¿Qué es la Estadística?

¿Qué es la estadística?

• La estadística es un conjunto de métodos que incluyen la planificación de estudios, la obtención, organización, resumen, presentación, análisis e interpretación de datos para llegar a conclusiones.

Tipos de estadística

• Estadística descriptiva: Se usa para resumir y describir características de un conjunto de datos conocido.
• Estadística inferencial: Se utiliza para inferir o generalizar sobre una población basándose en los datos de una muestra.

Conceptos clave

• Población: Conjunto completo de todos los elementos de interés en el estudio.
• Muestra: Subconjunto de la población que se utiliza para el análisis.
• Parámetro: Medición numérica que describe una característica de la población.
• Estadístico: Medición numérica que describe una característica de la muestra.
• Variable: Característica que puede tomar diferentes valores.
  • Variable cuantitativa: Valores numéricos que representan conteos o mediciones.
    • Discreta: Número finito de valores o valores contables.
    • Continua: Infinitos valores en una escala continua.
  • Variable cualitativa (o categórica): Valores no numéricos clasificados en categorías.
    • Nominal: Datos consisten en nombres, etiquetas o categorías que no se pueden ordenar.
    • Ordinal: Datos que se pueden ordenar, pero las diferencias entre los valores no tienen sentido.

Niveles de medición

• Nominal: Solo categorías sin orden.
• Ordinal: Categorías con un orden específico.
• Intervalo: Diferencias significativas, pero sin un punto de partida cero natural.
• Razón: Punto de partida cero natural donde las proporciones tienen sentido.

Recolección de datos

• Estudios observacionales: Se observan y miden características sin modificar a los sujetos.
• Experimentos: Se aplica un tratamiento y se observan los efectos en los sujetos.

Muestreo

• Aleatorio: Cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido.
• Sistemático: Se elige un punto de partida aleatorio y luego se selecciona cada k-ésimo elemento.
• Conveniencia: Se utilizan resultados que son fáciles de obtener.
• Estratificado: La población se divide en grupos (estratos) con características compartidas, y se toma una muestra de cada estrato.
• Conglomerados: La población se divide en secciones (conglomerados), se eligen al azar algunos de ellos y se seleccionan todos los miembros de los conglomerados elegidos.

Tipos de estudios

• Transversal: Los datos se observan, miden y recopilan en un solo momento.
• Retrospectivo: Los datos se recopilan del pasado.
• Prospectivo: Los datos se recopilan en el futuro.

Errores

• Error de muestreo: Diferencia entre un resultado muestral y el verdadero resultado de la población.
• Error no muestral: Resultado de errores humanos, como entrada de datos incorrecta, cálculos erróneos o preguntas tendenciosas.

Álgebra Lineal

Definición

• Una aplicación $f: E \rightarrow F$ es lineal si:
  • $f(x + y) = f(x) + f(y)$
  • $f(\lambda x) = \lambda f(x)$
  • $\forall x, y \in E, \forall \lambda \in \mathbb{K}$

Teorema del rango

• Sea $f: E \rightarrow F$ una aplicación lineal con $E$ de dimensión finita. Entonces :
  • $\dim(E) = \dim(\operatorname{Im}(f)) + \dim(\operatorname{Ker}(f))$
    • $\operatorname{Im}(f)$ es la imagen de $f$
    • $\operatorname{Ker}(f)$ es el núcleo de $f$

Endomorfismo

• Una aplicación lineal de $E$ en $E$ se llama endomorfismo.

Isomorfismo

• Una aplicación lineal biyectiva es llamada isomorfismo.

Representación matricial

• Sea $f: E \rightarrow F$ una aplicación lineal, con $E$ y $F$ de dimensiones finitas.
• Se puede representar $f$ con una matriz $A$ tal que:
  • $f(x) = Ax$
• $x$ es un vector de $E$ representado en una base dada.

Cambio de base

• Si $P$ es la matriz de paso de la base $B$ a la base $B'$, entonces la matriz $A'$ de $f$ en la base $B'$ está dada por:
  • $A' = P^{-1} A P$

Valores propios y vectores propios

• Sea $A$ una matriz cuadrada.
• Un vector propio de $A$ es un vector no nulo $v$ tal que:
  • $Av = \lambda v$
• $\lambda$ es un valor propio de $A$.

Diagonalización

• Una matriz $A$ es diagonalizable si existe una matriz invertible $P$ y una matriz diagonal $D$ tales que:
  • $A = PDP^{-1}$
• Las columnas de $P$ son los vectores propios de $A$, y los elementos diagonales de $D$ son los valores propios de $A$.

Trigonalización

• Cualquier matriz cuadrada con coeficientes en $\mathbb{C}$ es trigonalizable.
• Existe una matriz invertible $P$ y una matriz triangular superior $T$ tales que:
  • $A = P T P^{-1}$

Hoja de Trucos de Termodinámica

Definiciones Clave

• Sistema Termodinámico: Parte del universo que nos interesa estudiar.
• Entorno: Todo fuera del sistema.
• Frontera: Superficie que divide el sistema del entorno.
• Sistema Abierto: Puede intercambiar tanto energía como materia con el entorno.
• Sistema Cerrado: Puede intercambiar energía pero no materia.
• Sistema Aislado: No puede intercambiar ni energía ni materia.
• Sistema Adiabático: No puede intercambiar calor con el entorno.

Funciones de Estado

• Función de Estado: Propiedad que depende solo del estado actual del sistema, no de cómo se alcanzó ese estado.
  • Ejemplos: Energía interna (U), entalpía (H), entropía (S), energía libre de Gibbs (G), temperatura (T), presión (P), volumen (V).
• Función de Trayectoria: Propiedad que depende del camino recorrido para alcanzar un cierto estado.
  • Ejemplos: Calor (q), trabajo (w).

Leyes de la Termodinámica

• Ley Cero: Si dos sistemas están cada uno en equilibrio térmico con un tercer sistema, entonces están en equilibrio térmico entre sí.
• Primera Ley: La energía total de un sistema aislado es constante. La energía puede convertirse de una forma a otra, pero no puede ser creada ni destruida.
  • $\Delta U = q + w$
    • $\Delta U$: Cambio en la energía interna
    • $q$: Calor añadido al sistema
    • $w$: Trabajo realizado sobre el sistema
• Segunda Ley: La entropía de un sistema aislado tiende a aumentar.
  • $\Delta S \geq 0$
    • $\Delta S$: Cambio en la entropía
• Tercera Ley: La entropía de un cristal perfecto en el cero absoluto (0 K) es exactamente cero.

Procesos Termodinámicos

• Isotérmico: Temperatura constante ($\Delta T = 0$).
• Isobárico: Presión constante ($\Delta P = 0$).
• Isocórico (Isovolumétrico): Volumen constante ($\Delta V = 0$).
• Adiabático: No hay intercambio de calor ($q = 0$).
• Reversible: Proceso que puede ser invertido por un cambio infinitesimal en las condiciones.
• Cíclico: El sistema regresa a su estado inicial.

Ecuaciones Importantes

• Entalpía: $H = U + PV$
• Energía Libre de Gibbs: $G = H - TS$
• Trabajo (general): $w = -\int{P_{ext}dV}$
• Trabajo (isobárico): $w = -P\Delta V$
• Capacidad Calorífica: $q = C\Delta T$
  • $C_p$: Capacidad calorífica a presión constante
  • $C_v$: Capacidad calorífica a volumen constante
• Cambio de Entropía: $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T}$
• Ley de los Gases Ideales: $PV = nRT$
  • $P$: Presión
  • $V$: Volumen
  • $n$: Número de moles
  • $R$: Constante de los gases ideales (8.314 J/(mol·K))
  • $T$: Temperatura
• Ecuación de Clausius-Clapeyron: $\ln(\frac{P_2}{P_1}) = -\frac{\Delta H_{vap}}{R}(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1})$

Potenciales Termodinámicos

Relaciones de Maxwell

Derivadas de los potenciales termodinámicos, estas relaciones vinculan varias variables termodinámicas:

• $(\frac{\partial T}{\partial V})_S = -(\frac{\partial P}{\partial S})_V$
• $(\frac{\partial T}{\partial P})_S = (\frac{\partial V}{\partial S})_P$
• $(\frac{\partial S}{\partial V})_T = (\frac{\partial P}{\partial T})_V$
• $(\frac{\partial S}{\partial P})_T = -(\frac{\partial V}{\partial T})_P$

Transiciones de Fase

• Ecuación de Clausius-Clapeyron: Describe la pendiente de la curva de coexistencia entre dos fases.
• Calor Latente: Calor absorbido o liberado durante una transición de fase a temperatura y presión constantes.
• Regla de Fases de Gibbs: $F = C - P + 2$
  • $F$: Grados de libertad
  • $C$: Número de componentes
  • $P$: Número de fases

Termodinámica Estadística

• Distribución de Boltzmann: $P_i = \frac{e^{-E_i/kT}}{Z}$
  • $P_i$: Probabilidad de que un sistema esté en el estado i
  • $E_i$: Energía del estado i
  • $k$: Constante de Boltzmann ($1.38 \times 10^{-23} J/K$)
  • $T$: Temperatura
  • $Z$: Función de partición
• Función de Partición: $Z = \sum_i{e^{-E_i/kT}}$
  • Suma sobre todos los estados posibles del sistema.
• Entropía (Estadística): $S = k \ln W$
  • $W$: Número de microestados correspondientes a un macroestado dado.

Celdas Electroquímicas

• Ecuación de Nernst: $E = E^0 - \frac{RT}{nF}\ln Q$
  • $E$: Potencial de la celda
  • $E^0$: Potencial estándar de la celda
  • $R$: Constante de los gases ideales
  • $T$: Temperatura
  • $n$: Número de moles de electrones transferidos
  • $F$: Constante de Faraday (96485 C/mol)
  • $Q$: Cociente de reacción
• Energía Libre de Gibbs y Potencial de la Celda: $\Delta G = -nFE$

Conferencia 18: 29 de octubre

SVMs: Máquinas de Vectores de Soporte

• Clasificadores de margen amplio.
• Kernels de Mercer.
• Límites de decisión no lineales.
• Resuelven problemas de programación cuadrática.
• Generalizan bien a nuevos conjuntos de datos.
• Utilizadas por muchos investigadores.

Hiperplano de Separación Óptimo

• Considerar el problema de separar ejemplos positivos (+ve) y negativos (-ve) mediante un hiperplano.
• Pueden existir muchos hiperplanos.
• Elegir el hiperplano que da la mayor separación entre los ejemplos +ve y -ve.
• Clasificador de "margen más grande".

Definición Formal

• Son hiperplanos que separan los ejemplos +ve y -ve.
• Encontrar los ejemplos +ve y -ve más cercanos.
• Calcular la distancia a cada uno de estos ejemplos.
• Elegir el hiperplano que maximice esta distancia (es el "hiperplano de separación óptimo").

Notación

• $x$ es un vector de atributos
• $y \in {-1, +1}$ es una etiqueta de clase
• El hiperplano está definido por $w \cdot x + b = 0$
• $w$ es un vector de peso
• $b$ es un término de sesgo
• Se asume que los datos son linealmente separables.

Margen Funcional

• El margen funcional del i-ésimo ejemplo $(x_i, y_i)$ con respecto al hiperplano $(w, b)$ se define como:
  • $\gamma_i = y_i(w \cdot x_i + b)$

Margen Geométrico

• El margen geométrico del i-ésimo ejemplo $(x_i, y_i)$ con respecto al hiperplano $(w, b)$ es la distancia euclidiana de $x_i$ al hiperplano.
• Derivar una expresión, considerar el punto:
  • $x_i - \gamma \frac{w}{|w|}$
• Este punto está en el hiperplano, por lo tanto:
  • $w \cdot (x_i - \gamma \frac{w}{|w|}) + b = 0$
• Resolviendo para $\gamma$, se obtiene:
  • $\gamma_i = \frac{y_i(w \cdot x_i + b)}{|w|}$

Maximizando el Margen

• Se busca elegir $w$ y $b$ para maximizar el margen.
• La distancia entre los puntos más cercanos al hiperplano es $\frac{2}{|w|}$.
• Queremos minimizar $|w|$.
• Asegurar que todos los ejemplos están correctamente clasificados.

Programación Cuadrática

• Resolver este problema de optimización usando programación cuadrática.
• La solución es un conjunto de pesos $w$ y $b$ que definen el hiperplano de separación óptimo.
• El hiperplano está definido por $w \cdot x + b = 0$.
• El margen es $\frac{1}{|w|}$.

Vectores de Soporte

• Son ejemplos que están más cerca del hiperplano.
• Son ejemplos para los cuales la restricción $y_i(w \cdot x_i + b) \geq 1$ está activa.
• Son los ejemplos más importantes para definir el hiperplano.

Datos No Linealmente Separables

• Los datos no son linealmente separables.
• Se utiliza una transformación no lineal para mapear los datos en un espacio de mayor dimensión.
• En este espacio, los datos pueden ser linealmente separables.
• Este es el "truco del kernel".

Truco del Kernel

• Permite calcular el producto punto en el espacio de mayor dimensión sin mapear explícitamente los datos en ese espacio (ahorra tiempo de cálculo).
• Un kernel es una función que toma dos puntos de datos como entrada y devuelve el producto punto de sus imágenes en el espacio de mayor dimensión.

Kernels Comunes

• Kernel lineal: $K(x, x') = x \cdot x'$
• Kernel polinómico: $K(x, x') = (x \cdot x' + 1)^d$
• Kernel gaussiano: $K(x, x') = e^{-\frac{|x - x'|^2}{2\sigma^2}}$

Kernels de Mercer

• Un kernel es un kernel de Mercer si y solo si es simétrico y semidefinido positivo.
• Esto significa que la matriz del kernel $K_{ij} = K(x_i, x_j)$ es semidefinida positiva.
• Garantizados para corresponder a un producto punto en algún espacio de mayor dimensión.

Eligiendo un Kernel

• La elección depende de los datos.
• El kernel lineal es una buena opción para datos linealmente separables.
• El kernel polinómico para datos agrupados no linealmente.
• El kernel gaussiano para datos no bien entendidos.

SVMs Multiclase

• Se extiende para manejar problemas multiclase.
• Un enfoque común es entrenar un conjunto de SVMs uno-vs-todos.
• Otro enfoque es entrenar un conjunto de SVMs uno-vs-uno.

Ventajas de los SVMs

• Efectivos en espacios de alta dimensión.
• Efectivos cuando el número de dimensiones es mayor que el número de muestras.
• Relativamente eficientes en memoria.
• Versátiles: se pueden especificar diferentes funciones de Kernel para la función de decisión.

Desventajas de los SVMs

• Propensos al sobreajuste si el número de características es mucho mayor que el número de muestras.
• No proporcionan directamente estimaciones de probabilidad.

Ingeniería Química

Operaciones de Transferencia de Masa 1

• Instructor: Prof. Dr. Mazhar Abbasi
• Departamento: Ingeniería Química
• Universidad: NED University of Engineering & Technology

Contenido del Curso

Parte 1: Introducción

• Difusión Molecular:
  • Ley de Fick
  • Estimación de difusividad
  • Difusión en gases y líquidos
  • Difusión en estado estacionario
  • Difusión a través de área variable
  • Contradifusión equimolar
  • Difusión a través de gas estancado
  • Difusión con reacción química homogénea
  • Difusión en sólidos

Parte 2: Transferencia de Masa Convectiva

• Coeficientes de Transferencia de Masa:
  • Teoría de las dos películas
  • Teoría de la penetración
  • Teoría de la renovación de la superficie
• Correlaciones de Transferencia de Masa:
  • Grupos adimensionales
  • Transferencia de masa dentro de tuberías
  • Transferencia de masa fuera de cilindros y esferas individuales
  • Transferencia de masa en lechos empacados y fluidizados

Parte 3: Transferencia de Masa Interfacial

• Equilibrio:
  • Solubilidad de gases en líquidos
  • Teoría de las dos resistencias
• Coeficientes de Transferencia de Masa:
  • Coeficiente de transferencia de masa total
• Línea de Operación:
  • Balance de materia
• Equipo:
  • Equipo de contacto gas-líquido

Parte 4: Absorción

• Absorción:
  • Enfoques basados en la velocidad y basados en el equilibrio
  • Diseño de torres empacadas
  • Internos de columnas empacadas
  • Tipos de empaque
  • Altura de la unidad de transferencia (HTU)
  • Número de unidades de transferencia (NTU)
  • Stripping (desorción)

Parte 5: Destilación

• Equilibrio Vapor-Líquido (VLE):
  • Ley de Raoult
  • Volatilidad relativa
• Destilación:
  • Destilación flash
  • Destilación diferencial
  • Destilación continua
  • Método de McCabe-Thiele
  • Relación de reflujo óptima
  • Reflujo total
  • Reflujo mínimo

Libros Recomendados

1. "Mass Transfer Operations" de Robert E. Treybal
2. "Unit Operations of Chemical Engineering" de McCabe, Smith, y Harriott
3. "Transport Processes and Separation Process Principles" de Christie J. Geankoplis

Criterios de Evaluación

• Sesiones: 40%
• Examen de Medio Semestre: 30%
• Examen Final: 30%

Teoría Algorítmica de Juegos

¿Qué es la Teoría de Juegos?

• Objetivo original: modelar el comportamiento económico
• Ahora: modelar el comportamiento de cualquier agente racional

¿Qué es la Teoría de Juegos Algorítmica?

• Comenzó alrededor del año 2000
• Motivada por:
  • ¡El Internet!
  • Crecimiento del "comercio electrónico"
  • "La Web" como plataforma
• Teoría de juegos "clásica":
  • Principalmente teoremas de existencia
  • "Si los agentes actúan racionalmente, entonces..."
• Teoría algorítmica de juegos:
  • "¿Cómo actúan los agentes racionalmente?"
  • ¿Cuáles son los problemas computacionales?

Ejemplo: Enrutamiento Egoísta

El Modelo:

• Un gráfico dirigido $G = (V, E)$
• Cada borde $e \in E$ tiene una función de costo $c_e(x)$
  • $x$ es la cantidad de tráfico en el borde $e$
• Un conjunto de $k$ jugadores
  • El jugador $i$ quiere mover el tráfico $r_i$ de $s_i$ a $t_i$
• Una estrategia para el jugador $i$ es un camino $s_i \rightarrow t_i$: $P_i$
• Un perfil de estrategia es una elección de camino para cada jugador

Costo Social

• Dado un perfil de estrategia $(P_1, \dots, P_k)$, el tráfico total en el borde $e$ es:
  • $$l_e = \sum_{i: e \in P_i} r_i$$
• El costo social de $(P_1, \dots, P_k)$ es:
  • $$\sum_{e \in E} l_e \cdot c_e(l_e)$$

Equilibrio de Nash

• Un perfil de estrategia $(P_1, \dots, P_k)$ es un equilibrio de Nash si ningún jugador puede mejorar su costo simplemente cambiando unilateralmente su estrategia.
  • $$\text{cost}i(P_i, P{-i}) \leq \text{cost}_i(P'i, P{-i})$$
    • $P_{-i}$ son las estrategias de todos los jugadores distintos de $i$

Preguntas

1. ¿Siempre existe un equilibrio de Nash?
2. ¿Es "bueno" el costo social de un equilibrio de Nash?
3. ¿Cuánto tiempo se tarda en alcanzar un equilibrio de Nash?

Matrices

Conceptos básicos

Definición

• Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas.
• El orden de una matriz se define por el número de filas y columnas.

Ejemplo

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

• $A$ es una matriz de $2 \times 3$ con 2 filas y 3 columnas.

Matrices especiales

• Matriz cuadrada: El número de filas es igual al número de columnas.
• Matriz identidad: Una matriz cuadrada con 1s en la diagonal principal y 0s fuera de ella, denotada por $I$.
• Matriz cero: Todos los elementos son cero.

Operaciones

Suma/Resta

• Las matrices se pueden sumar o restar si tienen el mismo orden.

Ejemplo

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$

Multiplicación escalar

• Multiplicar una matriz por un escalar implica multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar.

Ejemplo

$2 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$

Multiplicación de matriz

• Para dos matrices $A$ y $B$, el número de columnas en $A$ debe ser igual al número de filas en $B$.

Ejemplo

• Si $A$ es una matriz de $m \times n$ y $B$ es una matriz de $n \times p$, entonces el producto $AB$ es una matriz de $m \times p$.
• El elemento en la $i$-ésima fila y la $j$-ésima columna de $AB$ se obtiene tomando el producto punto de la $i$-ésima fila de $A$ y la $j$-ésima columna de $B$.

Propiedades

Asociatividad

• $(AB)C = A(BC)$

Distributividad

• $A(B + C) = AB + AC$

Matriz identidad

• $AI = IA = A$

Determinantes

Definición

• Un determinante es un valor escalar que se puede calcular a partir de los elementos de una matriz cuadrada.

Cálculo para matriz de $2 \times 2$

• Para una matriz de $2 \times 2$, $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$, el determinante es:
  • $det(A) = ad - bc$

Propiedades

• Si una matriz tiene una fila o una columna de ceros, el determinante es cero.
• Si dos filas o columnas se intercambian, el determinante cambia de signo.
• Si se añade un múltiplo de una fila a otra fila, el determinante no cambia.

Inversa

Definición

• La inversa de una matriz cuadrada $A$, denotada por $A^{-1}$, es una matriz tal que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, donde $I$ es la matriz identidad.

Cálculo para matriz de $2 \times 2$

• Para una matriz de $2 \times 2$, $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$, la inversa es:
  • $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$

Propiedades

• No todas las matrices tienen inversas.
• Si $det(A) = 0$, entonces $A$ no es invertible.
• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

Aplicaciones

Resolver sistemas de ecuaciones lineales

• Las matrices se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Transformaciones en geometría

• Las matrices pueden representar transformaciones lineales como rotaciones, escalamiento y traslaciones.

Teoría de grafos

• Las matrices pueden representar grafos y redes.

Física

Aceleración

Aceleración Promedio

• La aceleración promedio es la tasa a la cual la velocidad de un objeto cambia.
  • $\qquad \bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$
    • $\bar{a}$ = aceleración promedio
    • $\Delta v$ = cambio en la velocidad
    • $\Delta t$ = cambio en el tiempo
    • $v_f$ = velocidad final
    • $v_i$ = velocidad inicial
    • $t_f$ = tiempo final
    • $t_i$ = tiempo inicial

Aceleración Instantánea

• La aceleración instantánea es la aceleración de un objeto en un momento específico en el tiempo.
  • $\qquad a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}$
    • $a$ = aceleración instantánea
    • $\Delta v$ = cambio en la velocidad
    • $\Delta t$ = cambio en el tiempo

Unidades de Aceleración

• La aceleración se mide en:
  • $m/s^2$ (metros por segundo al cuadrado)
  • $ft/s^2$ (pies por segundo al cuadrado)

Aceleración debido a la gravedad

• La aceleración debido a la gravedad ($g$) en la superficie de la Tierra
  • Aproximadamente $9.8 m/s^2$ o $32 ft/s^2$.