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Questions and Answers
Qual è il significato di β0 nell'equazione di regressione lineare semplice?
Qual è il significato di β0 nell'equazione di regressione lineare semplice?
Qual è l'obiettivo principale del metodo dei minimi quadrati nella regressione lineare?
Qual è l'obiettivo principale del metodo dei minimi quadrati nella regressione lineare?
Cosa indica il coefficiente angolare β1 nella regressione lineare semplice?
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Nell'equazione Y = f(X) + ε, cosa rappresenta ε?
Nell'equazione Y = f(X) + ε, cosa rappresenta ε?
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Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo la variabile Y nella regressione lineare?
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Cosa rappresenta Yi nella formula Yi = β0 + β1Xi + εi?
Cosa rappresenta Yi nella formula Yi = β0 + β1Xi + εi?
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Cosa indica la retta di regressione nel contesto della regressione lineare semplice?
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Quale delle seguenti equazioni rappresenta la relazione nella regressione lineare semplice?
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Quale affermazione è corretta riguardo al coefficiente di regressione β1?
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Cosa rappresenta la somma dei quadrati di regressione (SSR)?
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Qual è la relazione fondamentale della decomposizione della varianza totale?
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Qual è la funzione del coefficiente di determinazione r2?
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Cosa accade al modello se SSR aumenta?
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Se β1 < 0, quale tipo di relazione esiste tra x ed y?
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Cosa descrive la devianza di errore (SSE)?
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Qual è la conseguenza di un r2 pari a 0?
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Cosa indica un valore di $r^2 = 1$?
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Cosa implica un p-value inferiore al livello di significatività?
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Quando si rigetta l'ipotesi nulla (H0)?
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Qual è il significato del coefficiente di determinazione (r2)?
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Cosa rappresenta un p-value conforme a un livello di significatività di 0.01?
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Study Notes
Regressione Lineare Semplice
- La regressione lineare semplice analizza la relazione tra due variabili quantitative: una dipendente (Y) e una indipendente (X).
- L'obiettivo è comprendere come la variabile Y è influenzata dalla variabile X.
Modello di Regressione Lineare Semplice
- Il modello considera solo due variabili quantitative : una dipendente e una indipendente (o esplicativa).
- La relazione tra X e Y è descritta da una funzione lineare (equazione di regressione lineare semplice).
- L'equazione fornisce una stima della retta di regressione della popolazione: Y=β0+ β1X
- β0: intercetta, ossia il valore medio stimato di Y quando X=0
- β1: coefficiente angolare della retta che indica quanto varia Y per una variazione unitaria di X.
- Nella realtà, Y è influenzata non solo da X, ma anche da altri fattori non osservati.
- La relazione diventa: Y= f(X)+ε
- f(X) è la funzione di regressione ed esprime come il valore medio di Y varia al variare di X.
- ε è l'errore, che rappresenta il contributo di tutti gli altri fattori non considerati, ma in grado di influenzare il valore. È una variabile casuale.
- L'analisi della regressione ha lo scopo di stimare la funzione di regressione e la grandezza della variabile casuale ε (errore).
- Yi= β0 + β1Xi + εi
- β0 + β1Xi nella formula corrisponde a 𝒀 ̂ teorico mentre Yi è quello empirico, cioè il valore osservato (poiché include εi)
- Nel modello di regressione lineare semplice β0 e β1 (chiamati coefficienti di regressione) sono incogniti e da stimare.
Metodo dei Minimi Quadrati
- L'obiettivo è stabilire la retta di regressione (retta blu) che meglio approssima la relazione tra due variabili quantitative Y ed X.
- La distanza tra i valori osservati di Y (pallini viola nel grafico) e i valori predetti dalla retta di regressione (retta blu) rappresenta l'errore o residuo.
- L'obiettivo è minimizzare la somma dei quadrati di questi residui, cioè le differenze tra i valori osservati (Y) e quelli predetti (𝒀̂ ).
- Bisogna individuare i coefficienti di regressione “β0“e “β1” che minimizzano la somma dei quadrati dei residui tra Y e 𝒀 ̂.
- Questo processo determina la retta che meglio approssima la "nuvola dei punti".
- 𝑥̅ 𝑒 𝑦̅ sono rispettivamente le medie campionarie di X e Y
- β1 = 𝑪𝑶𝑫𝑬𝑽𝑰𝑨𝑵𝒁𝑨 𝒅𝒊 𝑿,𝒀 / 𝑫𝑬𝑽𝑰𝑨𝑵𝒁𝑨 𝑿
- β1 può assumere valori da - ∞ a + ∞
Relazione tra β1 e la Correlazione lineare
- Se β1 > 0: retta crescente à y aumenta all’aumentare di x. Relazione diretta (concordanza tra i due caratteri)
- Se β1 < 0: retta decrescente à y diminuisce all’aumentare di x e viceversa. Relazione inversa (discordanza tra i due caratteri)
- Se β1 = 0: assenza di dipendenza lineare tra x ed y à y è indipendente da x.
- Il coefficiente di regressione “β1” dipende da quello di correlazione lineare ρ di Pearson. Se quest’ultimo è positivo lo sarà anche quello di regressione.
Qualità della Regressione
- Per capire la Qualità della Regressione, cioè la qualità dell’adattamento del nostro modello ai dati, si va a costruire l’Indice r2 che nasce dalla scomposizione della Devianza di Y (devianza di regressione e devianza dell’errore).
Decomposizione della Varianza Totale
- La decomposizione della varianza totale della variabile Y è una proprietà delle stime dei minimi quadrati nei modelli di regressione lineare.
- Questa proprietà ci permette di suddividere la varianza totale dei dati nella varianza spiegata dal modello di regressione e nella varianza non spiegata (residuale).
- La relazione fondamentale è: SST=SSR+SSE
- SST = somma totale dei quadrati (variazione totale). Si calcola come la somma dei quadrati delle differenze tra i valori osservati “Yi“ dalla loro media "𝑦̅“.
- SSR = somma dei quadrati di regressione (variazione spiegata). Rappresenta la somma dei quadrati delle differenze tra i valori stimati dal modello di regressione 𝑦̂𝑖 e la media "𝑦̅“.
- SSE = somma dei quadrati dell’errore (variazione non spiegata). Rappresenta la somma dei quadrati delle differenze tra i valori osservati yi e i valori teorici stimati 𝑦̂𝑖
- Quanto maggiore è SSR tanto migliore sarà il nostro modello.
Coefficiente di Determinazione (r2)
- Il coefficiente di determinazione, indicato con r2, è una misura che indica quanto bene i valori osservati si accostano ai valori teorici (ossia quelli previsti dal modello di regressione lineare).
- In altre parole r2, ci dice quanto della variabilità totale dei dati è spiegata dal modello di regressione.
- r2=𝑺𝑺𝑹 / 𝑺𝑺𝑻
- Il coefficiente di determinazione varia tra 0 e 1.
- r2 =1 indica che c’è relazione lineare perfetta tra X e Y, cioè il modello spiega perfettamente la variabilità dei dati (il 100% della variazione di Y è spiegata dalla variazione di X).
- 0< r2 < 1 indica che esiste una relazione lineare, ma non perfetta.
- r2 = 0 indica assenza di relazione lineare tra X e Y, il modello non spiega la variabilità dei dati.
Test di Significatività del Modello
- Si testa l'ipotesi nulla H0: β1 = 0 contro l'ipotesi alternativa H1: β1 ≠ 0.
- Si utilizza lo stimatore FSTAT (statistica test F) per valutare la significatività del modello di regressione.
- Si confronta FSTAT con il valore critico Fα (con α livello di significatività).
- Se FSTAT > Fα, si rigetta H0 e si conclude che il modello di regressione è significativamente migliore del modello nullo, indicando una relazione significativa tra X e Y.
- Se FSTAT ≤ Fα, non si rigetta H0, suggerendo che il modello potrebbe non spiegare in modo significativo la variazione in Y, e quindi non c’è relazione lineare tra le variabili.
P-Value (Valore p)
- Il p-value è una misura statistica che ci aiuta a valutare quanto i nostri dati supportino o meno un'ipotesi.
- In sostanza, misura quanto i dati sono in disaccordo con l'ipotesi nulla.
- Più piccolo è il p-value, più forte è l'evidenza contro l'ipotesi nulla.
- Il p-value è confrontato con un livello di significatività (α) predefinito (comunemente 0.05 o 0.01) che usiamo per decidere se il p-value è abbastanza piccolo da considerare le nostre evidenze contro l'ipotesi nulla significative.
- Rappresenta la massima probabilità con cui siamo disposti a commettere un errore di tipo I, ovvero rigettare erroneamente l'ipotesi nulla quando in realtà è vera.
- Se il p-value è inferiore al livello di significatività (p < α), si rigetta l'ipotesi nulla, altrimenti non si rigetta.
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Description
Questo quiz esplora i fondamentali della regressione lineare semplice, analizzando la relazione tra una variabile dipendente e una indipendente. Comprenderai come le variabili interagiscono e l'importanza dei coefficienti nella stima delle relazioni lineari.
