Racjonalne liczby

Rational Numbers

Definition

• A rational number is a number that can be expressed as the ratio of two integers, i.e., a fraction.
• It can be written in the form a/b, where a and b are integers and b is non-zero.

Properties

• Commutative Property: The order of the numbers in a rational number does not change its value.
  • a/b = b/a
• Associative Property: The order in which rational numbers are added or multiplied does not change the result.
  • (a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)
  • (a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)
• Distributive Property: Rational numbers can be distributed over addition and subtraction.
  • a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)
  • a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)

Operations

• Addition: To add two rational numbers, add the numerators and keep the same denominator.
  • a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)
• Subtraction: To subtract one rational number from another, subtract the numerators and keep the same denominator.
  • a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)
• Multiplication: To multiply two rational numbers, multiply the numerators and multiply the denominators.
  • (a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)
• Division: To divide one rational number by another, invert the second number and multiply.
  • (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)

Equivalent Ratios

• Two rational numbers are equivalent if they have the same value.
• Equivalent ratios can be obtained by multiplying or dividing both the numerator and denominator by the same non-zero integer.
• For example, 1/2 is equivalent to 2/4, 3/6, etc.

Simplifying Rational Numbers

• A rational number is in its simplest form if the greatest common divisor (GCD) of the numerator and denominator is 1.
• To simplify a rational number, divide both the numerator and denominator by their GCD.
• For example, 6/8 can be simplified to 3/4 by dividing both numbers by their GCD, which is 2.

Liczby Racjonalne

Definicja

• Liczba racjonalna to liczba, która może być wyrażona jako stosunek dwóch liczb całkowitych, czyli ułamek.
• Może być zapisana w formie a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b jest niezerowe.

Własności

• Własność przemienności: Zamiana kolejności liczb w liczbach racjonalnych nie zmienia ich wartości.
• Własność łączności: Kolejność dodawania lub mnożenia liczb racjonalnych nie zmienia wyniku.
• Własność rozdzielności: Liczby racjonalne mogą być rozdzielone w ramach dodawania i odejmowania.

Operacje

• Dodawanie: Aby dodać dwie liczby racjonalne, należy dodać ich liczniki i zachować ten sam mianownik.
• Odejmowanie: Aby odjąć jedną liczbę racjonalną od drugiej, należy odjąć liczniki i zachować ten sam mianownik.
• Mnożenie: Aby pomnożyć dwie liczby racjonalne, należy pomnożyć ich liczniki i pomnożyć mianowniki.
• Dzielenie: Aby podzielić jedną liczbę racjonalną przez drugą, należy odwrócić drugą liczbę i pomnożyć.

Równoważne Stosunki

• Dwie liczby racjonalne są równoważne, jeśli mają tę samą wartość.
• Równoważne stosunki mogą być uzyskane poprzez mnożenie lub dzielenie obu licznika i mianownika przez ten sam niezerowy licznik całkowity.

Uproszczanie Liczb Racjonalnych

• Liczba racjonalna jest w swojej najprostszej formie, jeśli największy wspólny dzielnik (NWD) licznika i mianownika jest równy 1.
• Aby uprościć liczbę racjonalną, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik przez ich NWD.

Równania Kwadratowe

• Równanie kwadratowe w postaci standardowej: ax^2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są stałymi, a a ≠ 0
• Równanie kwadratowe w postaci faktoryzowanej: (x - r)(x - s) = 0, gdzie r i s są pierwiastkami równania
• Formuła kwadratowa: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, gdzie a, b, c są współczynnikami postaci standardowej

Pojęcia Kluczowe

• Pierwiastki równania: wartości x, które spełniają równanie
• Dyskryminant (b^2 - 4ac): określa liczbę pierwiastków (dodatni: 2 pierwiastki rzeczywiste, zero: 1 pierwiastek rzeczywisty, ujemny: 2 pierwiastki zespolone)
• Oś symetrii: x = -b / 2a, pionowa linia przechodząca przez wierzchołek paraboli

Równania Liniowe

• Równanie liniowe w postaci kąta nachylenia: y = mx + b, gdzie m jest kątem nachylenia, a b jest przecięciem z osią y
• Równanie liniowe w postaci punktu-kąta: y - y1 = m(x - x1), gdzie (x1, y1) jest punktem na linii, a m jest kątem nachylenia
• Równanie liniowe w postaci standardowej: ax + by = c, gdzie a, b, c są stałymi, a a i b nie są zerowe

Pojęcia Kluczowe

• Kąt nachylenia (m): mierzy stromność linii (dodatni: rośnie, ujemny: spada, zero: pozioma)
• Przecięcie z osią y (b): punkt, w którym linia przecina oś y
• Linie równoległe: mają ten sam kąt nachylenia, ale różne przecięcia z osią y
• Linie prostopadłe: mają kąty nachylenia, które są wzajemnymi liczbami ujemnymi