Statistica sufficiente e varianza campionaria

Nella produzione industriale, è il valore ideale e previsto per una caratteristica specifica del prodotto, come ad esempio lo spessore di una lastra di metallo.

Leggeri scostamenti dal valore prefissato, che si verificano durante la produzione di un bene.

La capacità dello strumento di misurare con precisione piccole variazioni. Uno strumento con bassa precisione non riesce a distinguere tra valori molto vicini.

La misurazione effettiva di una singola unità del prodotto, ad esempio lo spessore di una singola lastra di metallo.

L'errore casuale che si verifica durante il processo di misurazione, non influenzato da bias sistematici. Si assume che l'errore sia distribuito normalmente con media zero.

Un modello statistico che si basa sull'assunzione che la misurazione Y sia la somma del valore reale µ e di un errore casuale ϵ. La variabile Y segue quindi una distribuzione normale con media µ e varianza σ^2.

Dato un campione di n unità (ad esempio, n lastre), calcolare la media aritmetica di tutte le misure campionarie.

Valutare diversi metodi statistici per stimare un parametro incognito (ad esempio, lo spessore medio μ), e determinare quale metodo è migliore.

Una statistica sufficiente è una statistica che contiene tutte le informazioni rilevanti sul parametro incognito θ del modello. Essa racchiude in sé tutta l'informazione disponibile sul parametro, ignorando dati non necessari.

La distribuzione condizionata del campione dato la statistica sufficiente non dipende dal parametro θ. Questo significa che la statistica sufficiente è in grado di fornire tutte le informazioni necessarie per stimare θ, a prescindere dai dati non inclusi in essa.

Per dimostrare la sufficienza di una statistica, è necessario verificare che la distribuzione condizionata del campione, dato la statistica stessa, sia indipendente dal parametro θ. Ad esempio, se la distribuzione condizionata del campione, data la somma delle osservazioni, non dipende da θ, allora la somma delle osservazioni è una statistica sufficiente per θ.

Se una statistica è sufficiente, allora anche qualsiasi funzione biunivoca di quella statistica è sufficiente. Ad esempio, se la media campionaria è sufficiente, anche la somma delle osservazioni è sufficiente.

In molti casi, è difficile stabilire se una statistica è sufficiente utilizzando direttamente la definizione. Fortunatamente, esistono condizioni più semplici da verificare per garantire la sufficienza di una statistica. Queste condizioni saranno analizzate in lezioni successive.

La misura della dispersione di una stima attorno al suo valore atteso. È un indicatore di quanto la stima è precisa e indica la variabilità della stima rispetto al valore vero del parametro.

Una misura della bontà di uno stimatore per un parametro. Misura quanto la stima è vicina al valore vero del parametro. Può essere calcolata come la media dei quadrati degli errori di stima.

Proprietà di uno stimatore che indica quanto è precisa la stima del parametro. Uno stimatore è più efficiente se ha una varianza minore rispetto a un altro stimatore dello stesso parametro.

Il rapporto tra gli EQM di due stimatori. Fornisce un'indicazione di quanto uno stimatore è più efficiente di un altro.

Una stimatore è più efficiente quando ha un EQM inferiore rispetto ad un altro stimatore per lo stesso parametro.

Una disuguaglianza che fornisce un limite inferiore per la varianza di uno stimatore non distorto. La disuguaglianza stabilisce che la varianza di uno stimatore non distorto non può essere inferiore a una certa quantità.

La varianza campionaria è una misura della dispersione dei dati campionari rispetto alla loro media. Viene calcolata come la somma degli scarti quadratici dalla media campionaria, divisa per il numero di osservazioni meno uno. È uno stimatore non distorto della varianza della popolazione.

La varianza campionaria corretta è una variante della varianza campionaria che tiene conto del bias dovuto alla stima della media campionaria dalla popolazione. Viene calcolata dividendo la somma degli scarti quadratici dalla media campionaria per il numero di osservazioni meno uno, anziché per il numero di osservazioni.

La varianza campionaria è uno stimatore distorto della varianza della popolazione, ovvero la sua aspettativa è leggermente diversa dalla varianza della popolazione. Questo bias è dovuto al fatto che la media campionaria è una stima della media della popolazione e quindi aggiunge un po' di varianza.

La varianza campionaria è uno stimatore asintoticamente corretto della varianza della popolazione, ovvero la sua aspettativa converge alla vera varianza della popolazione all'aumentare della dimensione del campione.

Questa formula è utilizzata per calcolare la varianza campionaria corretta: S^2 = Σ(Yi - Y)^2 / (n - 1). Questo stimatore è corretto in quanto la sua aspettativa è uguale alla varianza della popolazione.

Il metodo dell'analogia è un'euristica che cerca di stimare un parametro usando un analogo campionario. Ad esempio, per stimare la media della popolazione si usa la media campionaria.

Talvolta l'analogo campionario non è la scelta migliore. Ad esempio, la varianza campionaria è un stimatore distorto della varianza della popolazione.

Il metodo dei momenti stima i parametri usando i momenti della variabile casuale. Richiede l'esistenza dei momenti e la conoscenza delle relazioni tra i momenti e i parametri.

Il metodo dei momenti richiede che la variabile casuale abbia un numero di momenti finito, pari al numero di parametri da stimare.

I momenti di una variabile casuale sono funzioni dei parametri. Si ottengono calcolando le potenze della variabile casuale e poi calcolando la media.

Per poter stimare i parametri, è necessario conoscere le relazioni tra i momenti e i parametri. In particolare, bisogna sapere come i momenti cambiano al variare dei parametri.

L'esistenza dei momenti garantisce che è possibile calcolare le medie delle potenze della variabile casuale.

Il metodo dei momenti è un metodo intuitivo e relativamente facile da implementare. Tuttavia, può portare a stimatori distorti in alcuni casi.

La media campionaria è una variabile casuale (v.c.) che si ottiene calcolando la media aritmetica delle osservazioni campionarie.

La media campionaria è uno stimatore corretto per la media della popolazione µ.

La media campionaria è uno stimatore consistente per la media della popolazione µ. Ciò significa che, all'aumentare della dimensione del campione, la media campionaria converge sempre più alla media della popolazione.

La varianza della media campionaria è data da σ^2 / n, dove σ^2 è la varianza della popolazione e n è la dimensione del campione.

Se la variabile casuale Y segue una distribuzione normale, allora la media campionaria segue una distribuzione normale con media µ e varianza σ^2/n , dove n è la dimensione del campione.

La media campionaria è lo stimatore efficiente per la media della popolazione se la variabile Y segue una distribuzione normale.

Il teorema del limite centrale afferma che la distribuzione della media campionaria converge ad una distribuzione normale con media µ e varianza σ^2/n, indipendentemente dalla distribuzione della variabile Y.

Utilizzando la media campionaria come stimatore per la media µ, possiamo trovare la stima puntuale di µ, la distribuzione di µ e la distribuzione dell'errore di stima.

La varianza campionaria è uno stimatore corretto e consistente per la varianza della popolazione σ^2.

Se le osservazioni seguono una distribuzione normale, la varianza campionaria segue una distribuzione chi-quadrato con n - 1 gradi di libertà.

La varianza campionaria è spesso utilizzata per stimare la varianza della popolazione quando la media della popolazione è sconosciuta, in quanto µ viene sostituita con la sua stima.

La distribuzione del nostro errore di stima può essere ricavata analiticamente quando la variabile Y segue una distribuzione normale.

Nel caso specifico delle barre di acciaio, la media campionaria fornisce una specifica stima puntuale per µ.