Réflexion et Transmission d'Ondes

Introduction

• Le chapitre porte sur la réflexion et la transmission des ondes à une interface, en se concentrant sur la compréhension physique et la détermination des coefficients de réflexion et de transmission.
• Les trois savoirs fondamentaux à acquérir sont : la conservation et la continuité aux interfaces, la démonstration de ces relations, et l'établissement de l'expression des coefficients de réflexion et de transmission.

Fiche de synthèse

• À l'interface entre deux milieux, une onde incidente crée une onde réfléchie et une onde transmise, dont les proportions dépendent des impédances des milieux.
• Un rapport d'impédance très élevé ou très faible conduit à une réflexion quasi totale et une puissance transmise presque nulle.
• Les équations des coefficients de transmission et de réflexion utilisent la conservation de la fréquence et la continuité entre les milieux.
• Les relations de conservation et de continuité se justifient par des arguments physiques comme la linéarité, l'invariance temporelle, et la limitation de la puissance.
• Dans un système de Fabry-Perot (trois milieux, deux interfaces), les coefficients dépendent des impédances, de l'épaisseur du milieu intermédiaire, et de la fréquence, permettant une adaptation d'impédance parfaite sous certaines conditions.

Ondes acoustiques planes

• Une onde acoustique sinusoïdale se propage le long de l'axe x et rencontre un milieu différent en x=0, avec une vitesse du son, une masse volumique, et une impédance acoustique différentes.
• Les ondes sont décrites par le déplacement, la vitesse particulaire et la surpression, qui sont exprimés en notation complexe regroupée dans un tableau.
• Les amplitudes complexes des ondes incidente, réfléchie et transmise sont notées E, V, Ψ, avec des indices I, R, T.
• Les nombres d’onde k1 et k2 dépendent de la pulsation et de la vitesse du son dans chaque milieu.

Relations entre les amplitudes

• L’onde incidente est liée à la vitesse particulaire par Ψ₁ = Z₁V₁, et la vitesse est liée au déplacement par V₁ = jωE₁.
• L’onde réfléchie est liée à la vitesse par Ψᵣ = -Z₁Vᵣ, et la vitesse est liée au déplacement par Vᵣ = jωEᵣ.
• L’onde transmise est liée à la vitesse par Ψᴛ = Z₂Vᴛ, et la vitesse est liée au déplacement par Vᴛ = jωEᴛ.
• Le problème peut être traité avec n'importe quelle grandeur (déplacement, vitesse, surpression), car les autres s'en déduisent.

Coefficients de réflexion et de transmission

• Le coefficient de réflexion en amplitude est le rapport entre les amplitudes complexes des ondes réfléchie et incidente.
• Le coefficient de transmission en amplitude est le rapport entre les amplitudes complexes des ondes transmise et incidente.
• Les coefficients de réflexion et de transmission dépendent de la grandeur physique considérée (vitesse particulaire, surpression, etc.).
• Il est possible de définir des coefficients pour le déplacement, l'accélération, la dilatation, etc.
• La continuité des trois grandeurs physiques (fréquence, déplacement, surpression) permet le calcul des coefficients à l'interface x=0.

Conservation et continuité à l'interface

• En régime sinusoïdal, l'onde transmise et l'onde réfléchie ont la même fréquence que l'onde incidente, car le système est linéaire et invariant en temps.
• S'il y a conservation de la fréquence, il ne peut pas y avoir conservation de la longueur d'onde, ni de la norme du vecteur d'onde.
• Il y a continuité du déplacement, de la vitesse et de l'accélération à l'interface entre deux milieux matériels à tout moment.
• L'interface ne se déchire pas, n'implique pas de mélange entre les milieux et ne crée pas de vide.
• Il y a continuité de la surpression à l'interface entre deux milieux matériels à tout moment.

Continuité de la surpression

• L'application du principe fondamental de la dynamique à une petite tranche de fluide permet de démontrer la continuité de la surpression à l'interface.

Coefficients en amplitude

• En exprimant la continuité de la vitesse particulaire et du déplacement à l'interface, on obtient des relations entre les amplitudes des ondes.
• Après résolution du système, on obtient les expressions des coefficients de réflexion et de transmission en fonction des impédances et des grandeurs physiques.

Puissance moyenne réfléchie ou transmise

• En utilisant les résultats du chapitre III, on peut calculer les puissances moyennes par unité de surface pour les ondes incidente, réfléchie et transmise.
• Les coefficients de réflexion et de transmission en puissance moyenne sont définis comme les rapports des puissances réfléchie ou transmise à la puissance incidente.
• La somme des coefficients de réflexion et de transmission est égale à 1, ce qui traduit la conservation de l'énergie.

Quelques cas limites

• Si les milieux ont les mêmes propriétés acoustiques (Z₁ = Z₂), il n'y a aucune réflexion et toute l'onde est transmise.
• Pour Z₂ >> Z₁, il y a réflexion quasi totale de la puissance incidente.
• Pour Z₂ << Z₁, il y a également réflexion quasi totale de la puissance incidente.
• Si les impédances sont différentes mais comparables, une partie de la puissance est transmise et une autre est réfléchie.
• La réflexion des ondes acoustiques est utilisée dans les sonars et les échographes médicaux.

Ondes électriques sur un câble coaxial

• Un signal électrique sinusoïdal se propage le long d'un câble coaxial et rencontre un changement d'impédance en x=0, ce qui cause une réflexion et une transmission.
• Les amplitudes complexes respectives du courant et de la tension incidents sont liées par U₁=Z₁I₁.

Conservation et continuité

• La pulsation du signal réfléchi et transmis est égale à la pulsation du signal incident ;le système étant linéaire et invariant en temps.
• Il y a continuité de la tension et de l'intensité à la jonction entre les deux câbles.

Coefficients de réflexion et transmission

• En exprimant les relations de continuité à la jonction, on peut calculer les coefficients de réflexion et de transmission en fonction des impédances.
• Il existe une parenté entre les coefficients de réflexions obtenus en acoustique, avec une analogie vitesse particulaire/courant, surpression/tension.
• Les puissances des signaux incidents, réfléchis, et transmis sont exprimées dans un tableau.
• On remarque que quelles que soient les impédances, R+T = 1, ce qui traduit la conservation de l’énergie.

Cas limites

• En cas de circuit ouvert (Z₂ → ∞), toute la puissance est réfléchie (R = 1), avec une réflexion avec changement de signe pour l'intensité.
• En cas de court-circuit (Z₂ = 0), il y a également réflexion totale (R = 1), avec une réflexion avec changement de signe pour la tension..
• Une adaptation d'impédance (Z₂ = Z₁) donne un coefficient de réflexion nul (R = 0) et une transmission totale (T = 1).

Trois milieux, deux interfaces : Systèmes de type Fabry-Perot

• Quand une onde traverse non pas une, mais plusieurs interfaces successives.
• Le résonateur de Fabry-Perot ,ou interféromètre de Fabry-Perot, est rencontré dans de multiples domaines : acoustique, optique, géophysique, électromagnétisme, physique quantique.

Un fabry-Perot acoustique est considéré

• On décrit les surpressions et les vitesses à l'aide des équations.
• La continuité nous donne un beau système de 4 équations à 4 inconnues.
• Les coefficients rv et τy ont une partie imaginaire non nulle, et que leur module dépend de la fréquence ; Fabry-Perot s'apparente alors alors à un filtre.

Lame quart d'onde

• Cas du Fabry-Perot particulièrement intéressant .
• Z2 = (Z1Z3)1/2 et d'épaisseur L = ⁄2/4 on réalise une adaptation d'impédance parfaite
• Attention : l’adaptation d’impédance n’est parfaite que pour les ondes sinusoïdales pour cos(k2L) = 0.