Скалярное произведение векторов

• Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Определение скалярного произведения векторов

• Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
• Скалярное произведение векторов a и b обозначается как a · b или (a, b).
• Формула скалярного произведения: a · b = |a| * |b| * cos(α), где α — угол между векторами a и b.

Свойства скалярного произведения

• Переместительное свойство: a · b = b · a.
• Распределительное свойство: a · (b + c) = a · b + a · c.
• Сочетательное свойство: (λa) · b = λ(a · b), где λ — число.
• Скалярный квадрат вектора: a · a = |a|^2, где |a| — длина вектора a.
• Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: a · b = 0, если a ⊥ b.

Вычисление скалярного произведения в координатах

• Если даны векторы a(x1, y1, z1) и b(x2, y2, z2) в трехмерном пространстве, то их скалярное произведение вычисляется по формуле: a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2.
• В двумерном пространстве для векторов a(x1, y1) и b(x2, y2) скалярное произведение вычисляется как: a · b = x1x2 + y1y2.
• Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Угол между векторами

• Косинус угла между векторами a и b можно выразить через скалярное произведение: cos(α) = (a · b) / (|a| * |b|).
• Угол между векторами можно найти, используя обратную функцию косинуса: α = arccos((a · b) / (|a| * |b|)).
• Если cos(α) = 0, то угол α = 90°, и векторы перпендикулярны.
• Если cos(α) = 1, то угол α = 0°, и векторы сонаправлены.
• Если cos(α) = -1, то угол α = 180°, и векторы противоположно направлены.

Применение в физике

• Работа силы: Если сила F действует на тело, перемещающееся на расстояние s, то работа A = F · s = |F| * |s| * cos(α), где α — угол между вектором силы и вектором перемещения.
• Мощность: Мощность равна скалярному произведению силы на скорость.

Признак перпендикулярности векторов

• Векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть a · b = 0.

Вычисление длины вектора

• Длина вектора a может быть вычислена как квадратный корень из скалярного произведения вектора на себя: |a| = √(a · a).
• В координатах: |a| = √(x1^2 + y1^2 + z1^2) для трехмерного пространства.

Проекция вектора на вектор

• Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле: proj_b(a) = (a · b) / |b|.
• Вектор проекции: ((a · b) / |b|^2) * b

Примеры решения задач

• Даны векторы a(1, 2, 3) и b(4, 5, 6). Найти скалярное произведение a · b.
• Решение: a · b = (1 * 4) + (2 * 5) + (3 * 6) = 4 + 10 + 18 = 32.
• Даны векторы a(3, -4) и b(8, 6). Найти угол между ними.
• Решение:
  • a · b = (3 * 8) + (-4 * 6) = 24 - 24 = 0.
  • Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны, угол между ними 90°.

Задачи на скалярное произведение

• Найти скалярное произведение векторов a(2, -1, 3) и b(-1, 5, 4).
• Найти угол между векторами a(1, 1) и b(1, -1).
• Найти длину вектора a(3, 4, 0).
• Вычислить проекцию вектора a(5, 2) на вектор b(1, 0).

Свойства, полезные для запоминания

• Коммутативность: a · b = b · a
• Дистрибутивность: a · (b + c) = a · b + a · c
• Скалярный квадрат: a · a = |a|^2
• Перпендикулярность: a · b = 0 если a ⊥ b