Stabilité d'un sous-espace vectoriel
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Questions and Answers

Quand une équation admet deux racines distinctes, qu'est-ce qui peut être dit sur la matrice A?

  • A n'a pas de racines.
  • A est diagonalisable. (correct)
  • A a une racine double.
  • A est seulement trigonalisable.

    • Quelle est la définition d'un endomorphisme trigonalisable?

  • Il existe une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure. (correct)
  • Il existe une base dans laquelle la matrice est diagonale.
  • Il existe une base orthogonale dans laquelle la matrice est diagonale.
  • Il existe une base dans laquelle la matrice est triangulaire inférieure.

    • Comment se caractérise un endomorphisme trigonalisable en dimension finie?

  • Il a une matrice diagonale dans toutes les bases.
  • Il n'a pas de racines.
  • Son polynôme caractéristique a une racine double.
  • Son polynôme caractéristique est scindé sur K. (correct)

    • Quelles conditions doivent être remplies pour qu'un endomorphisme soit considéré comme diagonalisable?

    <p>Avoir n racines distinctes.</p> Signup and view all the answers

    Dans un K-espace vectoriel de dimension n, si un endomorphisme u possède un polynôme caractéristique scindé, quelle conclusion peut-on tirer si dim(Eα(u)) = n + 1?

    <p>u est identiquement égal à α.idE.</p> Signup and view all the answers

    Que peut-on dire sur les termes du calcul de An lorsque l'équation admet une racine double?

    <p>Ils incluent des termes en $rn$ et $n.rn-1$.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la condition pour qu'une matrice carrée A soit trigonalisable?

    <p>Elle doit être semblable à une matrice triangulaire supérieure.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la relation entre les sous-espaces propres et la diagonalisation de l'endomorphisme u?

    <p>Tous les sous-espaces propres doivent se combiner pour former E.</p> Signup and view all the answers

    Quel est l'élément caractéristique d'un endomorphisme diagonalisable ?

    <p>Il existe une base de l'espace vectoriel dans laquelle la matrice de l'endomorphisme est diagonale.</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qu'une matrice carrée diagonalisable ?

    <p>Une matrice qui peut être transformée en une matrice diagonale par un changement de base.</p> Signup and view all the answers

    Si un endomorphisme est diagonalisable, quelles peuvent être ses caractéristiques dans un espace vectoriel ?

    <p>Les vecteurs propres forment une base de l'espace.</p> Signup and view all the answers

    Quel énoncé est vrai concernant la somme directe des sous-espaces propres d'un endomorphisme ?

    <p>Elle est toujours égale à l'espace vectoriel original.</p> Signup and view all the answers

    Quelle chaine d'implications est correcte concernant les endomorphismes diagonalisables ?

    <p>Diagonalisable ⇒ Base formée de vecteurs propres ⇒ Matrice diagonale.</p> Signup and view all the answers

    Dans quelle condition une matrice représentative d'un endomorphisme est-elle diagonalisable ?

    <p>Elle doit être semblable à une matrice diagonale.</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qu'un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée ?

    <p>Un polynôme pour lequel l'application du polynôme sur l'endomorphisme donne zéro.</p> Signup and view all the answers

    Lorsqu'un endomorphisme est représenté par une matrice a dans une base formée de vecteurs propres, quelle est sa forme générale ?

    <p>Une matrice avec des valeurs propres sur la diagonale.</p> Signup and view all the answers

    Comment se définit le polynôme annulateur P d'un endomorphisme u dans un espace vectoriel E ?

    <p>P(u) = 0.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le résultat de la transformation d'une matrice diagonalisable par un changement de base ?

    <p>Elle reste diagonale.</p> Signup and view all the answers

    Si P = λ.∏ ( X − α ), que représente le terme λ dans cette expression ?

    <p>Un coefficient scalaire.</p> Signup and view all the answers

    Si E est de dimension n, comment la famille (idE, u, …, un²) se caractérise-t-elle ?

    <p>Elle est liée dans L(E).</p> Signup and view all the answers

    Quel est le lien entre le polynôme annulateur P de A et celui de u si A représente u dans une base B de E ?

    <p>P pour A est une représentation de P(u) dans B.</p> Signup and view all the answers

    Dans le contexte de l'énoncé, si P est un polynôme annulateur, quel résultat peut-on conclure à propos d'u ?

    <p>Tout endomorphisme d'un espace de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul.</p> Signup and view all the answers

    Quel est l'effet d'un polynôme annulateur sur un endomorphisme u ?

    <p>Il annule l'action de u.</p> Signup and view all the answers

    Quel rôle joue le terme '∃ (a0, a1, …, an²) ∈ Kn²' dans la démonstration théorique ?

    <p>Il prouve l'existence d'un polynôme non nul annulateur.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la condition nécessaire pour qu'un sous-espace vectoriel F soit stable par un endomorphisme u ?

    <p>Pour toute base B0 adaptée à F, la matrice mat(u,B0) doit avoir une certaine forme.</p> Signup and view all the answers

    Qu'implique le fait que la matrice de u dans une base adaptée à F ait la forme annoncée ?

    <p>Chaque vecteur de F est une combinaison linéaire de vecteurs de BF.</p> Signup and view all the answers

    Dans le théorème 6.4, que représente E1, E2, ..., Ep ?

    <p>Les sous-espaces vectoriels stables par u.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le résultat concernant le déterminant de l'endomorphisme u dans le cadre du théorème 6.4 ?

    <p>Le déterminant de u est le produit des déterminants des endomorphismes induits sur les Ei.</p> Signup and view all the answers

    Que peut-on déduire si F est stable par u ?

    <p>Les images des vecteurs de F par u restent dans F.</p> Signup and view all the answers

    Quel type de base est utilisé dans la démonstration de la stabilité par u ?

    <p>Une base adaptée, composée de BF et B'.</p> Signup and view all the answers

    Pourquoi est-il important que la matrice de u ait une forme précise selon le théorème 6.3 ?

    <p>Pour garantir que toute image par u s'exprime comme combinaison des vecteurs de BF.</p> Signup and view all the answers

    Dans quel cas la matrice de u peut-elle avoir des blocs nuls lors de sa représentation matrice ?

    <p>Lorsque u ne modifie pas certains sous-espaces E.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le résultat concernant le déterminant de la matrice de l'endomorphisme u dans la base B?

    <p>Il est égal au produit des déterminants des matrices diagonales.</p> Signup and view all the answers

    Dans quelles conditions la matrice de u dans la base B est-elle triangulaire supérieure?

    <p>Si u stabilise chaque sous-espace vectoriel Vect(e1, …, ek).</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la caractérisation des polynômes d'un endomorphisme?

    <p>La matrice représentative de P(u) est P(A) dans la même base B.</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qui est vrai pour les sous-espaces Im(P(u)) et ker(P(u))?

    <p>Ils sont stables par l'endomorphisme u.</p> Signup and view all the answers

    Que signifie la stabilité d'un sous-espace vectoriel par un endomorphisme?

    <p>L'application de l'endomorphisme sur ce sous-espace reste à l'intérieur de celui-ci.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le lien entre les matrices diagonales et les sous-espaces stables?

    <p>Les matrices diagonales entraînent des transformations sur des sous-espaces stables.</p> Signup and view all the answers

    Dans la démonstration de la relation entre u et la matrice triangulaire supérieure, quelle affirmation est correcte?

    <p>Si u(ek) est dans Vect(e1, …, ek), alors la matrice est triangulaire supérieure.</p> Signup and view all the answers

    Quelle condition doit-être vérifiée pour garantir que u stabilise un sous-espace vectoriel?

    <p>u appliqué à un vecteur du sous-espace doit rester dans ce sous-espace.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Traduction matricielle de la stabilité d’un sous-espace vectoriel

    • Un sous-espace vectoriel F est stable par un endomorphisme u si et seulement si dans une base adaptée à F, la matrice de u prend une forme particulière.
    • La matrice de u dans cette base B0, composée de BF (une base de F) et B’ (une base du supplémentaire de F), sera de la forme:
    • mat(u,B0) =  A B    0 C où A est la matrice de la restriction de u à F dans la base BF et C est la matrice de u sur le supplémentaire de F dans la base B’.

    Généralisation du théorème de stabilité

    • Si E est la somme directe de sous-espaces vectoriels E1, E2, ..., Ep et si chaque Ei est stable par u,
    • la matrice de u dans une base adaptée à cette décomposition sera diagonale par blocs,
    • chaque bloc étant la matrice de la restriction de u à Ei dans une base de Ei.
    • Le déterminant de u est alors le produit des déterminants des endomorphismes induits par u dans les sous-espaces Ei.

    Endomorphismes diagonalisables

    • Un endomorphisme u est diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
    • Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.
    • Pour un endomorphisme u, plusieurs conditions équivalentes caractérisent sa diagonalisation:
    • il existe une base de E formée de vecteurs propres de u,
    • E est la somme directe des sous-espaces propres de u,
    • la matrice représentative de u dans une base B’ quelconque de E est diagonalisable.

    Endomorphismes trigonalisables

    • Un endomorphisme u est trigonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.
    • Une matrice carrée est trigonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
    • Un endomorphisme u est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K.

    Caractérisation des matrices triangulaires supérieures

    • Un endomorphisme u stabilise tous les sous-espaces vectoriels de la forme Vect(e1, ..., ek) où e1, ..., ek sont les premiers vecteurs d’une base B de E si et seulement si la matrice de u dans B est triangulaire supérieure.

    Polynômes d’un endomorphisme

    • Si P est un polynôme, P(u) est l’endomorphisme obtenu en remplaçant X par u dans P.
    • Si A est la matrice représentative de u dans une base B de E, alors P(A) est la matrice représentative de P(u) dans cette base B.
    • L’image et le noyau de P(u) sont stables par u.

    Polynômes annulateurs

    • Un polynôme P est annulateur d’un endomorphisme u si P(u) = 0.
    • Tout endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul.
    • Les valeurs propres de u sont les racines du polynôme annulateur de u.

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    Description

    Ce quiz explore les concepts de la stabilité des sous-espaces vectoriels par rapport à un endomorphisme. Il aborde les matrices associées dans des bases spécifiques et la généralisation du théorème de stabilité. Testez vos connaissances sur la forme des matrices et les conditions de stabilité.

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