Réflexion et Transmission des Ondes

• Le chapitre aborde les phénomènes de réflexion et de transmission des ondes à l'interface entre deux milieux différents

Enjeux Principaux

• Le chapitre vise à comprendre ce qui se passe à l'interface entre deux milieux et à le décrire mathématiquement
• Il sert à déterminer les coefficients de réflexion et de transmission en fonction des propriétés des deux milieux

Savoirs Fondamentaux

• Il faut savoir énoncer, exprimer mathématiquement et justifier les relations de conservation et de continuité aux interfaces dans les cas acoustique et électrique
• La capacité à démontrer ces relations de continuité est importante, sauf pour la conservation de la fréquence
• L'établissement de l'expression des coefficients de réflexion et de transmission à une interface, en amplitude et en puissance, dans les cas acoustique et électrique, est essentiel

Synthèse du Chapitre

• Une onde incidente arrivant sur une interface entre deux milieux donne naissance à une onde réfléchie et une onde transmise, avec des proportions dépendant du rapport des impédances
• Une onde incidente subit une réflexion quasi totale à l'interface si le rapport des impédances est très grand ou très petit devant l'unité; la puissance transmise devient alors quasi nulle
• Les relations de conservation de la fréquence et de continuité des grandeurs pertinentes (surpression et vitesse en acoustique, tension et intensité en électricité) permettent d'obtenir les coefficients de réflexion et de transmission
• Les arguments physiques précis (linéarité, invariance temporelle, finitude de la puissance) justifient les relations de conservation et de continuité
• En présence de trois milieux et deux interfaces (système Fabry-Perot), les coefficients de réflexion et de transmission dépendent des impédances et de l'épaisseur du milieu intermédiaire, ainsi que de la fréquence de l'onde
• Il est possible de réaliser une adaptation d'impédance parfaite sous certaines conditions, permettant de transmettre toute la puissance incidente dans le troisième milieu

Ondes Acoustiques Planes

• Une onde acoustique sinusoïdale de pulsation se propageant dans un milieu caractérisé par une vitesse du son c1 et une masse volumique 𝜌1 rencontre un autre milieu en x=0
• On utilise pour décrire les ondes : déplacement ‘(x, t), vitesse particulaire 𝑣(x, t), et surpression *(x, t)
• Les amplitudes complexes de ces grandeurs sont notées E, V, et respectivement avec les indices I, R, et T pour incident, réfléchi, et transmis
• Les nombres d'onde sont définis comme k1 = 𝜔/c1 et k2 = 𝜔/c2 dans les milieux 1 et 2 respectivement

Relations Amplitudes

• L'onde incidente se propage vers les x croissants et vérifie : ΨI = Z1VI et VI = j𝜔Ei
• L'onde réfléchie se propage vers les x décroissants et respecte : ΨR = -Z1VR et VR = j𝜔ER
• L'onde transmise se propage vers les x croissants et suit : ΨT = Z2VT et VT = j𝜔ET

Coefficients Définition

• Le coefficient de réflexion en amplitude est défini comme rf = FR/FI
• Le coefficient de transmission en amplitude est défini comme tf = FT/FI

Continuité à l’Interface

• Il y a conservation de la fréquence si le système est linéaire et invariant en temps
• La continuité du déplacement à l'interface implique : ‘(x = 0-, t) = ‘(x = 0+, t)
• La vitesse particulaire (v(x, t) = ∂‘/∂t) et l'accélération (a(x, t) = ∂v/∂t) sont également continues à l'interface
• La continuité de la surpression à l'interface est exprimée par : Ψ(x = 0-, t) = Ψ(x = 0+, t)

Résolution des Equations de Continuité

• La continuité de la vitesse particulaire en x = 0 implique VI + VR = VT
• La continuité de la surpression en x = 0 implique ΨI + ΨR = ΨT, soit Z1VI - Z1VR = Z2VT
• En résolvant ce système, on obtient les coefficients de réflexion rv et transmission tv en fonction des impédances Z1 et Z2
• Les coefficients pour le déplacement et l'accélération sont égaux à ceux de la vitesse ; le coefficient de dilatation est égal à celui de la surpression

Puissance Moyenne

• Les intensités acoustiques sont exprimées en fonction des impédances et des vitesses
• Les coefficients de réflexion et de transmission en puissance sont définis comme les rapports des puissances réfléchie et incidente, et transmise et incidente
• La somme des coefficients de réflexion et de transmission en puissance est égale à 1 (R + T = 1)

Cas Limites

• Si Z1 = Z2, il n'y a pas de réflexion et toute l'onde est transmise
• Si Z2 >> Z1, il y a réflexion quasi totale et le coefficient de réflexion pour la surpression est positif tandis que celui de la vitesse est négatif
• Si Z2 << Z1, il y a réflexion quasi totale, mais le coefficient de réflexion pour la surpression est négatif et celui de la vitesse est positif
• En présence de deux milieux avec des impédances comparables mais différentes, une partie de la puissance est transmise et une partie est réfléchie

Applications

• La réflexion des ondes acoustiques est utilisée dans les sonars et les échographes pour détecter des changements d'impédance

Câble Coaxial

• Un signal électrique sinusoïdal se propage le long d'un câble coaxial, caractérisé par son inductance linéique Ʌ et sa capacité linéique Γ
• L'impédance électrique du câble est Z = √(Ʌ/Γ) = 1/(cΓ)
• En x=0, le signal électrique rencontre un changement d'impédance (Z2 ≠ Z1)
• Seule une partie du signal est transmise, l'autre partie est réfléchie

Représentation Ondes

• La différence de potentiel u(x, t) et le courant i(x, t) sont utilisés pour décrire les ondes en représentation complexe
• k1 = 𝜔/c1 et k2 = 𝜔/c2 désignent la norme du vecteur d'onde dans les câbles 1 et 2
• En combinant ces relations et les relations de continuité, on peut déterminer les coefficients de réflexion et de transmission pour la tension et le courant

Relations de Continuité

• Les trois équations de continuité à la jonction x = 0 sont :
• u1 + uR = uT (continuité de la tension)
• I1 + IR = IT (continuité du courant)

Coefficients Ondes

• Avec la continuité de la tension U1 + UR = UT et celle du courant I1 - IR = IT, on déduit :
• Ru = (Z2 - Z1)/ Z2 + Z1)
• Rz = U/U = Z2 + Z1

Puissance Moyenne

• On exprime ensuite P = ⟨u(x, t)i(x, t)⟩ pour obtenir R et T :
• et T = ( Z1/ Z1)
• Ce qui donne: R + T = 1
• Les équations simplifiées des limites dans les cas suivants :
• Ru = (-Z2 - Z1)/ Z2 1)
• et = (/Z2 + Z1)
• et R + T=1

Cas limites

• Dans la réflexion sur un circuit ouvert : (quand Z2 tend vers l'infinie) le courant et la tension deviennent : ri == -1 et ru ==1
• Dans la réflexion sur un court-circuit :(Z2 ==0) ri =1 et ru == -1
• Adaption d'impédance : R = 0, et T= 1 alors il y a transmission intégrale du câble 1 à 2

Fabry-Perot

• Un système avec trois milieux et deux interfaces peut être rencontré dans différents domaines comme l'acoustique, l'optique, ou la physique quantique
• Ce système est appelé résonateur ou interféromètre de Fabry-Perot
• La continuité en x = 0 et x = L donne l'amplitude de surpression réfléchie:
• uE Z3
• et . r = 1 A Z
• Où: est 0 et u est très influencé par j
• et La formule T1 == + est utilisée pour une impédance adaptée et une transmission intégrale sur les quatre quarts du systèmes
• avec T T = Z /Z