Stabilité d'un sous-espace vectoriel

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Quand une équation admet deux racines distinctes, qu'est-ce qui peut être dit sur la matrice A?

A n'a pas de racines.

A est diagonalisable. (correct)

A a une racine double.

A est seulement trigonalisable.

Quelle est la définition d'un endomorphisme trigonalisable?

Il existe une base dans laquelle la matrice est triangulaire supérieure. (correct)

Il existe une base dans laquelle la matrice est diagonale.

Il existe une base orthogonale dans laquelle la matrice est diagonale.

Il existe une base dans laquelle la matrice est triangulaire inférieure.

Comment se caractérise un endomorphisme trigonalisable en dimension finie?

Il a une matrice diagonale dans toutes les bases.

Il n'a pas de racines.

Son polynôme caractéristique a une racine double.

Son polynôme caractéristique est scindé sur K. (correct)

Quelles conditions doivent être remplies pour qu'un endomorphisme soit considéré comme diagonalisable?

Avoir n racines distinctes. Signup and view all the answers

Dans un K-espace vectoriel de dimension n, si un endomorphisme u possède un polynôme caractéristique scindé, quelle conclusion peut-on tirer si dim(Eα(u)) = n + 1?

u est identiquement égal à α.idE. Signup and view all the answers

Que peut-on dire sur les termes du calcul de An lorsque l'équation admet une racine double?

Ils incluent des termes en $rn$ et $n.rn-1$. Signup and view all the answers

Quelle est la condition pour qu'une matrice carrée A soit trigonalisable?

Elle doit être semblable à une matrice triangulaire supérieure. Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre les sous-espaces propres et la diagonalisation de l'endomorphisme u?

Tous les sous-espaces propres doivent se combiner pour former E. Signup and view all the answers

Quel est l'élément caractéristique d'un endomorphisme diagonalisable ?

Il existe une base de l'espace vectoriel dans laquelle la matrice de l'endomorphisme est diagonale. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une matrice carrée diagonalisable ?

Une matrice qui peut être transformée en une matrice diagonale par un changement de base. Signup and view all the answers

Si un endomorphisme est diagonalisable, quelles peuvent être ses caractéristiques dans un espace vectoriel ?

Les vecteurs propres forment une base de l'espace. Signup and view all the answers

Quel énoncé est vrai concernant la somme directe des sous-espaces propres d'un endomorphisme ?

Elle est toujours égale à l'espace vectoriel original. Signup and view all the answers

Quelle chaine d'implications est correcte concernant les endomorphismes diagonalisables ?

Diagonalisable ⇒ Base formée de vecteurs propres ⇒ Matrice diagonale. Signup and view all the answers

Dans quelle condition une matrice représentative d'un endomorphisme est-elle diagonalisable ?

Elle doit être semblable à une matrice diagonale. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée ?

Un polynôme pour lequel l'application du polynôme sur l'endomorphisme donne zéro. Signup and view all the answers

Lorsqu'un endomorphisme est représenté par une matrice a dans une base formée de vecteurs propres, quelle est sa forme générale ?

Une matrice avec des valeurs propres sur la diagonale. Signup and view all the answers

Comment se définit le polynôme annulateur P d'un endomorphisme u dans un espace vectoriel E ?

P(u) = 0. Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la transformation d'une matrice diagonalisable par un changement de base ?

Elle reste diagonale. Signup and view all the answers

Si P = λ.∏ ( X − α ), que représente le terme λ dans cette expression ?

Un coefficient scalaire. Signup and view all the answers

Si E est de dimension n, comment la famille (idE, u, …, un²) se caractérise-t-elle ?

Elle est liée dans L(E). Signup and view all the answers

Quel est le lien entre le polynôme annulateur P de A et celui de u si A représente u dans une base B de E ?

P pour A est une représentation de P(u) dans B. Signup and view all the answers

Dans le contexte de l'énoncé, si P est un polynôme annulateur, quel résultat peut-on conclure à propos d'u ?

Tout endomorphisme d'un espace de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul. Signup and view all the answers

Quel est l'effet d'un polynôme annulateur sur un endomorphisme u ?

Il annule l'action de u. Signup and view all the answers

Quel rôle joue le terme '∃ (a0, a1, …, an²) ∈ Kn²' dans la démonstration théorique ?

Il prouve l'existence d'un polynôme non nul annulateur. Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour qu'un sous-espace vectoriel F soit stable par un endomorphisme u ?

Pour toute base B0 adaptée à F, la matrice mat(u,B0) doit avoir une certaine forme. Signup and view all the answers

Qu'implique le fait que la matrice de u dans une base adaptée à F ait la forme annoncée ?

Chaque vecteur de F est une combinaison linéaire de vecteurs de BF. Signup and view all the answers

Dans le théorème 6.4, que représente E1, E2, ..., Ep ?

Les sous-espaces vectoriels stables par u. Signup and view all the answers

Quel est le résultat concernant le déterminant de l'endomorphisme u dans le cadre du théorème 6.4 ?

Le déterminant de u est le produit des déterminants des endomorphismes induits sur les Ei. Signup and view all the answers

Que peut-on déduire si F est stable par u ?

Les images des vecteurs de F par u restent dans F. Signup and view all the answers

Quel type de base est utilisé dans la démonstration de la stabilité par u ?

Une base adaptée, composée de BF et B'. Signup and view all the answers

Pourquoi est-il important que la matrice de u ait une forme précise selon le théorème 6.3 ?

Pour garantir que toute image par u s'exprime comme combinaison des vecteurs de BF. Signup and view all the answers

Dans quel cas la matrice de u peut-elle avoir des blocs nuls lors de sa représentation matrice ?

Lorsque u ne modifie pas certains sous-espaces E. Signup and view all the answers

Quel est le résultat concernant le déterminant de la matrice de l'endomorphisme u dans la base B?

Il est égal au produit des déterminants des matrices diagonales. Signup and view all the answers

Dans quelles conditions la matrice de u dans la base B est-elle triangulaire supérieure?

Si u stabilise chaque sous-espace vectoriel Vect(e1, …, ek). Signup and view all the answers

Quelle est la caractérisation des polynômes d'un endomorphisme?

La matrice représentative de P(u) est P(A) dans la même base B. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui est vrai pour les sous-espaces Im(P(u)) et ker(P(u))?

Ils sont stables par l'endomorphisme u. Signup and view all the answers

Que signifie la stabilité d'un sous-espace vectoriel par un endomorphisme?

L'application de l'endomorphisme sur ce sous-espace reste à l'intérieur de celui-ci. Signup and view all the answers

Quel est le lien entre les matrices diagonales et les sous-espaces stables?

Les matrices diagonales entraînent des transformations sur des sous-espaces stables. Signup and view all the answers

Dans la démonstration de la relation entre u et la matrice triangulaire supérieure, quelle affirmation est correcte?

Si u(ek) est dans Vect(e1, …, ek), alors la matrice est triangulaire supérieure. Signup and view all the answers

Quelle condition doit-être vérifiée pour garantir que u stabilise un sous-espace vectoriel?

u appliqué à un vecteur du sous-espace doit rester dans ce sous-espace. Signup and view all the answers

Study Notes

Traduction matricielle de la stabilité d’un sous-espace vectoriel

Un sous-espace vectoriel F est stable par un endomorphisme u si et seulement si dans une base adaptée à F, la matrice de u prend une forme particulière.
La matrice de u dans cette base B0, composée de BF (une base de F) et B’ (une base du supplémentaire de F), sera de la forme:
mat(u,B0) =  A B    0 C où A est la matrice de la restriction de u à F dans la base BF et C est la matrice de u sur le supplémentaire de F dans la base B’.

Généralisation du théorème de stabilité

Si E est la somme directe de sous-espaces vectoriels E1, E2, ..., Ep et si chaque Ei est stable par u,
la matrice de u dans une base adaptée à cette décomposition sera diagonale par blocs,
chaque bloc étant la matrice de la restriction de u à Ei dans une base de Ei.
Le déterminant de u est alors le produit des déterminants des endomorphismes induits par u dans les sous-espaces Ei.

Endomorphismes diagonalisables

Un endomorphisme u est diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.
Pour un endomorphisme u, plusieurs conditions équivalentes caractérisent sa diagonalisation:
il existe une base de E formée de vecteurs propres de u,
E est la somme directe des sous-espaces propres de u,
la matrice représentative de u dans une base B’ quelconque de E est diagonalisable.

Endomorphismes trigonalisables

Un endomorphisme u est trigonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.
Une matrice carrée est trigonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
Un endomorphisme u est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K.

Caractérisation des matrices triangulaires supérieures

Un endomorphisme u stabilise tous les sous-espaces vectoriels de la forme Vect(e1, ..., ek) où e1, ..., ek sont les premiers vecteurs d’une base B de E si et seulement si la matrice de u dans B est triangulaire supérieure.

Polynômes d’un endomorphisme

Si P est un polynôme, P(u) est l’endomorphisme obtenu en remplaçant X par u dans P.
Si A est la matrice représentative de u dans une base B de E, alors P(A) est la matrice représentative de P(u) dans cette base B.
L’image et le noyau de P(u) sont stables par u.

Polynômes annulateurs

Un polynôme P est annulateur d’un endomorphisme u si P(u) = 0.
Tout endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul.
Les valeurs propres de u sont les racines du polynôme annulateur de u.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Ce quiz explore les concepts de la stabilité des sous-espaces vectoriels par rapport à un endomorphisme. Il aborde les matrices associées dans des bases spécifiques et la généralisation du théorème de stabilité. Testez vos connaissances sur la forme des matrices et les conditions de stabilité.