H4 deel 2: Regressie

Vectoren

• Vectoren hebben een grootte, richting en zin.

Som van Vectoren

Grafische methode

• Vectoren worden achter elkaar geplaatst met behoud van grootte, richting en zin.
• De resultaatvector verbindt de oorsprong van de eerste vector met het uiteinde van de laatste vector.

Analytische methode

• Vectoren worden ontbonden in Cartesische componenten.
• De componenten van elke as worden vervolgens opgeteld:
  • $\vec{A} = (A_x, A_y)$
  • $\vec{B} = (B_x, B_y)$
  • $\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y)$

Product van Vectoren

Scalair product

• $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos{\theta}$
• Het scalair product van twee vectoren is een scalair (een getal).

Vectorieel product

• $\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \sin{\theta} \cdot \hat{n}$
• Het vectorieel product is een vector loodrecht op het vlak van de oorspronkelijke vectoren.
• De richting wordt bepaald door de rechterhandregel.

Kinematica

• Kinematica beschrijft de beweging van objecten.

MRU (Beweging met eenparige rechtlijnige beweging)

• Constante snelheid
• Nulversnelling
  • $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$
  • $x_f = x_i + v \cdot (t_f - t_i)$

MRUV (Eenparige rechtlijnige beweging met eenparige versnelling)

• Constante versnelling
  • $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$
  • $v_f = v_i + a \cdot (t_f - t_i)$
  • $x_f = x_i + v_i \cdot (t_f - t_i) + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_f - t_i)^2$
  • $v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot (x_f - x_i)$

Vrije val en verticale worp

• MRUV met versnelling gelijk aan de zwaartekracht ($g = 9,8 m/s^2$)
  • $v_f = v_i - g \cdot (t_f - t_i)$
  • $y_f = y_i + v_i \cdot (t_f - t_i) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot (t_f - t_i)^2$
  • $v_f^2 - v_i^2 = -2 \cdot g \cdot (y_f - y_i)$

Schuine worp

• Combinatie van MRU (x-as) en MRUV (y-as)
  • $x_f = x_i + v_{ix} \cdot (t_f - t_i)$
  • $y_f = y_i + v_{iy} \cdot (t_f - t_i) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot (t_f - t_i)^2$
  • $v_{ix} = v_i \cdot \cos{\alpha}$
  • $v_{iy} = v_i \cdot \sin{\alpha}$

Dynamica

• Dynamica beschrijft de oorzaken van beweging.

Wetten van Newton

• Eerste wet (Traagheid): Een object blijft in rust of in eenparige rechtlijnige beweging tenzij er een externe kracht op werkt.
• Tweede wet (Kracht): De netto kracht op een object is gelijk aan de massa van het object vermenigvuldigd met de versnelling ($F = m \cdot a$).
• Derde wet (Actie en Reactie): Op elke actie is er altijd een gelijke en tegengestelde reactie.

Krachtsoorten

• Gewicht: $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$
• Normaal: Reactiekracht van een oppervlak
• Spanning: Kracht uitgeoefend door een touw of kabel
• Wrijvingskracht:
• Statisch: $F_e \le \mu_e \cdot N$
• Dynamisch: $F_d = \mu_d \cdot N$
• Elastische kracht: $F = k \cdot \Delta x$ (Wet van Hooke)

Arbeid en Energie

• Arbeid: $W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{x} = |\vec{F}| \cdot |\Delta \vec{x}| \cdot \cos{\theta}$
• Kinetische energie: $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$
• Potentiële zwaartekrachtenergie: $E_p = m \cdot g \cdot h$
• Elastische potentiële energie: $E_{pe} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (\Delta x)^2$
• Arbeid-energiestelling: $W_{netto} = \Delta E_c$
• Behoud van mechanische energie: $E_c + E_p = constante$ (als er geen niet-conservatieve krachten zijn)
• Vermogen: $P = \frac{W}{\Delta t}$

Impuls en hoeveelheid van beweging

• Impuls: $\vec{I} = \vec{F} \cdot \Delta t$
• Hoeveelheid van beweging: $\vec{p} = m \cdot \vec{v}$
• Impuls-hoeveelheid van bewegingstelling: $\vec{I} = \Delta \vec{p}$
• Behoud van hoeveelheid van beweging: $\vec{p}_{totaal} = constante$ (in een geïsoleerd systeem)

Statica

• Statica bestudeert systemen in evenwicht.

Evenwichtsvoorwaarden

• $\sum \vec{F} = 0$ (translationeel evenwicht)
• $\sum \vec{\tau} = 0$ (rotatie-evenwicht)

Torque

• $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = |\vec{r}| \cdot |\vec{F}| \cdot \sin{\theta}$
• $\vec{r}$ is de positievector van het punt waar de kracht wordt uitgeoefend naar de rotatieas.

Gravitatie

• Gravitatie beschrijft de aantrekkingskracht tussen massa's.

Universele gravitatiewet

• $F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$
• $G = 6,67 \times 10^{-11} Nm^2/kg^2$ is de universele gravitatieconstante.

Gravitatiële potentiële energie

• $E_p = -G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r}$

Vloeistoffen

• Vloeistoffen zijn stoffen die kunnen stromen.

Dichtheid

• $\rho = \frac{m}{V}$

Druk

• $P = \frac{F}{A}$

Principe van Pascal

• De druk die opgesloten in een vloeistof wordt uitgeoefend, wordt volledig overgedragen naar alle punten van de vloeistof en naar de wanden van het vat.

Principe van Archimedes

• Een object dat in een vloeistof is ondergedompeld, ondervindt een opwaartse stuwkracht die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof:
  • $E = \rho_{vloeistof} \cdot V_{ondergedompeld} \cdot g$

Continuïteitsvergelijking

• $A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2$

Vergelijking van Bernoulli

• $P + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot h = constante$

Chemische kinetiek

• Chemische kinetiek is de studie van reactiesnelheden.

• Reactiesnelheid

  -Voor de reactie:

  • $aA + bB \rightarrow cC + dD$
  • Snelheid = $-\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}$

• Snelheidswet

  • Snelheid = $k[A]^x[B]^y$
  • x = orde met betrekking tot A
  • y = orde met betrekking tot B
  • x + y = totale orde
  • k = snelheidsconstante

• Geïntegreerde snelheidsbepaling

• Temperatuurafhankelijkheid
  • De Arrhenius-vergelijking:
    • $k = Ae^{-E_a/RT}$
    • Waar
      • $E_a$ de activeringsenergie is
      • R de gasconstante is (8,314 J/mol·K)
      • A de frequentiefactor is
  • De natuurlijke logaritme nemen:
    • $ln(k) = ln(A) - \frac{E_a}{RT}$
  • Twee temperaturen vergelijken:
    • $ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R}(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$
• Reactiemechanismen
  • Elementaire stap: een individuele stap in een reactiemechanisme.
  • Moleculariteit: het aantal moleculen dat deelneemt aan een elementaire stap.
  • Snelheidsbepalende stap: de langzaamste stap in een reactiemechanisme, die de totale reactiesnelheid bepaalt.
  • Tussenproduct: een stof die tijdens de reactie wordt gevormd en verbruikt, maar niet voorkomt in de algemene gebalanceerde vergelijking.
• Katalyse
  • Katalysator: een stof die een reactie versnelt zonder in het proces te worden verbruikt.
  • Homogene katalysator: een katalysator die zich in dezelfde fase bevindt als de reactanten.
  • Heterogene katalysator: een katalysator die zich in een andere fase bevindt dan de reactanten.
• Evenwichtsconstante
  • $K = \frac{k_f}{k_r}$s
  • Waar:
  • $k_f$ de snelheidsconstante is voor de voorwaartse reactie.
  • $k_r$ de snelheidsconstante is voor de omgekeerde reactie.

Lecture 23: De Fourier Transformatie

• Motivatie: Inzicht verkrijgen in het frequentiegehalte van signalen.
• Definitie: De Fourier Transformatie van $f(t)$ is:

$F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt$

• Waar:

  • $t$ staat voor tijd (seconden).
  • $f(t)$ is een tijdfunctie (volt).
  • $\omega$ staat voor frequentie (rad/sec).
  • $F(\omega)$ is het frequentiespectrum (volt/rad/sec).

• Inverse Fourier Transformatie

  • Definitie: De Inverse Fourier Transformatie van $F(\omega)$ is:
    • $f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$

• Fourier Transformatie Paren

  • $f(t) \rightleftharpoons F(\omega)$

• Voorbeeld 1

  • Bepaal de Fourier Transformatie van het volgende:
    • $f(t) = \begin{cases} 1, & |t| < T \ 0, & |t| > T \end{cases}$
    • Oplossing
      • $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt = \int_{-T}^{T} (1) e^{-j\omega t} dt$
      • $= \frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} |_{-T}^{T} = \frac{e^{j\omega T} - e^{-j\omega T}}{j\omega}$
      • $= 2\frac{\sin(\omega T)}{\omega} = 2T \frac{\sin(\omega T)}{\omega T}$
      • $\therefore f(t) \rightleftharpoons 2T \frac{\sin(\omega T)}{\omega T}$

• Voorbeeld 2

  • Bepaal de Fourier Transformatie van:
    • $f(t) = e^{-at}u(t), \quad a > 0$
    • Oplossing:
      • $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} dt$
      • $= \int_{0}^{\infty} e^{-(a + j\omega)t} dt = \frac{e^{-(a + j\omega)t}}{-(a + j\omega)} |_{0}^{\infty}$
      • $= \frac{1}{a + j\omega} = \frac{a - j\omega}{a^2 + \omega^2}$
      • $\therefore e^{-at}u(t) \rightleftharpoons \frac{1}{a + j\omega}$

Statisch Evenwicht

• Het concept van evenwicht, focus op statisch evenwicht, voorwaarden voor evenwicht, voorbeeld van een uniforme balk ondersteund door een draad en een scharnier.
• Evenwicht: een object is in evenwicht als:
  • Het in rust is.
  • Het zwaartepunt beweegt met constante snelheid.
• Er wordt alleen statisch evenwicht beschouwd. Daarom:

$\sum \overrightarrow{F} = 0$

$\sum \overrightarrow{\tau} = 0$

• Voorbeeld:

  • Een uniforme balk met lengte $L$ en massa $m$ wordt ondersteund zoals getoond. Een blok met massa $M$ wordt op een afstand $x$ van het linkeruiteinde geplaatst. Wat is de spanning in de draad en de kracht van het scharnier op de balk?
  • Diagram van een balk ondersteund door een draad aan het ene uiteinde en verbonden met een scharnier aan het andere uiteinde. Een blok zit op de balk op een afstand x van het scharnier.

Oplossing

• Krachten:

  • Spanning in de draad: $T$
  • Zwaartekracht op de balk: $mg$
  • Zwaartekracht op het blok: $Mg$
  • Kracht van het scharnier: $\overrightarrow{F_p} = F_{px} \hat{\imath} + F_{py} \hat{\jmath}$

$\sum F_x = 0 = F_{px}$

$\sum F_y = 0 = F_{py} + T - Mg - mg$

$\sum \tau = 0 = xMg + \frac{L}{2}mg - LT$

• Oplossen naar $T$:

$T = \frac{xM}{L}g + \frac{1}{2}mg$

• Daarom:

$F_{py} = Mg + mg - T = Mg + mg - \frac{xM}{L}g - \frac{1}{2}mg$

$F_{py} = Mg(1 - \frac{x}{L}) + mg(\frac{1}{2})$

$\overrightarrow{F_p} = 0\hat{\imath} + [Mg(1 - \frac{x}{L}) + mg(\frac{1}{2})]\hat{\jmath}$

Fysica

• Het onderwerp lorentztransformatie wordt behandeld, inclusief kernconcepten zoals het referentiekader, de lorentztransformatie zelf, snelheidsomzetting, lengtecontractie, tijdsvertraging, het relativistische dopplereffect, relativistische impuls en energie, en drempelenergie.
• Lorentzatransformatie

Inertieel referentiekader

• Een inertieel referentiekader is een kader waarin de eerste wet van Newton geldt.

De Lorentzatransformatie

$$\begin{aligned} x' &= \gamma (x - vt) \ t' &= \gamma (t - \frac{vx}{c^2}) \ y' &= y \ z' &= z \end{aligned}$$

waar

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Snelheidstransformatie

$$\begin{aligned} u_x' &= \frac{u_x - v}{1 - \frac{vu_x}{c^2}} \ u_y' &= \frac{u_y}{\gamma (1 - \frac{vu_x}{c^2})} \ u_z' &= \frac{u_z}{\gamma (1 - \frac{vu_x}{c^2})} \end{aligned}$$

Lengtecontractie

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Tijdsvertraging

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Relativistisch dopplereffect

$f_{obs} = f_{bron} \sqrt{\frac{c \pm v}{c \mp v}}$

waar

• Bovenste tekens: bron en waarnemer naderen elkaar
• Onderste tekens: bron en waarnemer verwijderen zich

Relativistische impuls en energie

$$\begin{aligned} p &= \frac{mu}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} \ E &= \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = K + mc^2 \ E^2 &= p^2c^2 + m^2c^4 \end{aligned}$$

Drempelenergie

$K_{min} = \frac{W^2 - (m_1 + m_2)^2c^4}{2m_2c^2}$