Sistemas de Equações Diferenciais

Study Notes

Sistemas de equações diferenciais são utilizados para descrever diversos problemas físicos envolvendo múltiplas variáveis.
Um exemplo prático é o sistema massa-mola, que envolve duas massas m1 e m2, conectadas por molas com constantes de elasticidade k1, k2 e k3.
As forças externas atuantes nas massas são representadas por F1(t) e F2(t).

Os deslocamentos horizontais das massas em relação às posições de equilíbrio são x1(t) e x2(t).
O alongamento total da mola que conecta as duas massas é dado por x2 - x1.

Para a massa m1, a força resultante é dada pela soma das forças restauradoras das molas e a força externa:
- F = -k1x1 + k2(x2 - x1) + F1(t)
Aplicando a segunda lei de Newton, a equação de movimento para m1 é expressa como:
- ( m1 \frac{d^2 x1}{dt^2} = -k1 x1 + k2 (x2 - x1) + F1(t) )
Para a massa m2, as forças que atuam incluem as forças das molas e a força externa:
- F = -k3x2 - k2(x2 - x1) + F2(t)
A equação de movimento para m2 é:
- ( m2 \frac{d^2 x2}{dt^2} = -k3 x2 - k2 (x2 - x1) + F2(t) )

O movimento das duas massas é descrito por um sistema de equações diferenciais de segunda ordem.
Este é um exemplo de um sistema de equações não-lineares que requer análise cuidadosa para resolver.

Um Problema de Valor Inicial (P.V.I.) para um sistema de equações de ordem 1 é formulado como:
- ( x'1 = f1(t, x1, ..., xn) )
- ( x'2 = f2(t, x1, ..., xn) )
- Condições iniciais são dadas por ( x(t0) = x0 ) para cada variável.

Equações diferenciais de ordem 2 podem ser expressas na forma:
- ( y'' = g(t, y, y') )

Resolver um sistema de equações significa encontrar funções que satisfaçam as condições de existência dentro de um intervalo definido.
As funções devem obedecer às equações diferenciais e estar contidas em um domínio D para todas as variáveis.