Statistiques: Paramètres de Réduction

• Les paramètres de réduction sont des statistiques qui résument et mettent en évidence les principales caractéristiques d'une distribution.
• Un échantillon est utilisé pour généraliser les résultats à une population plus large.
• Il existe trois principaux groupes de paramètres : de tendance centrale, de position, et de dispersion.

Paramètres de Tendance Centrale

• Les paramètres de tendance centrale indiquent le centre d'une série statistique.

La Moyenne

• La moyenne est une mesure de tendance centrale.
• La moyenne arithmétique simple est calculée en additionnant toutes les valeurs et en divisant par le nombre de valeurs : m = Σxᵢ / n

La Moyenne Arithmétique Pondérée

• La moyenne arithmétique pondérée est utilisée pour les observations répétées et simplifie le calcul.
• Formule de la moyenne arithmétique pondérée : m = Σ(nᵢ * xᵢ) / n
• Une méthode inclut le recours aux fréquences relatives : fᵢ = nᵢ / n m = Σ (fᵢ * xᵢ)
• La somme de toutes les fréquences relatives est égale à 1 : Σ fᵢ = 1
• La somme de (Xᵢ - m) = 0
• La somme de (Xᵢ - m)² = Quantité minimale
• Pour un échantillon avec deux sous-échantillons (A et B) : m = (nₐmₐ + nвmв) / (nₐ + nв)
• Pour une généralisation à k sous-échantillons : m = Σ(nk * mk) / Σnk

Le Mode

• Le mode est la valeur qui revient le plus souvent.
• Pour une série groupée, on identifie le mode grâce à la classe modale où l'effectif est le plus élevé.
• Détermination peut se faire graphiquement ou par des calculs.
• Distribution est définie comme : unimodale, bimodale, ou multimodale.
• Calcul du mode : m₀ = xᵢ + (D₁ / (D₁ + D₂)) * a où a représente l'amplitude de classe.
• D₁ = 55-39 = 16, et D₂ = 55-48 = 7

La Médiane

• La médiane est la valeur au milieu d'une série statistique après le classement des données.
• Le nombre d'observations inférieures et supérieures à la médiane est égal.

Données Non Regroupées

• Pour un petit effectif, il faut ordonner les observations et prendre la valeur du milieu.
• Dans étudiants (kg) : 52,99, 57,74, 59,79, 60,4, 61,82, 61,82, 64,1, 64,99, 65,45, 66,33, 68,28, 69,12, 70,13, 70,56, 72,88, 76,34, 76,36, 79,65, 83,45
• La médiane est 66,33. Et l'intervalle médian est entre 65,45 et 66,33.
• Pour les séries discontinues avec peu de modalités, la médiane correspond au premier effectif cumulé « moins de » ≥ N/2.
• N/2 = 77 / 2 = 38,5

Données Regroupées

• Identifier la classe médiane basée sur la distribution des données.
• On se sert de ça pour l'interpolation des données.
• On utilise la formule : me = xᵢ + (N/2 - S) / Nᵢ * a; où :
• xᵢ est la limite inférieure de la classe médiane,
• S est l'effectif cumulé jusqu'à la classe médiane non comprise,
• Ni est l'effectif absolu de la classe médiane,
• a est l'amplitude de la classe.

Les Paramètres de Position

• Une divisibilité en parties égales (2, 4, 10, 100)
• Un paramètre qui occupe une place spécifique dans ces divisions.
• La médiane est un paramètre de position qui divise la série en deux parties égales.

Les Quartiles

• Les quartiles divisent une série statistique en quatre parties égales.
• Ces parties contiennent le même nombre de sujets.
• Q₁ correspond à la 25ème valeur sur 100.
• Q₂ correspond à la 50ème valeur sur 100 et est aussi la médiane.
• Q₃ correspond à la 75ème valeur sur 100.
• Q₁ correspond à la 76.75ème valeur (25 % de 307) : 170,5 cm.
• Q₂ correspond à la 153.5ème valeur (50 % de 307) : 172,5 cm.
• Q₃ correspond à la 230.25ème valeur (75 % de 307) : 176,5 cm.´
• Interpolation est utilisée tenant compte du rang recherché.
• Formule : Q₁ = 169,5 + ((307/4) - 63) / 39 * 2 = 170,2cm et Q₃ = 175,5 + ((307x¾) - 205) / 35 * 2 = 176,9cm

L'Intervalle Inter-quartile

• L'intervalle inter-quartile est Q3 – Q1 et englobe 50% des sujets.

Les Déciles

• Les déciles divisent la série statistique en 10 parties égales contenant le même nombre de sujets.
• D₁ correspond à la 10e valeur sur 100.
• D₂ correspond à la 20e valeur sur 100.
• D₅ correspond à la 50e valeur sur 100 et est aussi la médiane.
• Utilisation méthode d'interpolation.
• On peut aussi déterminer les déciles graphiquement.
• Les déciles divisent la série statistique en 10 parties égales.
• On peut aussi déterminer les déciles graphiquement.

Les Percentiles

• Les percentiles divisent la série statistique en 100 parties égales si N ≥ 1000.
• P1 est la 10ème valeur sur 1000.
• P42 est la 420ème valeur sur 1000.
• P50, est la 500ème valeur sur 1000, et est aussi la médiane.
• P20 = D2
• P25 = Q1
• P75 = Q3
• Méthode d'interpolation : P25 = Xᵢ + ((n * 25/100) – S) / nᵢ * 2 = 170,2 cm = Q1
• On peut aussi déterminer les déciles graphiquement.

Les Paramètres de Dispersion

• Quantifie l'étalement des observations d'une série statistique autour des paramètres de tendance centrale.

L'étendue (La Marge)

• Elle représente la différence entre les deux valeurs extrêmes de la série.
• Pour une série de 307 footballeurs algériens avec un minimum de 159,5 cm et un maximum de 191,5 cm, la marge serait de 32 cm.

L'intervalle Inter-quartile

• L'intervalle inter-quartile comprend 50 % des observations.
• Elle est définie comme Q1 – Q3.

Le 10-90 Percentile Range

• Cette mesure élimine les 10 % supérieurs et inférieurs des valeurs.
• Ceci garde 80 % des valeurs.
• Pour 307 footballeurs algériens : 166,3 – 180,2 cm

L'Écart Absolu Moyen (EAM)

• L'EAM se calcule avec la formule : EAM = Σ (nᵢ * |xᵢ - m|) / n
• s₁ = 6
• s₂ = 12

La Variance et L'écart-Type

• Formules : Variance : Sₓ² = Σ (xᵢ - m)² / n (données non groupées) et Sₓ² = Σ nᵢ (xᵢ - m)² / n (données groupées)
• Écart-type : Sₓ = √Σ (xᵢ - m)² / n (données non groupées) et Sₓ = √Σ nᵢ (xᵢ - m)² / n (données groupées)

Variance d'Une Série à Faible Effectif

• Pour une série à faible effectif (N < 30), il est recommandé de remplacer le dénominateur par (n - 1).

Variance d'Un Échantillon Constitué De Sous-Échantillons

• Formule : S² = (n₁S₁² + n₂S₂²) / (n₁ + n₂) + (n₁(m₁-m)² + n₂(m₂-m)²) / (n₁ + n₂)
• Si les moyennes sont identiques, la variance totale est égale à la variance résiduelle.

Variance d'Une Variable

• Pour deux séries de variables y et z avec la même taille d'échantillon, la formule est :
• Sₓ² = Σ (y - mᵧ)² / n + Σ (z - m₂)² / n + 2Σ (y - mᵧ) (z - m₂) / n
• La variance totale est la somme de la variance de y, la variance de z, et la covariance entre y et z.

Le Coefficient de Variation

• Le coefficient de variation est : CV = s / m (%)
• Mesure le degré d'homogénéité, le degré de dispersion de deux variables, ou la proportion de dispersion entre deux séries statistiques.