Redes Bayesianas en la IA: Guía

Redes Bayesianas

• Son modelos gráficos probabilísticos dentro de la Inteligencia Artificial.
• Representan un conjunto de variables aleatorias (nodos) y las dependencias probabilísticas entre ellas (arcos).
• Se utilizan para razonamiento probabilístico, predicción y toma de decisiones bajo incertidumbre.

Componentes Clave

• Nodos representan variables aleatorias (discretas o continuas).
• Arcos indican dependencias probabilísticas, donde la dirección muestra la influencia causal.
• La Tabla de Probabilidad Condicional (CPT) cuantifica la probabilidad de cada valor del nodo, dados los valores de sus padres.

Ejemplo de Red Bayesiana

• Variables consideradas son:
• A: Lluvia
• B: El césped está mojado
• C: Aspersores encendidos
• Estructura de la Red:
• A → B (La lluvia afecta si el césped está mojado).
• C → B (Los aspersores afectan si el césped está mojado).
• Ejemplo de CPT para B:

Inferencia en Redes Bayesianas

• Implica calcular la probabilidad de una variable dadas las evidencias observadas en otras variables.
• Algoritmos:
• Inferencia Exacta (para redes pequeñas).
• Muestreo de Cadena de Markov Monte Carlo (MCMC) (aproximación para redes grandes).

Aplicaciones de Redes Bayesianas

• Diagnóstico médico: Diagnóstico de enfermedades basado en síntomas.
• Análisis de riesgos: Evaluación de riesgos en finanzas y seguros.
• Visión Artificial: Reconocimiento de objetos en imágenes.
• Procesamiento del Lenguaje Natural: Modelado del significado de las palabras y oraciones.

Ventajas de las Redes Bayesianas

• Capacidad para manejar la incertidumbre.
• Representación del conocimiento causal.
• Incorporación del conocimiento experto.
• Facilidad para realizar inferencia probabilística.

Desventajas de las Redes Bayesianas

• Complejidad computacional para redes grandes.
• Dificultad en la adquisición de datos para aprender las CPT's.

Extensiones de las Redes Bayesianas

• Redes Bayesianas Dinámicas: Modelado de procesos que cambian con el tiempo.
• Redes Bayesianas Jerárquicas: Modelado de dependencias probabilísticas en múltiples niveles de granularidad.

Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)

• El objetivo es comparar distintas técnicas para resolver EDPs numéricamente.

Problema Modelo

• Se considera la ecuación del calor en 1D:

$\qquad \begin{aligned} & \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, \quad x \in [0, 1], \quad t > 0 \ & u(0, t) = u(1, t) = 0, \quad t > 0 \ & u(x, 0) = u_0(x), \quad x \in [0, 1] \end{aligned}$

Métodos Numéricos Considerados

• Diferencias finitas.
• Elementos finitos.
• Volúmenes finitos.

Criterios de Comparación

• Precisión.
• Estabilidad.
• Tiempo de cálculo.
• Facilidad de implementación.

Método de Diferencias Finitas

• Discretización: Se divide el intervalo $[0, 1]$ en $N$ puntos con un paso $\Delta x = \frac{1}{N-1}$, y el tiempo $t$ en $M$ pasos con un paso $\Delta t$. Se nota $u_i^n \approx u(x_i, t_n)$ donde $x_i = (i-1)\Delta x$ y $t_n = n\Delta t$.
• Esquemas:
• Euler Explicito: $\qquad u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n)$
• Euler Implícito: $\qquad u_i^{n+1} - \frac{\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i-1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i+1}^{n+1}) = u_i^n$
• Crank-Nicolson: $\qquad u_i^{n+1} - \frac{\Delta t}{2\Delta x^2}(u_{i-1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i+1}^{n+1}) = u_i^n + \frac{\Delta t}{2\Delta x^2}(u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n)$

Método de Elementos Finitos

• Se multiplica la ecuación por una función test $v \in H_0^1(0, 1)$ y se integra por partes: $\qquad \int_0^1 \frac{\partial u}{\partial t} v dx + \int_0^1 \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} dx = 0$
• Discretización: Se aproxima $u$ por una función $u_h$ perteneciente a un espacio de elementos finitos $V_h$:$\qquad \int_0^1 \frac{\partial u_h}{\partial t} v_h dx + \int_0^1 \frac{\partial u_h}{\partial x} \frac{\partial v_h}{\partial x} dx = 0, \quad \forall v_h \in V_h$
• Se usa un esquema de diferencias finitas para discretizar el tiempo.

Método de Volúmenes Finitos

• Discretización: Se divide el dominio en volúmenes de control.
• Se integra la ecuación sobre cada volumen de control.
• Luego se aproximan los flujos en las interfaces de los volúmenes de control.

Cuadro Comparativo de Métodos Numéricos para EDPs

Las Reglas de Inferencias

• Son formas lógicas que permiten obtener conclusiones válidas a partir de premisas.

Modus Ponens (MP)

• La forma es:
• $P \rightarrow Q$
• P
• ∴ Q
• Si está lloviendo, entonces hay nubes.
• Está lloviendo.
• ∴ Hay nubes.

Modus Tollens (MT)

• La forma es:
• $P \rightarrow Q$
• ¬Q
• ∴ ¬P
• Si está lloviendo, entonces hay nubes.
• No hay nubes.
• ∴ No está lloviendo.

Silogismo Hipotético (SH)

• La forma es:
• $P \rightarrow Q$
• $Q \rightarrow R$
• ∴ $P \rightarrow R$
• Si estudio, entonces aprendo.
• Si aprendo, entonces apruebo.
• ∴ Si estudio, entonces apruebo.

Silogismo Disyuntivo (SD)

• La forma es:
• $P \vee Q$
• ¬P
• ∴ Q
• O está soleado o está nublado.
• No está soleado.
• ∴ Está nublado.

Adición (A)

• La forma es:
• P
• ∴ $P \vee Q$
• Tengo una manzana.
• ∴ Tengo una manzana o una naranja.

Simplificación (S)

• La forma es:
• $P \wedge Q$
• ∴ P
• Tengo una manzana y una banana.
• ∴ Tengo una manzana.

Conjunción (C)

• La forma es:
• P
• Q - ∴ $P \wedge Q$
• Tengo una manzana.
• Tengo una banana.
• ∴ Tengo una manzana y una banana.

Dilema Constructivo (DC)

• La forma es:
• $(P \rightarrow Q) \wedge (R \rightarrow S)$
• $P \vee R$
• ∴ $Q \vee S$
• Si estudio, entonces apruebo y si tengo suerte, entonces apruebo.
• O estudio o tengo suerte.
• ∴ O apruebo o apruebo.

Doble Negación (DN)

• La forma es:
• P ⇔ ¬¬P
• No es verdad que no estoy contento ⇔ Estoy contento.

Ley de Morgan

• La forma es:
• ¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q)
• ¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P ∧ ¬Q)
• No es verdad que tengo una manzana y una banana ⇔ No tengo una manzana o no tengo una banana.
• No es verdad que tengo una manzana o una banana ⇔ No tengo una manzana y no tengo una banana.

Conmutación (Conm)

• La forma es:
• (P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P)
• (P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P)
• Tengo una manzana o una banana ⇔ Tengo una banana o una manzana.
• Tengo una manzana y una banana ⇔ Tengo una banana y una manzana.

Asociación (Asoc)

• La forma es:
• $(P \vee (Q \vee R)) ⇔ ((P \vee Q) \vee R)$
• $(P \wedge (Q \wedge R)) ⇔ ((P \wedge Q) \wedge R)$
• Tengo una manzana o (una banana o una naranja) ⇔ (Tengo una manzana o una banana) o una naranja.
• Tengo una manzana y (una banana y una naranja) ⇔ (Tengo una manzana y una banana) y una naranja.

Distribución (Dist)

• La forma es:
• $(P \wedge (Q \vee R)) ⇔ ((P \wedge Q) \vee (P \wedge R))$
• $(P \vee (Q \wedge R)) ⇔ ((P \vee Q) \wedge (P \vee R))$
• Tengo una manzana y (una banana o una naranja) ⇔ (Tengo una manzana y una banana) o (Tengo una manzana y una naranja).
• Tengo una manzana o (una banana y una naranja) ⇔ (Tengo una manzana o una banana) y (Tengo una manzana o una naranja).

Contraposición (Contrap)

• La forma es:
• $(P \rightarrow Q) ⇔ (¬Q \rightarrow ¬P)$
• Si está lloviendo, entonces hay nubes ⇔ Si no hay nubes, entonces no está lloviendo.

Equivalencia (Equiv)

• La forma es:
• $(P \leftrightarrow Q) ⇔ ((P \rightarrow Q) \wedge (Q \rightarrow P))$
• Está lloviendo si y solo si hay nubes ⇔ Si está lloviendo, entonces hay nubes y si hay nubes, entonces está lloviendo.

Exportación (Exp)

• La forma es:
• $((P \wedge Q) \rightarrow R) ⇔ (P \rightarrow (Q \rightarrow R))$
• Si tengo una manzana y una banana, entonces estoy contento ⇔ Si tengo una manzana, entonces si tengo una banana, estoy contento.

Tautología (Taut)

• La forma es:
• P ⇔ (P ∨ P)
• P ⇔ (P ∧ P)
• Tengo una manzana ⇔ Tengo una manzana o tengo una manzana.
• Tengo una manzana ⇔ Tengo una manzana y tengo una manzana.

Implicación Material (IM)

• La forma es:
• $(P \rightarrow Q) ⇔ (¬P \vee Q)$
• Si está lloviendo, entonces hay nubes ⇔ No está lloviendo o hay nubes.

Definiciones Básicas

• Experimento Aleatorio: Experimento cuyo resultado no puede predecirse con certeza.
• Lanzar una moneda o tirar dados son ejemplos.
• Espacio Muestral: El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
• Lanzar una moneda: $S = {H, T}$.
• Tirar un dado: $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$.
• Evento: Un subconjunto del espacio muestral.
• Lanzar una moneda: $E = {H}$.
• Tirar un dado: $E = {\text{Números pares}} = {2, 4, 6}$.
• Probabilidad: Una medida de la probabilidad de que ocurra un evento.
• $P(E) = \frac{\text{Número de resultados en E}}{\text{Número total de resultados en S}}$

Axiomas de Probabilidad

1. Para cualquier evento E, $0 \leq P(E) \leq 1$.
2. $P(S) = 1$.
3. Si $E_1, E_2, E_3,...$ son eventos mutuamente excluyentes, entonces $P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup...) = \sum_{i=1}^{\infty} P(E_i)$.

Reglas Básicas de Probabilidad

• Regla del Complemento: $P(E^c) = 1 - P(E)$, donde $E^c$ es el complemento de E.
• Regla de Adición: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Probabilidad Condicional: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, donde $P(B) > 0$.
• Regla de Multiplicación: $P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$.
• Eventos Independientes: Dos eventos A y B son independientes si $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ o $P(A|B) = P(A)$.

Variables Aleatorias

• Definición: Una función que asigna un valor numérico a cada resultado en el espacio muestral.

Tipos de Variables Aleatorias

• Discreta: Puede tomar solo un número finito o infinito contable de valores.
• Continua: Puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado.

Distribuciones de Probabilidad

• Variables Aleatorias Discretas:

• Función de Masa de Probabilidad (PMF): $P(X = x)$.

• Función de Distribución Acumulativa (CDF): $F(x) = P(X \leq x)$.

• Variables Aleatorias Continuas:

• Función de Densidad de Probabilidad (PDF): $f(x)$, donde $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$.

• Función de Distribución Acumulativa (CDF): $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$.

Ejemplos de Distribuciones de Probabilidad

• Discretas:
• Bernoulli
• Binomial
• Poisson
• Continuas:
• Normal
• Exponencial
• Uniforme

Valor Esperado y Varianza

• Valor Esperado (Esperanza):
• $E[X] = \sum xP(X=x)$ (Discreta)
• $E[X] = \int xf(x) dx$ (Continua)
• Varianza:
• $Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$

Constante de Planck

• Nombrada en honor a Max Planck, fundador de la mecánica cuántica
• Es una constante física fundamental que establece la escala de los efectos cuánticos.
• Relaciona la energía de un fotón con su frecuencia: $E = h f$, donde
• E es la energía del fotón
• f es la frecuencia del fotón
• h es la constante de Planck
• El valor de la constante de Planck es $h = 6.626 \times 10^{-34} J \cdot s$ y $h = 4.136 \times 10^{-15} eV \cdot s$
• La constante reducida de Planck (constante de Dirac) es $\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1.054 \times 10^{-34} J \cdot s = 6.582 \times 10^{-16} eV \cdot s$
• La energía generalmente se mide en electrón voltios (eV) cuando se trata de partículas atómicas y subatómicas: $1 eV = 1.602 \times 10^{-19} J$

Importancia de la Constante de Planck

• Cuantización de la Energía: La energía no es continua, sino que existe en paquetes discretos llamados cuantos, cuyo tamaño es proporcional a la constante de Planck.
• Principio de Incertidumbre: Fundamental para el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, que establece un límite en la precisión con la que se pueden conocer simultáneamente ciertas propiedades físicas de una partícula, como la posición y el momento.

Aplicación de la Constante de Planck

• Efecto Fotoeléctrico: Einstein explicó el efecto fotoeléctrico usando la constante de Planck, demostrando que la luz se compone de partículas (fotones) con energía proporcional a su frecuencia.
• Espectros Atómicos: Se utiliza para calcular los niveles de energía y espectros de átomos, explicando por qué los átomos emiten luz en longitudes de onda específicas.
• Radiación de Cuerpo Negro: La ley de Planck describe el espectro de radiación electromagnética emitida por un cuerpo negro e involucra la constante de Planck.