Statistica e Probabilità

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Questions and Answers

La distribuzione della vita di un certo tipo di lampadina è normale con media pari a 1.000 ore e deviazione standard pari a 100 ore. Il 49° centile della distribuzione della vita della lampadina è:

  • Nessuna delle precedenti.
  • 230;
  • 1.440;
  • 520;
  • 1.044; (correct)

Una distribuzione normale ha media 10 e varianza 100. Qual è il numero tale che il 10% delle osservazioni giace al di sotto di esso?

  • 3,59; (correct)
  • 0,1;
  • Nessuno dei precedenti.
  • 11,59;
  • 5,193;

Una funzione di probabilità è una regola che:

  • individua il valore medio di una variabile casuale;
  • assegna le probabilità ai diversi valori della X; (correct)
  • Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.
  • indica la variabilità dei risultati dell'esperimento.

Un giocatore deve scegliere tra il gioco A e il gioco B. Con il gioco A potrà vincere 100 euro con probabilità 0,03 pagando 5 euro di posta; con il gioco B potrà vincere 200 euro con probabilità 0,02 pagando la stessa posta. Qual è il gioco più conveniente:

<p>B; (B)</p> Signup and view all the answers

Si consideri la funzione di probabilità binomiale $f(x)= \binom{n}{x} p^x(1-p)^{n-x}, x=0,1,K,n.$

<p>la probabilità di x successi in n prove. (D)</p> Signup and view all the answers

Nell'ambito di un problema inferenza:

<p>Lo spazio dei parametri è un sottoinsieme dello spazio campionario; (D), La media campionaria può essere un parametro di interesse; (E)</p> Signup and view all the answers

La media campionaria:

<p>Ha valore atteso pari alla media della popolazione divisa per n; (A), Se la popolazione è normale, ha distribuzione normale con varianza pari alla varianza della popolazione divisa per n; (C)</p> Signup and view all the answers

La varianza campionaria:

<p>Può essere uguale a 0; (B)</p> Signup and view all the answers

La distribuzione t-Student:

<p>E' approssimabile con una normale standardizzata se il numero di gradi di libertà è elevato; (A), Ha media sempre positiva. (D)</p> Signup and view all the answers

Dato uno stimatore T di un certo parametro tale che $E(T)=5$ e $V(T)=10$, e supponendo che il valore del parametro sia 4, il valore dell'errore quadratico medio (EQM) è

<p>11 (E)</p> Signup and view all the answers

Dati due stimatori $T_1$ e $T_2$ di uno stesso parametro:

<p>Se entrambi sono non distorti, il confronto tra i due stimatori in termini di efficienza può essere effettuato solo sulla base della varianza. (B)</p> Signup and view all the answers

Uno stimatore non distorto di un parametro di interesse:

<p>Può essere consistente in media quadratica ma non consistente in senso semplice (B)</p> Signup and view all the answers

In generale, l'ampiezza di un intervallo di confidenza per la media:

<p>Diminuisce al diminuire del coefficiente di fiducia; (B)</p> Signup and view all the answers

Un intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normale:

<p>Ha ampiezza che diminuisce all'aumentare della dimensione del campione (C), Si ottiene come $(\chi^2_{1-\alpha/2}, \chi^2_{\alpha/2})$ (D)</p> Signup and view all the answers

Si commette un errore di prima specie quando:

<p>Si rifiuta l'ipotesi nulla $H_0$ quando invece è vera (A)</p> Signup and view all the answers

Il livello di significatività di un test statistico:

<p>Corrisponde al livello massimo ammesso della probabilità dell'errore di I tipo (B)</p> Signup and view all the answers

Un test statistico:

<p>A parità di livello di significatività, ha potenza che cresce al crescere della dimensione campionaria (A)</p> Signup and view all the answers

Si voglia sottoporre a verifica l'ipotesi $H_0 : \mu = \mu_0$, contro l'alternativa $H_1 : \mu \neq \mu_0$, usando un livello di significatività $\alpha = 0,05$. La zona di rifiuto per il test $Z = (\bar{X} - \mu_0)/(S/\sqrt{n})$ è:

<p>Z &lt; -1,96 o Z &gt; 1,96 (D)</p> Signup and view all the answers

Per una verifica dell'ipotesi $H_0 : \mu = \mu_0$ contro $H_1 : \mu \neq \mu_0$, il livello di significatività osservato viene calcolato come (si pone $z=(\bar{x}-\mu_0)/\sigma/\sqrt{n})$:

<p>$2[1–\Phi([z])]$ (B)</p> Signup and view all the answers

Se il livello di significatività osservato del test statistico è maggiore di 0,25, allora:

<p>Non si rifiuta $H_0$ (B)</p> Signup and view all the answers

Si supponga di voler verificare l'ipotesi di indipendenza sulla base di una tabella di contingenza di dimensione 6x3 la cui frequenza totale è n=250. Il valore soglia per la statistica test ha distribuzione approssimativamente:

<p>Chi-quadrato con 10 gradi di libertà (C)</p> Signup and view all the answers

Per trovare l'intervallo fiduciario per la media di una popolazione normale, si usa la t di Student, anziché la normale standardizzata perché:

<p>La varianza della popolazione non è nota (C)</p> Signup and view all the answers

La “casualità” del campione dipende:

<p>Dal metodo di selezione (A)</p> Signup and view all the answers

Si commette un errore di primo prima specie quando:

<p>Si rifiuta l'ipotesi nulla $H_0$ quando invece è vera (B)</p> Signup and view all the answers

Supponendo che $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ e che il livello di significatività osservato $\alpha_{oss}$ sia compreso tra 0,01 < $\alpha_{oss}$ < 0,05, quale delle seguenti conclusioni possono essere tratte?

<p>Non si rifiuta l'ipotesi nulla, perché $\alpha_{oss}$ è piccolo (A)</p> Signup and view all the answers

La ragione per cui si rifiuta un'ipotesi nulla è:

<p>Solitamente si ottengono risultati significativi quando l'ipotesi nulla è falsa (D)</p> Signup and view all the answers

Quale/i delle seguenti assunzioni sono necessarie per sottoporre a verifica l'ipotesi sulla media di una popolazione con varianza nota e pari a $\sigma^2$ usando il test Z e le tavole della normale standard: a) Il campione deve essere casuale; b) La popolazione deve avere una distribuzione normale; c) La numerosità campionaria deve essere elevata.

<p>a,b e c (E)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Distribuzione normale

Tipologia di distribuzione statistica con media e deviazione standard.

Centile

Valore sotto il quale si trova una percentuale di dati.

Funzione di probabilità

Regola che associa probabilità a diversi valori di una variabile casuale.

Gioco conveniente

Scelta tra opzioni basata su probabilità e guadagni attesi.

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Probabilità di successo (p)

Probabilità di ottenere un esito specifico in prove multiple.

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Study Notes

Distribuzione della Vita di una Lampadina

  • Una distribuzione di vita di lampadine è normale con media di 1.000 ore e deviazione standard di 100 ore.
  • Il 49° centile della distribuzione della vita è 1.044 ore.

Distribuzione Normale con Media 10 e Varianza 100

  • Il 10% delle osservazioni giace al di sotto del valore 11,59.

Funzione di Probabilità

  • Una funzione di probabilità assegna probabilità a diversi valori della variabile casuale X.
  • Indica la variabilità dei risultati di un esperimento.

Gioco A e Gioco B

  • Il Gioco A offre la possibilità di vincere 100 euro con probabilità 0,03 pagando 5 euro di posta.
  • Il Gioco B offre la possibilità di vincere 200 euro con probabilità 0,02 pagando 5 euro di posta.

Variabili Casuali

  • Le variabili casuali possono avere un numero infinito di valori discreti.
  • La media di una variabile casuale indica il valore atteso o il valore medio.

Inferenza Statistica

  • Il parametro è un valore che descrive la popolazione.
  • La media campionaria può fungere da parametro di interesse.

Stima Puntuale o per Intervallo

  • Metodi di inferenza possono produrre stime puntuali o per intervallo di un parametro di interesse.

Media Campionaria

  • Il valore atteso della media campionaria è uguale alla media della popolazione divisa per n.
  • Se la popolazione è normale, la media campionaria ha una distribuzione normale con varianza della popolazione divisa per n.

Varianza Campionaria

  • La varianza campionaria è sempre maggiore o uguale a zero.

Distribuzione T-Student

  • La distribuzione t-Student è asimmetrica positivamente.
  • E' approssimativamente normale quando i gradi di libertà sono elevati.

Errore di Prima Specie

  • Si verifica quando si rifiuta l'ipotesi nulla (Ho) mentre essa è vera.

Errore Quadratico Medio (EQM)

  • L'EQM di uno stimatore confronta la sua varianza alla sua distorsione.

Test Statistico

  • Un test statistico utilizza campioni per dedurre conclusioni su popolazioni.
  • Il livello di significatività influenza la zona di rifiuto del test.

Confidenza

  • L'ampiezza di un intervallo di confidenza aumenta all'aumentare della dimensione del campione.
  • L'ampiezza di un intervallo diminuisce all'aumentare del coefficiente di fiducia.

Intervalli di Confidenza per la Varianza

  • Gli intervalli di confidenza per la varianza richiedono un solo quantile della distribuzione chi-quadrato.
  • Si ottiene come intervallo di confidenza per la varianza il quale corrisponde a due valori della distribuzione chi-quadrato.

Test di Indipendenza

  • Test di indipendenza nella tabella di contingenza con una frequenza totale.
  • La statistica del test ha una distribuzione approssimata chi-quadrata con un dato numero di gradi di libertà.

Intervalli Fiduciali

  • Per trovare un intervallo fiduciario per la media di una popolazione normale, si usa la t di Student perché la media della popolazione non è nota.

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