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Questions and Answers
Quand une équation admet deux racines distinctes, qu'est-ce qui peut être dit sur la matrice A?
Quand une équation admet deux racines distinctes, qu'est-ce qui peut être dit sur la matrice A?
- A n'a pas de racines.
- A est diagonalisable. (correct)
- A a une racine double.
- A est seulement trigonalisable.
Quelle est la définition d'un endomorphisme trigonalisable?
Quelle est la définition d'un endomorphisme trigonalisable?
- Il existe une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure. (correct)
- Il existe une base dans laquelle la matrice est diagonale.
- Il existe une base orthogonale dans laquelle la matrice est diagonale.
- Il existe une base dans laquelle la matrice est triangulaire inférieure.
Comment se caractérise un endomorphisme trigonalisable en dimension finie?
Comment se caractérise un endomorphisme trigonalisable en dimension finie?
- Il a une matrice diagonale dans toutes les bases.
- Il n'a pas de racines.
- Son polynôme caractéristique a une racine double.
- Son polynôme caractéristique est scindé sur K. (correct)
Quelles conditions doivent être remplies pour qu'un endomorphisme soit considéré comme diagonalisable?
Quelles conditions doivent être remplies pour qu'un endomorphisme soit considéré comme diagonalisable?
Dans un K-espace vectoriel de dimension n, si un endomorphisme u possède un polynôme caractéristique scindé, quelle conclusion peut-on tirer si dim(Eα(u)) = n + 1?
Dans un K-espace vectoriel de dimension n, si un endomorphisme u possède un polynôme caractéristique scindé, quelle conclusion peut-on tirer si dim(Eα(u)) = n + 1?
Que peut-on dire sur les termes du calcul de An lorsque l'équation admet une racine double?
Que peut-on dire sur les termes du calcul de An lorsque l'équation admet une racine double?
Quelle est la condition pour qu'une matrice carrée A soit trigonalisable?
Quelle est la condition pour qu'une matrice carrée A soit trigonalisable?
Quelle est la relation entre les sous-espaces propres et la diagonalisation de l'endomorphisme u?
Quelle est la relation entre les sous-espaces propres et la diagonalisation de l'endomorphisme u?
Quel est l'élément caractéristique d'un endomorphisme diagonalisable ?
Quel est l'élément caractéristique d'un endomorphisme diagonalisable ?
Qu'est-ce qu'une matrice carrée diagonalisable ?
Qu'est-ce qu'une matrice carrée diagonalisable ?
Si un endomorphisme est diagonalisable, quelles peuvent être ses caractéristiques dans un espace vectoriel ?
Si un endomorphisme est diagonalisable, quelles peuvent être ses caractéristiques dans un espace vectoriel ?
Quel énoncé est vrai concernant la somme directe des sous-espaces propres d'un endomorphisme ?
Quel énoncé est vrai concernant la somme directe des sous-espaces propres d'un endomorphisme ?
Quelle chaine d'implications est correcte concernant les endomorphismes diagonalisables ?
Quelle chaine d'implications est correcte concernant les endomorphismes diagonalisables ?
Dans quelle condition une matrice représentative d'un endomorphisme est-elle diagonalisable ?
Dans quelle condition une matrice représentative d'un endomorphisme est-elle diagonalisable ?
Qu'est-ce qu'un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée ?
Qu'est-ce qu'un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée ?
Lorsqu'un endomorphisme est représenté par une matrice a dans une base formée de vecteurs propres, quelle est sa forme générale ?
Lorsqu'un endomorphisme est représenté par une matrice a dans une base formée de vecteurs propres, quelle est sa forme générale ?
Comment se définit le polynôme annulateur P d'un endomorphisme u dans un espace vectoriel E ?
Comment se définit le polynôme annulateur P d'un endomorphisme u dans un espace vectoriel E ?
Quel est le résultat de la transformation d'une matrice diagonalisable par un changement de base ?
Quel est le résultat de la transformation d'une matrice diagonalisable par un changement de base ?
Si P = λ.∏ ( X − α ), que représente le terme λ dans cette expression ?
Si P = λ.∏ ( X − α ), que représente le terme λ dans cette expression ?
Si E est de dimension n, comment la famille (idE, u, …, un²) se caractérise-t-elle ?
Si E est de dimension n, comment la famille (idE, u, …, un²) se caractérise-t-elle ?
Quel est le lien entre le polynôme annulateur P de A et celui de u si A représente u dans une base B de E ?
Quel est le lien entre le polynôme annulateur P de A et celui de u si A représente u dans une base B de E ?
Dans le contexte de l'énoncé, si P est un polynôme annulateur, quel résultat peut-on conclure à propos d'u ?
Dans le contexte de l'énoncé, si P est un polynôme annulateur, quel résultat peut-on conclure à propos d'u ?
Quel est l'effet d'un polynôme annulateur sur un endomorphisme u ?
Quel est l'effet d'un polynôme annulateur sur un endomorphisme u ?
Quel rôle joue le terme '∃ (a0, a1, …, an²) ∈ Kn²' dans la démonstration théorique ?
Quel rôle joue le terme '∃ (a0, a1, …, an²) ∈ Kn²' dans la démonstration théorique ?
Quelle est la condition nécessaire pour qu'un sous-espace vectoriel F soit stable par un endomorphisme u ?
Quelle est la condition nécessaire pour qu'un sous-espace vectoriel F soit stable par un endomorphisme u ?
Qu'implique le fait que la matrice de u dans une base adaptée à F ait la forme annoncée ?
Qu'implique le fait que la matrice de u dans une base adaptée à F ait la forme annoncée ?
Dans le théorème 6.4, que représente E1, E2, ..., Ep ?
Dans le théorème 6.4, que représente E1, E2, ..., Ep ?
Quel est le résultat concernant le déterminant de l'endomorphisme u dans le cadre du théorème 6.4 ?
Quel est le résultat concernant le déterminant de l'endomorphisme u dans le cadre du théorème 6.4 ?
Que peut-on déduire si F est stable par u ?
Que peut-on déduire si F est stable par u ?
Quel type de base est utilisé dans la démonstration de la stabilité par u ?
Quel type de base est utilisé dans la démonstration de la stabilité par u ?
Pourquoi est-il important que la matrice de u ait une forme précise selon le théorème 6.3 ?
Pourquoi est-il important que la matrice de u ait une forme précise selon le théorème 6.3 ?
Dans quel cas la matrice de u peut-elle avoir des blocs nuls lors de sa représentation matrice ?
Dans quel cas la matrice de u peut-elle avoir des blocs nuls lors de sa représentation matrice ?
Quel est le résultat concernant le déterminant de la matrice de l'endomorphisme u dans la base B?
Quel est le résultat concernant le déterminant de la matrice de l'endomorphisme u dans la base B?
Dans quelles conditions la matrice de u dans la base B est-elle triangulaire supérieure?
Dans quelles conditions la matrice de u dans la base B est-elle triangulaire supérieure?
Quelle est la caractérisation des polynômes d'un endomorphisme?
Quelle est la caractérisation des polynômes d'un endomorphisme?
Qu'est-ce qui est vrai pour les sous-espaces Im(P(u)) et ker(P(u))?
Qu'est-ce qui est vrai pour les sous-espaces Im(P(u)) et ker(P(u))?
Que signifie la stabilité d'un sous-espace vectoriel par un endomorphisme?
Que signifie la stabilité d'un sous-espace vectoriel par un endomorphisme?
Quel est le lien entre les matrices diagonales et les sous-espaces stables?
Quel est le lien entre les matrices diagonales et les sous-espaces stables?
Dans la démonstration de la relation entre u et la matrice triangulaire supérieure, quelle affirmation est correcte?
Dans la démonstration de la relation entre u et la matrice triangulaire supérieure, quelle affirmation est correcte?
Quelle condition doit-être vérifiée pour garantir que u stabilise un sous-espace vectoriel?
Quelle condition doit-être vérifiée pour garantir que u stabilise un sous-espace vectoriel?
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Study Notes
Traduction matricielle de la stabilité d’un sous-espace vectoriel
- Un sous-espace vectoriel F est stable par un endomorphisme u si et seulement si dans une base adaptée à F, la matrice de u prend une forme particulière.
- La matrice de u dans cette base B0, composée de BF (une base de F) et B’ (une base du supplémentaire de F), sera de la forme:
- mat(u,B0) =
A B 0 Coù A est la matrice de la restriction de u à F dans la base BF et C est la matrice de u sur le supplémentaire de F dans la base B’.
Généralisation du théorème de stabilité
- Si E est la somme directe de sous-espaces vectoriels E1, E2, ..., Ep et si chaque Ei est stable par u,
- la matrice de u dans une base adaptée à cette décomposition sera diagonale par blocs,
- chaque bloc étant la matrice de la restriction de u à Ei dans une base de Ei.
- Le déterminant de u est alors le produit des déterminants des endomorphismes induits par u dans les sous-espaces Ei.
Endomorphismes diagonalisables
- Un endomorphisme u est diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
- Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.
- Pour un endomorphisme u, plusieurs conditions équivalentes caractérisent sa diagonalisation:
- il existe une base de E formée de vecteurs propres de u,
- E est la somme directe des sous-espaces propres de u,
- la matrice représentative de u dans une base B’ quelconque de E est diagonalisable.
Endomorphismes trigonalisables
- Un endomorphisme u est trigonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.
- Une matrice carrée est trigonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
- Un endomorphisme u est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K.
Caractérisation des matrices triangulaires supérieures
- Un endomorphisme u stabilise tous les sous-espaces vectoriels de la forme Vect(e1, ..., ek) où e1, ..., ek sont les premiers vecteurs d’une base B de E si et seulement si la matrice de u dans B est triangulaire supérieure.
Polynômes d’un endomorphisme
- Si P est un polynôme, P(u) est l’endomorphisme obtenu en remplaçant X par u dans P.
- Si A est la matrice représentative de u dans une base B de E, alors P(A) est la matrice représentative de P(u) dans cette base B.
- L’image et le noyau de P(u) sont stables par u.
Polynômes annulateurs
- Un polynôme P est annulateur d’un endomorphisme u si P(u) = 0.
- Tout endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul.
- Les valeurs propres de u sont les racines du polynôme annulateur de u.
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