Sistemi Lineari e Matrici

È una matrice quadrata con 1 sulla diagonale principale e 0 altrove. Ad esempio, la matrice identità 2x2 è:

[1 0]
[0 1]

È il vettore formato dagli elementi sulla diagonale principale di una matrice quadrata. Ad esempio, la diagonale della matrice:

[1 2]
[3 4]

è il vettore (1, 4).

È il risultato della somma di ciascun corrispondente elemento di due matrici con le stesse dimensioni. Ad esempio:

[1 2] + [3 4] = [4 6]

È il risultato della moltiplicazione di una matrice per uno scalare (un numero). Ad esempio:

2 * [1 2]
[3 4] = [2 4]
[6 8]

È il prodotto di una matrice m x k per una matrice k x n, dove k è il numero di colonne della prima matrice e il numero di righe della seconda. Il risultato è una matrice m x n. Ad esempio:

[1 2] * [3 4]
[5 6] = [19 22]
[31 36]

È una matrice quadrata che, moltiplicata per la sua inversa, fornisce la matrice identità. Ad esempio, la matrice:

[2 1]
[1 1]

è invertibile perché la sua inversa è:

[1 -1]
[-1 2]

Lo spazio vettoriale di tutte le matrici m x n con le operazioni di somma e prodotto per scalari. Significa che valgono le proprietà distributive, associative, ecc., come negli spazi vettoriali usuali.

È la matrice identità moltiplicata per una qualsiasi matrice A. L'effetto è che A rimane invariata. Ad esempio, In * A = A.

La matrice inversa di una matrice quadrata A, se esiste, è unica e si denota con A⁻¹.

Un sistema di m equazioni lineari in n incognite x₁, ..., xₙ a coefficienti reali.

Un vettore (x₁, ..., xₙ) ∈ Rⁿ le cui coordinate soddisfano tutte le equazioni del sistema.

Un sistema lineare non ha soluzioni.

Un sistema lineare ha una sola soluzione.

Un sistema lineare ha infinite soluzioni.

La matrice formata dai coefficienti delle variabili del sistema lineare.

La matrice che rappresenta sia i coefficienti che i termini noti del sistema.

Un sistema lineare è omogeneo se il termine noto di ogni equazione è uguale a zero.

Un sistema lineare omogeneo associato a un sistema lineare dato è ottenuto ponendo tutti i termini noti uguali a zero.

Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che soddisfa tre proprietà: contiene il vettore nullo, è chiuso rispetto alla somma vettoriale e alla moltiplicazione per uno scalare.

Il sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di quei vettori.

Una combinazione lineare di un insieme di vettori è una somma di quei vettori moltiplicati per scalari.

Un sottospazio affine è un sottoinsieme di uno spazio affine che si ottiene prendendo un punto e sommando ad esso tutti i vettori di un sottospazio vettoriale.

I sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale V sono a loro volta spazi vettoriali.

I sottospazi affini di uno spazio affine A sono a loro volta spazi affini.

Un insieme di vettori {u1,...,un} di uno spazio vettoriale reale V si dice linearmente indipendente se l'unica loro combinazione lineare uguale a zero è quella che ha tutti i coefficienti uguali a zero.

Dato uno spazio vettoriale reale V, un insieme di vettori β = {u1,...,un} genera V se ogni vettore v di V può essere scritto come combinazione lineare di u1,...,un.

Dato uno spazio vettoriale reale V, un insieme di vettori β = {u1,...,un} è una base di V se è linearmente indipendente e genera V.

Dato uno spazio vettoriale reale V, se V ha una base β = {u1,...,un} con n elementi, allora qualsiasi altra base di V ha esattamente n elementi.

Dato uno spazio vettoriale reale V, si dice che V ha dimensione n (e si scrive dim(V) = n) se ammette una base con n elementi.

Dato uno spazio vettoriale reale V ed una base β = {u1,...,un}, le coordinate di un vettore v rispetto a β sono i coefficienti della combinazione lineare di v rispetto ai vettori di β.

Il volume di un parallelepipedo in R3 determinato da tre vettori u1, u2 e u3 è dato dal determinante della matrice formata dalle coordinate dei vettori.

Il minore complementare di un elemento aij in una matrice A è il determinante della sottomatrice ottenuta eliminando la riga i e la colonna j.

La formula di Laplace permette di calcolare il determinante di una matrice A in termini dei minori complementari degli elementi di una riga o colonna.

Il determinante di una matrice A è uguale alla somma dei prodotti di ogni elemento della riga i0 per (−1)i0+j e il determinante del minore complementare Ai0j, sommati per tutti j.

Il determinante di una matrice A è uguale alla somma dei prodotti di ogni elemento della colonna j0 per (−1)i+j0 e il determinante del minore complementare Aij0, sommati per tutti i.

La formula di Laplace è uno strumento utile per calcolare il determinante di una matrice, in particolare per matrici di ordine elevato.

Il volume di un parallelepipedo è dato dal valore assoluto del prodotto vettoriale di due lati adiacenti e del prodotto scalare del terzo lato con il prodotto vettoriale.

Il volume di un parallelepipedo è dato sia dal determinante della matrice formata dai vettori che definiscono i lati, sia dal valore assoluto del prodotto vettoriale di due lati e del prodotto scalare del terzo lato con il prodotto vettoriale.

La matrice che rappresenta il cambiamento di coordinate da una base all'altra.

Un sistema di riferimento per uno spazio affine è un punto di riferimento (origine) e una base per il suo spazio vettoriale associato.

La parte lineare di una mappa affine determina come la mappa agisce sulle direzioni nello spazio, mentre la parte affine determina la posizione del punto di riferimento.

Le coordinate di un punto P nello spazio affine A rispetto al sistema di riferimento B possono essere trovate come la combinazione lineare del punto di riferimento P0 e dei vettori della base B, moltiplicati per le sue coordinate rispetto a B.

La formula Mβ 0 β (f ) · P B + F (P0 ) B 0 ci permette di calcolare le coordinate di F (P ) in A0 rispetto a B 0, in termini delle coordinate di P in A rispetto a B.

Una mappa che preserva le rette parallele e i rapporti tra segmenti.

Una trasformazione affine che può essere espressa come un prodotto di una matrice e un vettore.

Una trasformazione affine che preserva anche il rapporto tra le aree di figure geometriche.