Statistiques Descriptives Univariées

Statistiques Descriptives Univariées

• La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs.
  • Population: $\mu = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N}$
  • Échantillon: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
• La médiane est la valeur centrale lorsque les données sont ordonnées.
• Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment.
• La variance mesure la dispersion des données autour de la moyenne.
  • Population : $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}{N}$
  • Échantillon : $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
• L'écart-type est la racine carrée de la variance.
  • Population: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
  • Échantillon: $s = \sqrt{s^2}$
• L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
• L’écart interquartile (IQR) est la différence entre le troisième quartile et le premier quartile : $IQR = Q_3 - Q_1$.
• Les percentiles indiquent la valeur en dessous de laquelle un certain pourcentage des données se situe.
• Les quartiles divisent les données en quatre parties égales :
  • $Q_1$: 25e percentile
  • $Q_2$: 50e percentile (médiane)
  • $Q_3$: 75e percentile
• L'écart absolu médian (MAD) est la médiane des valeurs absolues des écarts par rapport à la médiane.
• Le coefficient de variation (CV) mesure la dispersion relative :
  • Population: $CV = \frac{\sigma}{\mu}$
  • Échantillon: $CV = \frac{s}{\bar{x}}$

Statistiques Descriptives Bivariées

• La covariance mesure comment deux variables varient ensemble :
  • Population : $\sigma_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)}{N}$
  • Échantillon : $s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}$
• Le coefficient de corrélation de Pearson mesure la force et la direction d’une relation linéaire :
  • Population : $\rho_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$
  • Échantillon : $r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$

Probabilités

• La probabilité marginale est la probabilité qu'un événement se produise : $P(A)$.
• La probabilité conjointe est la probabilité que deux événements se produisent simultanément : $P(A \cap B)$.
• La probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement se produise, sachant qu’un autre événement s’est déjà produit : $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
• Règle d'addition : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Indépendance : Si A et B sont indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
• Complément : $P(A^c) = 1 - P(A)$
• Théorème de Bayes : $P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}$

Variables Aléatoires Discrètes

• La fonction de masse de probabilité (PMF) donne la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur spécifique : $P(X = x)$.
• La fonction de répartition cumulative (CDF) donne la probabilité qu'une variable aléatoire soit inférieure ou égale à une certaine valeur : $F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i)$.
• L'espérance mathématique (valeur attendue) est la moyenne pondérée des valeurs possibles : $E[X] = \sum x \cdot P(X = x)$.
• La variance mesure la dispersion : $Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$.
• L’écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma = \sqrt{Var(X)}$.

Variables Aléatoires Continues

• La fonction de densité de probabilité (PDF) décrit la probabilité relative qu'une variable aléatoire prenne une valeur spécifique.
• La fonction de répartition cumulative (CDF) donne la probabilité qu'une variable aléatoire soit inférieure ou égale à une certaine valeur: $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$.
• L'espérance mathématique (valeur attendue) est la moyenne pondérée des valeurs possibles : $E[X] = \int x \cdot f(x) dx$.
• La variance mesure la dispersion : $Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$.
• L’écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma = \sqrt{Var(X)}$.

Distributions Communes

Discrètes

• Distribution de Bernoulli :
  • $P(X = x) = p^x (1-p)^{(1-x)}$, pour $x \in {0, 1}$
  • $E[X] = p$
  • $Var(X) = p(1-p)$
• Distribution binomiale :
  • $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)}$, pour $k \in {0, 1,..., n}$
  • $E[X] = np$
  • $Var(X) = np(1-p)$
• Distribution de Poisson :
  • $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$, pour $k \in {0, 1, 2,...}$
  • $E[X] = \lambda$
  • $Var(X) = \lambda$

Continues

• Distribution uniforme :
  • $f(x) = \frac{1}{b-a}$, pour $a \leq x \leq b$
  • $E[X] = \frac{a+b}{2}$
  • $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
• Distribution exponentielle :
  • $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, pour $x \geq 0$
  • $E[X] = \frac{1}{\lambda}$
  • $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
• Distribution normale :
  • $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
  • $E[X] = \mu$
  • $Var(X) = \sigma^2$

Inférence Statistique

• Un estimateur est une statistique utilisée pour estimer un paramètre de population.
• Le biais mesure la différence attendue entre un estimateur et la vraie valeur du paramètre : $Biais(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta$.
• L'erreur quadratique moyenne (EQM) mesure la qualité globale d'un estimateur : $MSE(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - \theta)^2] = Var(\hat{\theta}) + Biais(\hat{\theta})^2$.
• Un intervalle de confiance est une plage de valeurs utilisée pour estimer un paramètre de population avec un certain niveau de confiance :
  • $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (si $\sigma$ est connu)
  • $\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$ (si $\sigma$ est inconnu)

Tests D'hypothèses

• L'hypothèse nulle ($H_0$) est une affirmation sur un paramètre de population que l'on cherche à réfuter.
• L'hypothèse alternative ($H_1$) est une affirmation qui contredit l'hypothèse nulle.
• Le niveau de signification ($\alpha$) est la probabilité de rejeter l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie (erreur de type I).
• La valeur p est la probabilité d'obtenir un résultat aussi extrême ou plus extrême que celui observé, si l'hypothèse nulle est vraie.
• Erreur de type I : Rejeter l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie.
• Erreur de type II : Ne pas rejeter l'hypothèse nulle alors qu'elle est fausse.
• La puissance du test (1 - $\beta$) est la probabilité de rejeter correctement l'hypothèse nulle lorsqu'elle est fausse.

Régression Linéaire Simple

• Modèle : $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$
• Estimations des coefficients : $\hat{\beta_1} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}$ $\hat{\beta_0} = \bar{y} - \hat{\beta_1} \bar{x}$
• Le coefficient de détermination ($R^2$) mesure la proportion de la variance de la variable dépendante qui est prévisible à partir de la variable indépendante :
  • $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$
  • $SSE = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}i)^2$ et $SST = \sum{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$

Analyse De La Variance (ANOVA)

• L’ANOVA compare les variances entre les groupes à la variance à l’intérieur des groupes pour tester si les moyennes des groupes sont égales.
• Statistique de test:
  • $F = \frac{MST}{MSE}$, où $MST$ est le carré moyen du traitement et $MSE$ est le carré moyen de l'erreur.

Introduction à L'économétrie

• L'économétrie est l'utilisation de méthodes statistiques pour répondre aux questions empiriques en économie.
• Elle aide à tester les théories économiques, à prédire les événements futurs et à évaluer les effets des politiques gouvernementales.
• Un cours d'introduction à l'économétrie aborde des sujets comme la statistique descriptive, l'inférence statistique, l'analyse de régression, les séries chronologiques et l'économétrie appliquée.
• Il essentiel d'étudier l'économétre car c'est une compétence recherchée dans les secteurs public et privé, exigeant une base solide en statistique, en mathématiques et en économie.
• Pour les exemples, le livre utilise le logiciel Stata.
• Voici les conventions du livre :
  • Les variables sont indiquées avec des lettres majuscules. (Par exemple, Y, X)
  • Les paramètres sont indiqués avec des lettres grecques minuscules. (Par ex., β, σ)
  • Les estimateurs seront indiqués avec un accent circonflexe. (Par exemple, (\hat{\beta}), (\hat{\sigma}))

Conditions Aux Limites

• Condition limite de Dirichlet : La valeur de l’inconnue est spécifiée à la limite, c’est-à-dire $u(x,y) = g(x,y)$ à la limite.
• Condition limite de Neumann : La dérivée normale de l’inconnue est spécifiée à la limite, c’est-à-dire $\frac{\partial u}{\partial n} = g(x,y)$ à la limite.
• Condition limite mixte ou de Robin : Combinaison des conditions de Dirichlet et de Neumann, c’est-à-dire $\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = g(x,y)$ à la limite, où $\alpha$ et $\beta$ sont des coefficients constants.

Exemple D'équation Avec Conditions Limites

• Equation : $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$
• Définition : $0 \leq x \leq L$, $0 \leq y \leq H$
• Conditions aux limites de Dirichlet :
  • $u(0,y) = f_1(y)$
  • $u(L,y) = f_2(y)$
  • $u(x,0) = g_1(x)$
  • $u(x,H) = g_2(x)$
  • (L'image est un rectangle avec les équations ci-dessus le long de chaque côté du rectangle)

Définition Des Radians

• La mesure en radians de l'angle $\theta$ est définie comme la longueur de l'arc $s$ sur un cercle de rayon $r$ sous-tendu par l'angle $\theta$.
  • $\theta = \frac{s}{r}$
  • $s = r\theta$
• Une révolution complète :
  • $\theta = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ radians
• Relations entre degrés et radians : $360^\circ = 2\pi \text{radians}$ $180^\circ = \pi \text{radians}$ $1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{radians}$
• Pour convertir les degrés en radians, multipliez par $\frac{\pi}{180}$.
• Un radian :
  • $1 \text{radian} = \frac{180}{\pi} \text{ degrees} \approx 57.3^\circ$
• Pour convertir les radians en degrés, multipliez par $\frac{180}{\pi}$.

Angles Communs

• 30° : $\frac{\pi}{6}$
• 45° : $\frac{\pi}{4}$
• 60° : $\frac{\pi}{3}$ .
• 90° : $\frac{\pi}{2}$ .
• 180° : π
• 270° : $\frac{3\pi}{2}$
• 360° : $2\pi$
• Longueur d'arc :
  • La longueur s d'un arc intercepté sur un cercle de rayon r par un angle central de θ radians est donnée par s = rθ où θ est en radians.
• Aire d'un secteur :
  • L’aire A d’un secteur de cercle de rayon r avec un angle central θ est A = (1/2)r2θ où θ est en radians.

Trading Algorithmique

• Aussi appelé trading automatisé, trading boîte noire ou algo-trading.
• Utilise un programme informatique qui suit un ensemble d’instructions définies (un algorithme) pour placer un trade.
• L’algorithme exécute un trade lorsque les conditions prédéterminées sont remplies.

Exemple

• Un trader crée un algorithme pour acheter 50 actions d’une action lorsque sa moyenne mobile sur 50 jours dépasse sa moyenne mobile sur 200 jours.
• Avantages :
  • Les trades sont exécutés aux meilleurs prix possibles.
  • Le placement des ordres de trade est instantané et précis.
  • Coûts de transaction réduits.
  • Vérifications automatisées simultanées des conditions de marché multiples
  • Risque d’erreurs manuelles réduit.
• Inconvénients :
  • Nécessite des connaissances spécialisées en programmation.
  • L’algorithme a besoin d’une surveillance constante.
  • Possibilité de panne mécanique ou de système.
  • Peut avoir des résultats inattendus en raison de problèmes techniques. (Source : Investopedia)

Table de hachage simple enchaînée

• Utilise une table de hachage $[0 . . m-1]$ de listes chaînées.
• La fonction de hachage $h(k)$ mappe un univers $U$ de clés en ${0, \ldots, m-1}$.
• Opérations typiques :
• Chained-Hash-Insert(T, x): Insérer x en tête de la liste T[h(x.key)].
• Chained-Hash-Search(T, k): Rechercher un élément avec la clé k dans la liste T[h(k)].
• Chained-Hash-Delete(T, x): Supprimer x de la liste T[h(x.key)].

Analyse

• Pire des cas : toutes les n clés hachent vers le même emplacement, ce qui prend $\Theta(n)$ par opération. Moyenne des cas : dépend de la façon dont la fonction de hachage $h(k)$ distribue les clés entre les emplacements

Hachage Uniforme Simple

• Chaque clé hache également vers l’un des m emplacements, indépendamment de l’endroit où d’autres clés ont haché. Soit n le nombre de clés dans la table.

• Définir le facteur de charge  $\alpha = \frac{n}{m} =$ nombre moyen de clés par emplacement.
  

Soit $n_i$ la longueur de la liste T[i].

•  $n = \sum_{i=0}^{m-1} n_i$
  

• La longueur moyenne de la liste T[i] est $E[n_i] = \alpha = \frac{n}{m}$ Le facteur de charge $\alpha$ peut être = 1 Théorème : Dans une table de hachage avec un hachage uniforme simple, le temps prévu pour une recherche infructueuse est $\Theta(1 + \alpha)$.
• Preuve*.Avec un hachage uniforme simple, une clé k donnée est également susceptible de hacher dans n’importe quel emplacement. Le temps prévu pour effectuer une recherche infructueuse pour une clé k est le temps prévu pour effectuer une recherche jusqu’à la fin de la liste T[h(k)], qui a une longueur prévue de $\alpha$. Nous devons effectuer une recherche dans la liste, donc le temps est $\Theta(1 + \alpha)$. Théorème : Dans une table de hachage avec un hachage uniforme simple, le temps prévu pour une recherche réussie est $\Theta(1 + \alpha)$.
• Preuve*. Supposons que le nouvel élément recherché a la même probabilité d’être l’un des n éléments de la table. Le nombre d’éléments examinés lors d’une recherche réussie pour l’élément x est supérieur de 1 au nombre d’éléments qui apparaissent avant x dans la liste de x. Il s’agit des éléments insérés plus tard que x qui ont la même valeur de hachage que x.

Choisir une bonne fonction de hachage

• Parfois, il peut être difficile d’obtenir un hachage uniforme simple. Les clés ne sont pas toujours uniformément distribuées Par exemple : table de symboles de compilateur : les clés sont des noms de variables
• Une bonne fonction de hachage doit distribuer les clés uniformément dans les emplacements la régularité dans la distribution des clés ne doit pas affecter l’uniformité la fonction de hachage dépend du type de données en cours de hachage.
• Nous supposons que les clés sont des nombres

Méthode de division

• $h(k) = k \mod m$ Avantage : rapide
• Éviter certaines valeurs de m
• $m = 2^p$: utilise uniquement la valeur p des bits les moins significatifs de k $m = 2^p - 1$: Si k est une chaîne de caractères interprétée en radix $2^p$, la permutation des caractères de k ne modifie pas sa valeur de hachage. Bonne valeur de m : nombre premier pas trop proche d’une puissance exacte de 2 Par exemple : n = 2000 chaînes, examiner une moyenne de 3 éléments pendant une recherche infructueuse, choisir m = 701.

Méthode de multiplication

• $h(k) = \lfloor m(kA \mod 1) \rfloor$
• où A est une certaine constante, $0 < A < 1$ $kA \mod 1 = kA - \lfloor kA \rfloor =$ la partie fractionnaire de kA. Avantage : la valeur de m n’est pas critique
• Choisir m comme puissance de 2 : $m = 2^p$ Choisir A comme fraction qui fonctionne bien
• w = taille de mot = nombre de bits dans un mot d’ordinateur Restreindre A à être de la forme s / w, où s est un entier dans la plage $0 < s < w$ Multiplier k par s. Le résultat est deux mots w bits, $r_1$ (ordre élevé) et $r_0$ (ordre faible). Prendre les p bits les plus significatifs de $r_0$.

Hachage Universel

• Définition. Une collection $H$ de fonctions de hachage est universelle si, pour chaque paire de clés distinctes $k, l$, le nombre de fonctions de hachage $h \in H$ pour lesquelles $h(k) = h(l)$ est exactement $|H|/m$ Pour des clés distinctes k et l données,
• $\Pr{h(k) = h(l)} = 1/m$ si nous choisissons h au hasard à partir de $H$. Le hachage universel est bon, car il produit peu de collisions.
• Théorème. Si h est choisi dans une collection universelle de fonctions de hachage et qu’il sert à hacher n clés dans une table de taille m, où $n \le m$, le nombre prévu de collisions impliquant une clé k particulière est inférieur à 1.
• Preuve.* Pour chaque clé $l \neq k$, définir la variable aléatoire d’indicateur $X_{kl} = I{h(k) = h(l)}$. $E[X_{kl}] = \Pr{h(k) = h(l)} = 1/m$ Soit $C_k$ le nombre total de collisions impliquant la clé k : $C_k = \sum_{l \neq k} X_{kl}$ $E[C_k] = E[\sum_{l \neq k} X_{kl}] = \sum_{l \neq k} E[X_{kl}] = \sum_{l \neq k} 1/m = (n-1)/m < 1$