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Questions and Answers
सदिशों $2 + 3$ और $3 - 2j + k$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
कोण ज्ञात करने के लिए सदिशों के बीच का डॉट प्रोडक्ट और उनके माप का उपयोग करें।
सदिश $i + j$ पर सदिश $i - j$ का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
प्रक्षेप ज्ञात करने के लिए सदिश का डॉट प्रोडक्ट और दिशा का उपयोग करें।
सदिश $i + 3j + 7k$ का, सदिश $7i - j + 8k$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
प्रक्षेप ज्ञात करने के लिए सदिश का डॉट प्रोडक्ट और दिशा का उपयोग करें।
दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है: $2i + 3j + 6k$, $3i - 6j + 2k$, $6i + 2j - 3k$।
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दिए गए सदिश परस्पर लंबवत हैं।
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यदि $(a + b) (a - b) = 8$ और $|a| = 8 ext{√}6$ तो |a| और |b| ज्ञात कीजिए।
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दो सदिशों a और b के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिमाण समान हैं और इन के बीच का कोण $60°$ है तथा इनका अदिश गुणनफल $1/2$ है।
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यदि $(x - a) (x + a) = 12$ हो तो $|x|$ ज्ञात कीजिए।
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यदि $a + λb, c$ पर लंब है, तो $λ$ का मान ज्ञात कीजिए।
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यदि $a a = 0$ और $a b = 0$, तो सदिश b के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
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यदि $a, b, c$ मात्रक सदिश इस प्रकार हैं कि $a + b + c = 0$, तो $ab + bc + ca$ का मान ज्ञात कीजिए।
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यदि $a = 0$ अथवा $b = 0$, तब $ab = 0$ परंतु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
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यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B, C क्रमशः $(1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2)$ हैं तो $∠ABC$ ज्ञात कीजिए।
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दर्शाइए कि बिंदु A(1, 2, 7), B(2, 6, 3) और C (3, 10, -1) स्तरेख हैं।
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दर्शाइए कि सदिश $2i - j + k$, $i - 3j - 5k$ और $3i - 4j - 4k$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
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यदि शून्येतर सदिश $a$ का परिमाण 'a' है और $λ$ एक शून्येतर अदिश है तो $λa$ एक मात्रक सदिश है यदि:
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Study Notes
सदिशों के विभिन्न पर सवाल और उनका समाधान
- सदिशों (2 + 3) और (3 - 2j + k) के बीच के कोण का उपयोग कर गणना की जा सकती है।
- सदिश (i + j) पर सदिश (i - j) का प्रक्षिप्त ज्ञात करने के लिए स्केलर गुणन का उपयोग किया जाता है।
- सदिश (i + 3j + 7k) का सदिश (7i - j + 8k) पर प्रक्षेप ज्ञात करने के लिए प्रक्षिप्त सूत्र लागू किया जाता है।
मात्रक सदिशों और लंबवत संबंध
- दिए गए सदिश ( (2i + 3j + 6k), (3i - 6j + 2k), (6i + 2j - 3k) ) में से प्रत्येक को मात्रक सदिश बताना है।
- यह भी प्रदर्शित करना है कि दिए गए सदिश आपस में लंबवत हैं।
गणितीय समीकरण और परिणाम
- समीकरण ((a + b) (a - b) = 8) और (|a| = 8√6) के लिए (|a|) और (|b|) की गणना करनी है।
- ((3a - 5b) (2a + 7b)) का मान निकालना है।
सदिशों के परिमाण और आयाम
- दो सदिश (a) और (b) के परिमाण समान और उनके बीच कोण (60°) है, जबकि अदिश गुणनफल (1/2) है।
- यदि एक मात्रक सदिश (a) के लिए ((x - a) (x + a) = 12) है, तो (|x|) ज्ञात करना है।
अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न
- यदि ( a = 2i + 2j + 3k, b = -i + 2j + k ) और ( c = 3i + j ) है, और ( a + λb ) के लिए (c) पर लंब है, तो (\lambda) का मान ज्ञात करना है।
- दो शून्येतर सदिशों (a) और (b) के लिए (|a|b + |b|a) और (|a|b - |b|a) पर लंब संबंध के बारे में चर्चा करनी है।
अतिरिक्त सिद्धांत और उदाहरण
- यदि ( aa = 0 ) और ( ab = 0 ), तो सदिश (b) के बारे में निष्कर्ष निकालना है।
- यदि ( a, b, c ) मात्रक सदिश हैं और ( a + b + c = 0 ) है, तो ( ab + bc + ca ) का मान ज्ञात करना है।
- (a = 0) या (b = 0) होने पर (ab = 0) की पुष्टि उदाहरण द्वारा करना है।
त्रिभुज और बिंदुओं का विश्लेषण
- त्रिभुज ( ABC ) में शीर्ष ( A(1, 2, 3), B(-1, 0, 0), C(0, 1, 2) ) का ( \angle ABC ) ज्ञात करना है।
- बिंदु ( A(1, 2, 7), B(2, 6, 3) ) और ( C(3, 10, -1) ) के स्तरेख होने की पुष्टि करनी है।
समकोण त्रिभुज के सिद्धांत
- सदिश (2i - j + k, i - 3j - 5k) और (3i - 4j - 4k) के समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना को दर्शाना है।
मात्रक सदिश और अदिश मान
- यदि शून्येतर सदिश ( a ) का परिमाण 'a' है और ( λ ) एक शून्येतर अदिश है, तो ( λa ) एक मात्रक सदिश होता है यदि:
- ( λ = 1 )
- ( λ = -1 )
- ( a = |λ| )
- ( a = 1/|λ| )
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Description
यह प्रश्नोत्तरी सदिशों के विभिन्न पहलुओं पर आधारित है, जिसमें कोण, प्रक्षिप्त और लंबवत संबंध शामिल हैं। छात्रों को समीकरणों के समाधान, परिमाण और मात्रक सदिशों की पहचान करना होगा। गणितीय क्षमताओं को बढ़ाने के लिए यह एक उत्कृष्ट अवसर है।
