Zerlegen, Zusammensetzen, Spannungs- bzw. Färb- und Zeichnungsaufgaben) auf enaktiver, ikonischer und symbolischer Ebene im Bezug zur Flächenmessung.

Flächeninhalt

• Stufen der Flächengleichheit: Direktes Vergleichen (Durch Zerlegung und/oder Zusammensetzen).
• Direktes/Indirektes Vergleichen, Tangram, Unterschiedliche Formen, aber gleichen Flächeninhalt.
• Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt.

Zerlegung

• Aufteilung und Zerlegung geometrischer Figuren.

Umfang

• Länge der Begrenzungslinie einer Figur.
• Übungen zur Messung von Umfangslängen.
• Anwendung von Messvorgängen und Einheiten auf verschiedene Objekte im Alltag.

Umfang

• Beispiele für Umfangsbezeichnungen.
• Hilfsmittel zur Umfangsbestimung (Schnur, Leisten, Hölzchen).
• Vorstellen/Visualisieren von Umfang als Länge.

Aufgabe

• Umfangsgleiche, nicht deckungsgleiche und nicht flächengleiche Figuren.

Beispielfragen

• Aufgaben und Beispielfragen zur Bestimmung von Gleichheit, unterschiedlichem Flächeninhalt und Umfang von Figuren.

Geobrett

• Verwendung eines Geobretts zur Visualisierung von Flächen und Umfang.
• Rechnen mit Quadraten, rechtwinkligen Dreiecken.

Arbeitsauftrag

• Gruppeneinheit zu den Aufgaben.
• Aufgabenbezogene Materialanalyse.

Didaktische Prinzipien

• Schülerorientierung, Anwendungsorientierung und Verständnisorientierung als Prinzipien für den Geometrieunterricht.
• Vermittlung von Verständnis in Bezug auf mathematische Beziehungen und Zusammenhänge.

EIS-Prinzip: Enaktiv-ikonisch-symbolisch

• Verwendung von Darstellungsformen auf verschiedenen Abstraktionsebenen (enaktiv, ikonisch, symbolisch).

Materialentwurf (Aufgabe 10 - Teil 1)

• Hilfsmittel zur Vorbereitung von Aufgaben.
• Inhaltliche Struktur, Regelanweisungen für Aufgaben und Themen.

Arbeitsblatt 2

• Spezielle Arbeitsblätter für das Erarbeiten von Würfelgebauden und deren Darstellungen in drei Perspektiven (mit Beispiel des Arbeitsblattes).