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Questions and Answers
त्रिकोणमितीय पहचान $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ केवल कुछ विशिष्ट कोणों $\theta$ के लिए ही मान्य होती है।
त्रिकोणमितीय पहचान $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ केवल कुछ विशिष्ट कोणों $\theta$ के लिए ही मान्य होती है।
False (B)
क्या $\sin^2(\theta)$ को $(\sin(\theta))^2$ के रूप में दर्शाया जा सकता है?
क्या $\sin^2(\theta)$ को $(\sin(\theta))^2$ के रूप में दर्शाया जा सकता है?
True (A)
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ की पहचान केवल समकोण त्रिभुजों में मान्य है।
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ की पहचान केवल समकोण त्रिभुजों में मान्य है।
False (B)
यदि $\sin^2(\theta) = 0.64$ है, तो $\cos^2(\theta) = 0.36$ होगा।
यदि $\sin^2(\theta) = 0.64$ है, तो $\cos^2(\theta) = 0.36$ होगा।
समीकरण $7\sin^2(\theta) + 7\cos^2(\theta) = 7$ का मान $\theta$ के सभी मानों के लिए सत्य है।
समीकरण $7\sin^2(\theta) + 7\cos^2(\theta) = 7$ का मान $\theta$ के सभी मानों के लिए सत्य है।
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)$ को सरल करके हमेशा 2 प्राप्त होता है।
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)$ को सरल करके हमेशा 2 प्राप्त होता है।
क्या $5 - \sin^2(\theta) - \cos^2(\theta)$ को सरल करने पर 4 प्राप्त होगा?
क्या $5 - \sin^2(\theta) - \cos^2(\theta)$ को सरल करने पर 4 प्राप्त होगा?
$\cos^2(\theta) = 1 + \sin^2(\theta)$
$\cos^2(\theta) = 1 + \sin^2(\theta)$
$\sin(\theta^2)$ और $\sin^2(\theta)$ हमेशा बराबर होते हैं।
$\sin(\theta^2)$ और $\sin^2(\theta)$ हमेशा बराबर होते हैं।
यदि एक वृत्त की त्रिज्या 2 है, तो वृत्त पर किसी बिंदु (x, y) के लिए, $x^2 + y^2 = 1$ होगा।
यदि एक वृत्त की त्रिज्या 2 है, तो वृत्त पर किसी बिंदु (x, y) के लिए, $x^2 + y^2 = 1$ होगा।
Flashcards
sin²(θ) + cos²(θ) = ?
sin²(θ) + cos²(θ) = ?
यह त्रिकोणमितीय सर्वसमिका साइन और कोसाइन के वर्गों का योग 1 के बराबर बताती है।
पाइथागोरस प्रमेय
पाइथागोरस प्रमेय
एक समकोण त्रिभुज में, कोण θ के विपरीत भुजा 'a', आसन्न भुजा 'b', और कर्ण 'c' है, तो a² + b² = c² होता है।
इकाई वृत्त
इकाई वृत्त
इकाई वृत्त पर, एक बिंदु (x, y) के लिए, x = cos(θ) और y = sin(θ) होते हैं, और x² + y² = 1 होता है।
सर्वसमिका का उपयोग
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त्रिकोणमितीय समीकरण
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कलन (Calculus)
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भौतिकी में उपयोग
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इंजीनियरिंग में उपयोग
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sin²(θ) का रूप
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cos²(θ) का रूप
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Study Notes
- sin²(θ) + cos²(θ) = 1 एक मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान है।
- यह पहचान θ के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए सत्य है।
- sin²(θ), (sin(θ))² को दर्शाता है, और cos²(θ), (cos(θ))² को दर्शाता है।
- यह एक कोण के साइन और कोसाइन से संबंधित है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके प्रमाण
- एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें।
- मान लीजिए कि θ तीव्र कोणों में से एक है।
- मान लीजिए कि θ के विपरीत भुजाएँ 'a' हैं, θ के आसन्न 'b' हैं, और कर्ण 'c' है।
- पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: a² + b² = c²।
- समीकरण के दोनों पक्षों को c² से विभाजित करें: (a/c)² + (b/c)² = 1।
- त्रिकोणमितीय परिभाषाओं के अनुसार: sin(θ) = a/c और cos(θ) = b/c।
- इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करें: (sin(θ))² + (cos(θ))² = 1, इसलिए sin²(θ) + cos²(θ) = 1।
- यह पहचान साइन, कोसाइन और इकाई वृत्त के बीच संबंध दर्शाती है।
इकाई वृत्त स्पष्टीकरण
- मूल पर केंद्रित इकाई वृत्त (1 की त्रिज्या वाला एक वृत्त) पर विचार करें।
- मान लीजिए (x, y) वृत्त पर एक बिंदु है।
- यदि θ धनात्मक x-अक्ष और मूल से बिंदु (x, y) तक रेखा खंड द्वारा बनाया गया कोण है, तो x = cos(θ) और y = sin(θ)।
- चूँकि यह एक इकाई वृत्त है, x² + y² = 1 (एक वृत्त के समीकरण द्वारा)।
- x² + y² = 1 में x = cos(θ) और y = sin(θ) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें cos²(θ) + sin²(θ) = 1 प्राप्त होता है।
- यह इकाई वृत्त पर ज्यामितीय रूप से संबंध दर्शाता है।
अनुप्रयोग
- त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाना: यह जटिल व्यंजकों को सरल बनाने में मदद करता है।
- त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना: इसका उपयोग विभिन्न त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
- कलन: इसका उपयोग त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन और अवकलन में किया जाता है।
- भौतिकी: इसका उपयोग भौतिकी में बड़े पैमाने पर किया जाता है, विशेष रूप से यांत्रिकी, तरंग गति और विद्युत चुंबकत्व में।
- अभियांत्रिकी: विभिन्न अभियांत्रिकी क्षेत्रों, जैसे विद्युत, यांत्रिकी और सिविल अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है।
भिन्नताएं और संबंधित पहचान
- sin²(θ) = 1 - cos²(θ)
- cos²(θ) = 1 - sin²(θ)
- ये भिन्नताएं मूल पहचान को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त की जाती हैं।
- त्रिकोणमितीय व्यंजकों को अधिक सुविधाजनक रूप में हेरफेर करने में वे उपयोगी हैं।
सरलीकरण के उदाहरण
- सरल कीजिए: sin²(θ) + cos²(θ) + 5
- पहचान का उपयोग करते हुए, sin²(θ) + cos²(θ) = 1, व्यंजक 1 + 5 = 6 तक सरल हो जाता है।
- सरल कीजिए: 3 - cos²(θ) - sin²(θ)
- इसे 3 - (cos²(θ) + sin²(θ)) = 3 - 1 = 2 के रूप में फिर से लिखें।
- सरल कीजिए: (sin²(θ) + cos²(θ)) / 4
- यह 1 / 4 तक सरल हो जाता है।
समीकरणों को हल करने के उदाहरण
- θ के लिए हल करें: 2sin²(θ) + 2cos²(θ) = x:
- 2(sin²(θ) + cos²(θ)) = x
- 2(1) = x
- x = 2
- θ के लिए हल करें: 5sin²(θ) + 5cos²(θ) = 5
- 5(sin²(θ) + cos²(θ)) = 5
- 5 * 1 = 5 जो किसी भी θ के लिए हमेशा सत्य होता है
सामान्य गलतियाँ
- गलत तरीके से यह मान लेना कि पहचान केवल कुछ कोणों के लिए मान्य है।
- sin²(θ) को sin(θ²) के साथ भ्रमित करना।
- पहचान को पुनर्व्यवस्थित करते समय सही बीजगणितीय हेरफेर लागू करना भूल जाना।
- यह न पहचानना कि व्यंजक को सरल बनाने के लिए पहचान का उपयोग कब किया जा सकता है।
- पहचान प्राप्त करते समय पाइथागोरस प्रमेय को गलत तरीके से लागू करना।
उन्नत अनुप्रयोग
- फूरियर विश्लेषण: जटिल फलनों को सरल त्रिकोणमितीय फलनों में विघटित करने में पहचान महत्वपूर्ण है।
- संकेत प्रसंस्करण: फिल्टर और अन्य संकेत प्रसंस्करण एल्गोरिदम के विश्लेषण और डिजाइन में उपयोग किया जाता है।
- क्वांटम यांत्रिकी: यह क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों के गणितीय निरूपण में प्रकट होता है।
- कंप्यूटर ग्राफिक्स: 3D घुमाव और परिवर्तनों में उपयोग किया जाता है।
महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ
- सुनिश्चित करें कि गणना के दौरान कोण समान इकाइयों (डिग्री या रेडियन) में हो।
- यह पहचान अधिक उन्नत त्रिकोणमितीय पहचानों और अवधारणाओं के लिए एक आधारशिला है।
- त्रिकोणमिति और संबंधित क्षेत्रों में सफलता के लिए इस पहचान में दक्षता महत्वपूर्ण है।
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