Statistica: Campioni e Verifica di Ipotesi

Se la varianza della popolazione è ignota e la dimensione del campione è fissata, la lunghezza dell'intervallo di confidenza per la media si distribuisce come una t-student con n-1 gradi di libertà.

Estraendo diversi campioni, l'intervallo di confidenza varia sempre negli estremi.

Maggiore è la varianza della popolazione, maggiore è la lunghezza dell'intervallo di confidenza per la media (a parità di n e 1-α).

La lunghezza di un intervallo per una proporzione dipende dal risultato campionario.

Nella verifica di ipotesi per piccoli campioni deve essere nota la distribuzione di probabilità della popolazione.

L'unione tra il sottospazio parametrico riferito all'ipotesi nulla e quello riferito all'ipotesi alternativa costituisce l'intero spazio parametrico.

Un'ipotesi composta identifica univocamente una distribuzione.

In corrispondenza di un'ipotesi alternativa composta si potranno avere sia test unidirezionali sia test bidirezionali.

La regione di accettazione del test definisce un sottospazio campionario per il quale non si rifiuta l'ipotesi nulla.

Se l'intervallo di confidenza per la media a livello 1-α=0,9 fosse [37; 47], potremmo accettare l'ipotesi nulla H0: μ=40 contro H1 μ!=40 a un livello di significatività α=0,1

Il rapporto delle massime verosimiglianze può assumere qualsiasi valore tra +inf e -inf

Al crescere della numerosità campionaria la distribuzione della statistica -2 log λ(x) tende a quella del Chi-quadrato

L'ipotesi nulla è quella che viene sottoposta a verifica e può essere accettata o rifiutata

In un test corretto β (beta) è maggiore o uguale ad α

La decisione se utilizzare un test unidirezionale o bidirezionale viene presa dopo aver osservato i dati

Il valore osservato della statistica test T per verificare l'ipotesi nulla H0: μ=0 contro H1 μ!=0 (sotto l'ipotesi di normalità con varianza non nota) è t=1,8. Il p-value è allora la probabilità che sia T=1,8

Per verificare un'ipotesi riguardante la media di una popolazione è sempre necessario assumere la normalità della popolazione

L'ipotesi di omoschedasticitá tra due popolazioni sottintende che queste abbiano lo stesso valore della varianza

La statistica test (X-μ0)/(S/rad(n)) per verificare l'ipotesi H0 μ=0 contro H1 μ!=0 (sotto l'ipotesi di normalità con varianza non nota) si distribuisce sotto H0 come una t-Student con n gradi di libertà

Sotto H0, la statistica del test χ2 si distribuisce asintoticamente come un Chi-Quadrato.

In un test bidirezionale, i valori critici individuati per le distribuzioni Chi-Quadrato e F-Fisher sono simmetrici rispetto all'origine.

La distribuzione a priori descrive le aspettative soggettive del ricercatore rispetto alla probabilità dei possibili valori del parametro.

La distribuzione a priori è non-informativa solo se assegna a tutti i valori del parametro la stessa probabilità.

Una classe di distribuzioni si dice coniugata a una certa popolazione se la funzione di verosimiglianza appartiene alla stessa classe.

La media della distribuzione a posteriori rappresenta una buona stima del parametro incognito.

Dati due campioni indipendenti di numerosità n1 e n2, la statistica test per il confronto tra le varianze delle popolazioni da cui i campioni sono stati estratti è distribuita come una F-Fisher con n1 e n2 gradi di libertà, sotto H0.

Se la distribuzione della popolazione non è Normale, non è mai possibile applicare un test per verificare un'ipotesi circa la media della popolazione.

Nella verifica d'ipotesi riguardante una proporzione della popolazione, l'approssimazione della statistica test alla normale migliora al crescere della numerosità campionaria.

Gli stimatori puntuali Bayesiani e frequentisti forniscono la stessa stima se la popolazione è Normale.

Se la varianza degli errori é piccola, la variabilità di B1 é alta.

La varianza di B1 é inversamente proporzionale alla varianza della variabile indipendente X.

Se la retta di regressione passa per l'origine, allora B0 (intercetta) é uguale a 0.

L'assunzione di normalità degli errori permette di validare l'ipotesi nulla del test t per B1.

Se il coefficiente di determinazione R^2 é uguale a 1, allora la variabile indipendente X spiega completamente la variabile dipendente Y.

Se rifiutiamo l'ipotesi nulla nel test t per B1, allora possiamo concludere che esiste una relazione lineare tra le due variabili.

L'influenza della distribuzione a priori diminuisce all'aumentare della dimensione del campione.

Il calcolo degli intervalli di credibilità richiede in genere una procedura analitica.

Se la popolazione è una Binomiale e la distribuzione a priori è una Beta, la distribuzione a posteriori sarà una Beta.

Nell'approccio Bayesiano, il test viene condotto confrontando la probabilità a posteriori sotto le due ipotesi.

La distribuzione a posteriori contiene tutta l'informazione a nostra disposizione sul parametro di interesse.

Si dicono iperparametri i parametri presenti nella distribuzione a priori.

La classe di distribuzioni Gamma è coniugata a una popolazione Normale.

Una distribuzione a priori con bassa variabilità ha poca influenza sulla distribuzione a posteriori.

Il fattore di Bayes è dato dal rapporto tra le probabilità a priori sotto le due ipotesi.

La distribuzione predittiva indica la probabilità dei valori assumibili dal parametro data una nuova osservazione campionaria.

Gli intervalli HPD sono intervalli di credibilità a cui corrisponde la più alta densità a posteriori.

L'equazione Y = 2 + 0,5 * log(X) rappresenta una relazione lineare tra i due caratteri X e Y.

Tra il peso e l'altezza degli individui esiste una relazione funzionale.

Il modello di regressione lineare assume che al variare del valore della variabile esplicativa, la varianza dell'errore rimanga costante.

Il metodo dei minimi quadrati minimizza la somma dei quadrati degli errori.

Il coefficiente di determinazione indica la proporzione della variabilità totale dovuta all'errore.

Un coefficiente di determinazione pari a 0,88 indica un buon adattamento della retta di regressione ai dati campionari.

Più è piccolo il valore del coefficiente di correlazione lineare e migliore è l'adattamento della retta ai dati.