Señales y Sistemas - Transformada de Fourier

Señales y Sistemas

• Señales y sistemas es el tema del curso.
• El tema 4 trata sobre la transformada de Fourier de secuencias.

Temario

• El temario incluye definiciones, transformadas de secuencias básicas, propiedades de la transformada de Fourier de secuencias, transformada de Fourier de secuencias periódicas, muestreo de señales, sistemas discretos racionales (transformada Z), y sistemas discretos selectivos en frecuencia (filtros).

Definición

• La transformada de Fourier de una secuencia (TF) convierte una secuencia de tiempo discreto x(n) en una función de dominio de frecuencia X(fa).
• La fórmula de la transformada directa es Σx(n).e-j2πfan para n que van de -∞ a ∞.
• La fórmula de la transformada inversa es (1/2π) * ΣX(fa) * e^j2πfan para fa que van de -∞ a ∞.
• x(fa) es una función de variable continua fa, generalmente compleja.
• Para que exista la transformada de Fourier, la secuencia debe cumplir con la condición de estabilidad: Σ|x(n)| <∞.

Transformadas de secuencias básicas (1)

• La transformada de Fourier de una exponencial real con escalón discreto (anu(n), con |a| < 1) es 1 / (1 - ae-j2nfd).
• Tiene una expresión en términos de la función 1/(1 - ae-j2nfd) = 1/(1 + a2 - 2acos(2πfd)).

Transformadas de secuencias básicas (2)

• La transformada de Fourier de la delta discreta (δ(n)) es 1.
• La transformada de Fourier de una secuencia constante es 1/T.

Transformadas de secuencias básicas (3)

• La transformada de Fourier de una exponencial compleja discreta (e^j2nfon) es Σδ(fa - fo - k) para k=-∞.
• La transformada de Fourier de una secuencia sinusoidal (cos(2πfon)) es (1/2) * Σδ(fa - fo - k) + δ(fa + fo - k) para k=-∞.
• La transformada de Fourier de una secuencia sinusoidal (sen(2πfon)) es (1/2j) * Σδ(fa - fo - k) - δ(fa + fo - k) para k=-∞.

Propiedades de la TF de secuencias (1)

• Linealidad: a x₁(n) + b x₂(n) ↔ a X₁(fa) + b X₂(fa)
• Desplazamiento: x(n – no) ↔ X(fd)e-j2πfano
• Simetría: Si x(n)real ↔ X(fa) = X*(-fa), |X(fa)| = |X(-fa)|, X(fa) = –X(-fa).
• Modulación: x(n)e^j2nfon ↔ X(fa – fo)
• Convolución: x(n) * y(n) ↔ X(fa) • Y(fa)
• Diferenciación en frecuencia: nx(n) ↔ j dX(fa)/d(fa)
• Teorema de Parseval: Σ|x(n)|² = (1/2π) * ∫|X(fa)|² dfa

Propiedades de la TF de secuencias (2)

• La respuesta en frecuencia H(fa) de un sistema.
• La entrada es una exponencial compleja: y(n) = H(fo) * ej2nfon = |H(fo)| * ej[2πfon+φH(fo)]
• Autofunción: y(n) = ej2nfon * h(n) = Σe^j2nfo(n-k)h(k) para k=-∞

Propiedades de la TF de secuencias (3)

• Asociación de sistemas:
  • y (n) = x(n) * h₁ (n) * h₂ (n) → Y (fa) = X (fa) · H₁ (fa) · H₂ (fa)
  • y (n) = x(n) * (h₁ (n) + h₂ (n)) → Y (fa) = X (fa) ·(H₁ (fa) + H₂ (fa))

Transformada de Fourier de secuencias periódicas (1)

• Cualquier secuencia periódica x(n) = x(n + N) se puede expresar mediante su desarrollo en serie de Fourier (DSF).
• Los coeficientes del DSF se calculan con la fórmula ak = (1/N) * Σx(n) * e^(-j2πkn/N) para n=0 hasta N-1.
• Se cumple que ak+N = ak.

Transformada de Fourier de secuencias periódicas (2)

• La TF de una secuencia periódica x(n) es una secuencia periódica en fa con periodo N, es decir X(fa) = Σ ak δ(fa - k/N).

Propiedades de los ak

• Linealidad: ax₁(n) + bx₂(n) → a ak₁ + b ak₂
• Desplazamiento: x(n - n₀) → ak e^-j2πk n₀/N
• Simetría: Si x(n) real, ak = a*k (suponiendo periodicidad) ak = a_(-k) (suponiendo periodicidad k = 0, 1, 2,.., N-1)
• Teorema de Parseval: (1/N) Σ|x(n)|² = (1/N) Σ|ak|²

Muestreo de señales continuas (1)

• concepto de muestreo periódico o uniforme = xa(t) |t = nT = xa(nT) , fs = 1/T

Muestreo de señales continuas (2)

• Normalización de Xa(fa) x fa = f / fs = X d(fa) → X d(fa/fs)
• Repetición periódica de período 1 / T
• Multiplicación de la amplitud por 1/T

Muestreo de señales continuas (3)

• Para no perder información es necesario que no haya solapamiento espectral (aliasing).
• Se debe cumplir que f₀T ≤ 1/2 donde f₀=B , B es el ancho de banda en Hz y fs es la frecuencia de muestreo.

Muestreo de señales continuas (4)

• Ejemplo de frecuencia de muestreo xa(f)

Muestreo de señales continuas (5)

• Desnormalizacion de X(fa) x fa = f / fs = X d(fa) → X d(fa/fs).
• Selección de la versión centrada en f = 0.
• Multiplicación de la amplitud por el periodo T.

Muestreo de señales continuas (6)

• En tiempo discreto el muestreo genera un tren de deltas, xₛ(t) = Σ x(n).δ (t − nT), xs (t) ↔ Xₛ (f)

Muestreo de señales continuas (7)

• El pixelado espacial implica repetición en el dominio espectral asociado
• El ojo actúa como filtro reconstructor.
• Menor frecuencia de muestreo requiere mayor distancia.

Muestreo de señales continuas (8)

• Ejemplo de C/D / D/C
• Compresión en frecuencia y expansión en tiempo

Muestreo de señales continuas (9)

• Señal continua xa(t) y señal discreta x(n) se realiza la conversión C/D para poder procesarla.

Muestreo de señales continuas (10)

• Ejemplo xa(t) → C/D H(fa) D/C → ya(t)

Transformada Z (1)

• La transformada Z de una secuencia x(n) se define como X(z)= Σ x(n) * z⁻ⁿ para n=-∞ hasta ∞.
• La región de convergencia (ROC) se refiere al conjunto de valores de z donde la transformada converge.

Transformada Z (2)

• La transformada Z de δ(n) es 1.
• La transformada Z de a^n u(n) es 1/(1 - az^-1) donde |az^-1| < 1

Transformada Z (3)

• Ejemplo TZ [2^n u(n − 3) + 3δ(n)] = 2⁻³ / (1 – 2z⁻¹) + 3 para la región de convergencia |z|>2

Transformada Z (4)

• X(fa) = Σ x(n)·e^(-j2πfn) = X(z)|z| =ej2πfa
• Si Σ |x(n)| < ∞, existe X(f) y es circunferencia de radio 1 dentro de ROC

Transformada Z (5)

• Función de transferencia H(z) = Z{h(n)} = Σ h(n) * z-n de n=-∞ hasta ∞ .
• Funciones generalizadas: Z^2πfon*H (fa) → H(z) → H(z^2πfon)
• Reglas de conexión de los sistemas iguales usando H(fa) y H(z)

Sistemas racionales discretos (1)

• Un sistema racional discreto es un sistema donde la relación entre la salida y la entrada es expresable como un cociente de polinomios en z (o z⁻¹).
• La respuesta al impulso h(n) es una secuencia discreta.
• El sistema está definido por las relaciones entre salida Y(z) e entrada X(z), donde Y(z) = H(z).X(z).
• La función de transferencia H(z) define al sistema mediante la relación entre la transformada Z de la salida y la transformada Z de la entrada.

Sistemas racionales discretos (2)

• Los polos y ceros de H(z) son pares conjugados.
• Para un sistema causal, la ROC de H(z) se localiza fuera del círculo unidad.
• Un sistema causal estable requiere que todos los polos estén dentro del círculo unidad.

Sistemas racionales discretos (3)

• FIR: ak = 0 para todos los k>0. Todos los polos están en el origen.
• IIR: al menos un ak distinto de cero para algún valor k>0 (hay polos fuera del origen)

Sistemas racionales discretos (4)

• Se pueden usar multiplicadores, sumadores y retardadores.
• y(n) = x(n) + 0.5x(n-1) + x(n-2)

Sistemas racionales discretos (5)

• El ejemplo resuelve si el sistema es estable dadas las relaciones entre la variable x(n) y y(n) y su ecuación asociada en z.

Sistema discretos selectivos en frecuencia : filtros (1)

• La posición de los polos y los ceros definen la respuesta en frecuencia
• Polo cercano a la circunferencia produce picos
• Cero cercano a la circunferencia produce valles en la respuesta en frecuencia

Sistema discretos selectivos en frecuencia : filtros (2)

• Ejemplo de un filtro FIR paso bajo sencillo dado h1(n) y la frecuencia de corte fc se puede calcular H(fa).

Sistema discretos selectivos en frecuencia : filtros (3)

• Ejemplo de un filtro IIR paso bajo sencillo dado HLP(z) y las condiciones de diseño de un filtro, se calcula la ecuación en diferencias .

Sistema discretos selectivos en frecuencia : filtros (4)

• Diseño óptimo de filtros con teoria de aproximación.

Este cuestionario se centra en el tema 4 del curso de Señales y Sistemas, que abarca la transformada de Fourier de secuencias. Se explorarán definiciones, propiedades y fórmulas clave relacionadas con la transformada, así como su aplicación en señales muestreadas y sistemas discretos. Prepárate para poner a prueba tu comprensión de este concepto fundamental.