Suma de Vectores: Métodos Gráficos y Analíticos

Física

Suma de Vectores

• Métodos gráficos para sumar vectores incluyen el método del triángulo y el método del paralelogramo.
• El método del triángulo implica colocar vectores uno tras otro, uniendo el origen del segundo con el extremo del primero, y el vector resultante une el origen del primer vector con el extremo del último.
• El método del triángulo es adecuado para sumar solo dos vectores a la vez.
• El método del paralelogramo implica colocar los vectores con el mismo origen para formar un paralelogramo, siendo el vector resultante la diagonal que parte de ese origen común.
• El método del paralelogramo solo se aplica al sumar dos vectores.
• Sumar vectores analíticamente empieza con descomponer cada vector en sus componentes horizontal y vertical.
• Se suman las componentes horizontales para obtener la componente horizontal resultante.
• Se suman las componentes verticales para obtener la componente vertical resultante.
• La magnitud del vector resultante se calcula con el teorema de Pitágoras: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$.
• La dirección del vector resultante se calcula con la función tangente inversa: $θ = tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x})$.

Producto Escalar

• El producto escalar de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ es $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| cos(θ)$, donde $|\vec{A}|$ y $|\vec{B}|$ son las magnitudes y $θ$ es el ángulo entre los vectores.
• El producto escalar también se puede calcular como $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$.

Producto Vectorial

• El producto vectorial de $\vec{A}$ y $\vec{B}$ resulta en un vector $\vec{C}$ con magnitud $|\vec{C}| = |\vec{A}| |\vec{B}| sen(θ)$, donde $|\vec{A}|$ y $|\vec{B}|$ son las magnitudes y $θ$ es el ángulo entre los vectores.
• La dirección de $\vec{C}$ es perpendicular al plano formado por $\vec{A}$ y $\vec{B}$, y su sentido está determinado por la regla de la mano derecha.
• El producto vectorial se calcula con componentes como: $\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) \hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{k}$.

Análisis de Algoritmos

Divide y Vencerás

• Divide y Vencerás es un paradigma algorítmico basado en la recursión multiple.
• Un problema se divide en subproblemas más pequeños.
• Los subproblemas se resuelven recursivamente, y si son pequeños, directamente.
• Las soluciones a los subproblemas se combinan para resolver el problema original.
• Ejemplos de algoritmos Divide y Vencerás son: Ordenamiento por mezcla (Merge Sort), Ordenamiento rápido (Quick Sort), Búsqueda binaria, Multiplicación de enteros grandes y Transformada rápida de Fourier (FFT).
• La ecuación de recurrencia general es $T(n) = a \cdot T(\frac{n}{b}) + f(n)$, donde $n$ es el tamaño del problema, $a$ es el número de subproblemas, $n/b$ es el tamaño de cada subproblema y $f(n)$ es el costo del trabajo fuera de las llamadas recursivas.
• El teorema maestro provee una solución asintótica para ecuaciones de recurrencia: $T(n) = a \cdot T(\frac{n}{b}) + f(n)$.
• El teorema maestro compara $f(n)$ con $n^{\log_b a}$.
• Si $f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon})$, entonces $T(n) = \theta(n^{\log_b a})$.
• Si $f(n) = \theta(n^{\log_b a})$, entonces $T(n) = \theta(n^{\log_b a} \cdot \log n)$.
• Si $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ y $a \cdot f(\frac{n}{b}) \le c \cdot f(n)$, entonces $T(n) = \theta(f(n))$.
• Ejemplo de caso teorema maestro: Para $T(n) = 2 \cdot T(\frac{n}{2}) + n$, donde $a = 2$, $b = 2$, y $f(n) = n$, se tiene que $n^{\log_b a} = n$, resultando en $T(n) = \theta(n \cdot \log n)$ (Caso 2).

Advanced Encryption Standard (AES)

Historia de AES

• En 1997, NIST solicitó propuestas para un sucesor del DES.
• Se requerian:
  • Tamaño de bloque de 128 bits.
  • Tamaños de clave de 128, 192 y 256 bits.
  • Algoritmo de clave simétrica.
  • Implementaciones de software y hardware.
• Las presentaciones se juzgaron por seguridad, costo e implementación.
• En 1998, se aceptaron 15 algoritmos.
• En 1999, se redujo a 5 algoritmos: MARS, RC6, Rijndael, Serpent, Twofish.
• En 2001, Rijndael fue elegido como el cifrado AES.
  • Desarrollado por Joan Daemen y Vincent Rijmen.

Rijndael

• Es un cifrado de bloque simétrico iterado.
• Tiene longitud de clave y bloque variable.
• La longitud de la clave es de 128, 192 o 256 bits.
• El tamaño del bloque es de 128 bits.

Tipos de Rondas

• La estructura de alto nivel de Rijndael consiste de la expansión de clave, ronda inicial, rondas y ronda final.

Componentes AES

• Estado: El bloque a cifrar, dispuesto como una matriz de bytes de $4 \times 4$.
  • El estado se representa como: $$ \begin{bmatrix} b_{0,0} & b_{0,1} & b_{0,2} & b_{0,3} \ b_{1,0} & b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} \ b_{2,0} & b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} \ b_{3,0} & b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3} \end{bmatrix} $$
• Clave: La clave expandida se organiza como una matriz de bytes de $4 \times N_r$, donde $N_r$ es el número de rondas + 1.
  • La clave expandida se representa como: $$ \begin{bmatrix} k_{0,0} & k_{0,1} &... & k_{0,Nr} \ k_{1,0} & k_{1,1} &... & k_{1,Nr} \ k_{2,0} & k_{2,1} &... & k_{2,Nr} \ k_{3,0} & k_{3,1} &... & k_{3,Nr} \end{bmatrix} $$

Rondas

• Cada ronda consta de 4 transformaciones: SubBytes, ShiftRows, MixColumns y AddRoundKey.

Cifrado AES

Expansión de Clave

• Las claves de ronda se derivan de la clave de cifrado utilizando el programa de claves Rijndael.
• El número total de claves de ronda es $N_r + 1$, donde $N_r$ es el número de rondas.

Ronda Inicial

• AddRoundKey: XOR la entrada con la primera clave de ronda.

Rondas

• Nr - 1 rondas, cada una consta de: SubBytes, ShiftRows, MixColumns y AddRoundKey.

Ronda Final

• Consta de: SubBytes, ShiftRows y AddRoundKey.
• No hay MixColumns en la ronda final.

Descifrado

• El descifrado es lo inverso del cifrado.
• Se utilizan funciones inversas para cada transformación: InvSubBytes, InvShiftRows, InvMixColumns y AddRoundKey.
• Las claves de ronda se utilizan en orden inverso.

Fortalezas de AES

• Seguridad: Se considera que AES es muy seguro.
• Eficiencia: AES es muy eficiente tanto en software como en hardware.
• Flexibilidad: AES se puede utilizar con diferentes tamaños de clave.
• Ampliamente adoptado: AES se utiliza en muchas aplicaciones.

Hoja de Trabajo 3: Descarga del Condensador

Tarea 1

• Un condensador con capacitancia $C = 100 \mu F$ se carga a un voltaje de $U_0 = 10 V$.
• En el momento $t = 0$, el condensador se descarga a través de una resistencia de $R = 1 k\Omega$.
• La constante de tiempo $\tau$ se calcula como el producto de la resistencia y la capacitancia: $\tau = R \cdot C$.
• El voltaje en los momentos $t_1 = \tau$, $t_2 = 2\tau$ y $t_3 = 5\tau$. se computa como $U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$.
• Representa gráficamente el curso del voltaje $U(t)$ a través del tiempo $t$ en un diagrama.

Tarea 2

• Un condensador con capacitancia desconocida se descarga a través de una resistencia de $R = 2,2 k\Omega$.
• Después de $t = 5 ms$ el voltaje en el condensador cae a la mitad de su valor inicial.
• La constante de tiempo $\tau$ se computa: $\tau = \frac{t}{\ln{2}}$.
• La capacitancia $C$ del condensador se deduce de la constante de tiempo y la resistencia: $C = \frac{\tau}{R}$.

Tarea 3

• Un condensador con una capacitancia $C = 470 \mu F$ se conecta en serie con una resistencia $R$.
• Un voltaje CC de $U_0 = 12 V$ se aplica al circuito en serie.
• Después de $t = 2 s$, el voltaje en el condensador es $U(t) = 8 V$.
• La corriente a través de la resistencia en el momento $t = 2 s$ es $I(t) = \frac{U_0 - U(t)}{R}$.
• El valor de la resistencia $R = \frac{U_0}{I_0}$ con $I_0=C\frac{U_0}{t}$.

Tarea 4

• Un condensador se carga a través de una resistencia.
• Después de un tiempo de $t = 3\tau$ el condensador ha alcanzado el 95% de su carga máxima.
• Después de un tiempo de $t = \tau$ el condensador llega al $63,2 %$ de su carga máxima.
• El tiempo después del cual el condensador ha alcanzado el $99%$ de su carga máxima es $t = 4,61 \tau$.

Ecuaciones de Descarga del Condensador

• El voltaje cambia con el tiempo: $U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$.
• Tiempo constante: $\tau = R \cdot C$.
• La corriente eléctrica $I(t)$ en el descargue es $I(t) = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$.

Potencial Químico

Resumen

• Aproximación semiclasica
  • $N$ partículas en una caja, cada partícula libre
  • $E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \implies g(E) = \frac{V}{4\pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2} \sqrt{E}$
  • $N = \int_0^\infty dE g(E) f(E)$
  • $U = \int_0^\infty dE g(E) f(E) E$
  • $f(E) = \frac{1}{e^{\beta(E-\mu)} + 1} \approx e^{-\beta(E-\mu)}$
  • Límite clásico: gas diluido, alta T
  • $\implies e^{\beta(E-\mu)} >> 1$ para $E$ relevante

Potencial Químico

$$ \begin{aligned} N &= \int_0^\infty dE g(E) e^{-\beta(E-\mu)} \ &= e^{\beta \mu} \frac{V}{4\pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2} \int_0^\infty dE \sqrt{E} e^{-\beta E} \ &= e^{\beta \mu} \frac{V}{4\pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \beta^{-3/2} \ &= e^{\beta \mu} V (\frac{2m}{4\pi \beta \hbar^2})^{3/2} \ &= e^{\beta \mu} V (\frac{mk_B T}{2\pi \hbar^2})^{3/2} \ \end{aligned} $$

• Longitud de onda térmica $\lambda = \sqrt{\frac{2\pi \hbar^2}{mk_B T}}$ $$ N = e^{\beta \mu} \frac{V}{\lambda^3} $$ $$ e^{\beta \mu} = \frac{N}{V} \lambda^3 = n \lambda^3 $$
• $n = \frac{N}{V}$: densidad numérica $$ \mu = k_B T \ln (n \lambda^3) $$
• Límite clásico: $\mu < 0$
• $n\lambda^3 0$: $\mu(T)$ disminuye ligeramente con la temperatura.
• $E - \mu = k_B T \implies E = \mu + k_B T$
• $E - \mu = -k_B T \implies E = \mu - k_B T$
• $\implies$ ancho de transición $\sim k_B T$
• Si $k_B T T_F:$ "gas clásico"

Gas de Fermi:

• $U = \int_0^\infty dE g(E) f(E) E$
• $C_V = \frac{dU}{dT} \sim k_B$ por partícula (clásico)
• Experimento: $C_V \rightarrow 0$ as $T \rightarrow 0$
• Dependencia de T dominante: $C_V \sim T$

Matriz de Confusión

• La matriz de confusión es una herramienta que permite la visualización del desempeño de un algoritmo de aprendizaje supervisado.
• Cada fila de la matriz representa las instancias de una clase predicha.
• Cada columna representa las instancias de una clase real (o viceversa).
• Es una herramienta fundamental en el análisis del "output" de un algoritmo de "Machine Learning".
• Se usa Verdadero Positivo (VP), Falso Positivo (FP), Verdadero Negativo (VN) y Falso Negativo (FN).
• Medidas comunes para evaluar el desempeño son Exactitud (Accuracy), Precisión (Precision), Exhaustividad (Recall) y F1-Score.
• Exactitud (Accuracy): $\frac{VP + VN}{VP + VN + FP + FN}$.
• Precisión (Precision): $\frac{VP}{VP + FP}$.
• Exhaustividad (Recall): $\frac{VP}{VP + FN}$.
• F1-Score: $2 * \frac{Precision * Recall}{Precision + Recall}$.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Separación de Variables para la Ecuación del Calor

• La ecuación del calor es $\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ en un intervalo finito con condiciones de frontera Dirichlet cero, $u(0,t) = u(L,t) = 0$.
• Se asume $u(x,t) = X(x)T(t)$ para separar variables.
• Sustituyendo, $X(x)T'(t) = kX''(x)T(t)$, y dividiendo, $\frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$.
• Se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias: $X''(x) + \lambda X(x) = 0$ y $T'(t) + k\lambda T(t) = 0$.
• La solución general para $X(x)$ es $X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)$.
• Usando las condiciones de frontera, $X(0) = A = 0$ y $X(L) = B\sin(\sqrt{\lambda}L) = 0$, para obtener soluciones no triviales, $\sqrt{\lambda}L = n\pi$, con $n = 1, 2, 3, \dots$.
• Los eigenvalores y eigenfunciones son $\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$ y $X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$.
• La ecuación temporal $T'(t) + k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 T(t) = 0$ tiene solución $T_n(t) = e^{-k(n\pi/L)^2 t}$.
• La solución general es una superposición: $u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-k(n\pi/L)^2 t}$.
• Los coeficientes $B_n$ se determinan con la condición inicial $u(x,0) = f(x)$: $f(x) = \sum_{n=1}^\infty B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$, usando la serie de Fourier: $B_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$.
• Ejemplo: Con $k = 1$, $L = \pi$, y $f(x) = \sin(x)$, la solución es $u(x,t) = \sin(x) e^{-t}$, ya que $B_1 = 1$ y $B_n = 0$ para $n \neq 1$.