Solving Quadratic Equations: Factoring, Completing the Square, Quadratic Formula

6 Questions

Сопоставьте методы решения квадратных уравнений с их описанием:

Факторизация = Выражение уравнения как произведение двух биномов Дополнение квадрата = Преобразование уравнения к виду (x + p)^2 = q^2 и извлечение корня Использование квадратной формулы = Общий метод нахождения корней уравнения

Сопоставьте элементы квадратного уравнения с их определениями:

a = Коэффициент при квадратичном члене b = Линейный коэффициент c = Свободный член x = Переменная, которую нужно найти

Сопоставьте корни уравнения `x^2 + 5x + 6 = 0` с их значениями:

x = -2, -3 = Корни уравнения после факторизации x = -7.5, 0.5 = Корни уравнения после дополнения квадрата x = -3, -2 = Корни уравнения после использования квадратной формулы

Сопоставьте шаги метода факторизации с их описанием:

Выражение уравнения в виде произведения двух биномов = Первый шаг факторизации Нахождение корней уравнения = Последний шаг факторизации

Сопоставьте шаги метода дополнения квадрата с их описанием:

Преобразование уравнения к виду (x + p)^2 = q^2 = Основной шаг дополнения квадрата Извлечение корня = Шаг после преобразования уравнения

Сопоставьте элементы квадратного уравнения `ax^2 + bx + c = 0` с их обозначениями:

a = Ведущий коэффициент b = Линейный коэффициент c = Константный член

Study Notes

Solving Quadratic Equations

A quadratic equation is defined as an algebraic equation of the second degree in one variable. They generally take the form ax^2 + bx + c = 0, where a is the leading coefficient, b is the linear coefficient, c is the constant term, and x is the variable being solved for.

There are several methods to solve quadratic equations:

By Factoring

Factorization involves expressing the quadratic equation in the form of a product of two binomials: (x − p)(x − q) = 0. Here, p and q are the roots of the equation, or the points at which the graph of the quadratic function intersects the x-axis.

Let's consider the example quadratic equation: x^2 + 5x + 6 = 0. This factors as (x + 2)(x + 3) = 0, yielding the roots x = -2 and x = -3.

Completing the Square

Completing the square involves adding and subtracting the quantity (b/2)^2 to transform the equation into the form (x + p)^2 = q^2, where p and q are constants. Then we can apply the square root property to extract the root x = p ± sqrt(q^2).

Consider again our example equation: x^2 + 5x + 6 = 0. Completing the square yields (x + 2.5)^2 = 25, or x = -2.5 ± 5. Thus, the roots are x = -7.5 and x = 0.5.

Using the Quadratic Formula

The quadratic formula is a general method for finding the roots of a given equation. It states that if ax^2 + bx + c = 0, then the solutions are:

x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

Using this formula, we can find the roots of any quadratic equation provided the values of a, b, and c are known. For our example equation: 3x^2 - 5x - 2 = 0, we have a = 3, b = -5, and c = -2. Substituting these into the formula gives us:

sqrt((-5)^2 - 4 × 3 × (-2)) / (2 × 3) = sqrt(17) / 6. Therefore, the roots are x = (sqrt(17)/6) + ((-)sqrt(17)/6) = (sqrt(17)+(-sqrt(17)))/6 = 0. This provides two complex number solutions, each with a real part of 0 and imaginary parts differing by an angle of pi.