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Questions and Answers
Qual è uno degli obiettivi della programmazione dinamica?
Qual è uno degli obiettivi della programmazione dinamica?
La programmazione dinamica può considerare sottoproblemi che non sono indipendenti tra loro.
La programmazione dinamica può considerare sottoproblemi che non sono indipendenti tra loro.
True
Quali sono le due principali proprietà necessarie per applicare la programmazione dinamica?
Quali sono le due principali proprietà necessarie per applicare la programmazione dinamica?
sottostruttura della soluzione e sottoproblemi ripetuti
In programmazione dinamica, la __________ è l'approccio che consiste nel memorizzare i risultati già calcolati per evitare di ripetere i calcoli.
In programmazione dinamica, la __________ è l'approccio che consiste nel memorizzare i risultati già calcolati per evitare di ripetere i calcoli.
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Abbina i seguenti termini e le loro descrizioni:
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Qual è la differenza chiave tra programmazione dinamica e Divide-et-Impera?
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Per applicare la programmazione dinamica, è necessario che i sottoproblemi siano unici e non ripetuti.
Per applicare la programmazione dinamica, è necessario che i sottoproblemi siano unici e non ripetuti.
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Qual è la fase iniziale dello sviluppo in programmazione dinamica?
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Che cosa rappresenta il simbolo LCS in questo contesto?
Che cosa rappresenta il simbolo LCS in questo contesto?
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Se le sequenze X e Y hanno il primo elemento uguale, l'ultimo elemento di Z deve essere uguale a X.
Se le sequenze X e Y hanno il primo elemento uguale, l'ultimo elemento di Z deve essere uguale a X.
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Cosa indica il lemma 1 riguardo a Z, se X e Y hanno lo stesso ultimo elemento?
Cosa indica il lemma 1 riguardo a Z, se X e Y hanno lo stesso ultimo elemento?
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Se X = x, ... , x e Y = y, ... , y con x = y, allora __________ è LCS(X, Y).
Se X = x, ... , x e Y = y, ... , y con x = y, allora __________ è LCS(X, Y).
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Abbina le seguenti proprietà alla loro descrizione corretta:
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Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo la relazione tra Z, X e Y?
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo la relazione tra Z, X e Y?
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Se Z è LCS(X, Y), allora Z può contenere solo elementi di X.
Se Z è LCS(X, Y), allora Z può contenere solo elementi di X.
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Qual è il risultato se x è diverso da y nelle sequenze X e Y?
Qual è il risultato se x è diverso da y nelle sequenze X e Y?
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La __________ indica che Z è una sottosequenza comune massima tra due sequenze.
La __________ indica che Z è una sottosequenza comune massima tra due sequenze.
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Qual è la formula per calcolare il numero di coppie di conigli nella successione di Fibonacci?
Qual è la formula per calcolare il numero di coppie di conigli nella successione di Fibonacci?
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Nella successione di Fibonacci, ogni coppia di conigli genera una coppia per ogni generazione successiva e poi muore.
Nella successione di Fibonacci, ogni coppia di conigli genera una coppia per ogni generazione successiva e poi muore.
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Qual è la complessità asintotica della soluzione ricorsiva per calcolare la successione di Fibonacci?
Qual è la complessità asintotica della soluzione ricorsiva per calcolare la successione di Fibonacci?
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Nella memoization, il numero di nodi soddisfa una ricorsione simile a quella della successione di __________.
Nella memoization, il numero di nodi soddisfa una ricorsione simile a quella della successione di __________.
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Qual è la crescita della complessità per l'algoritmo di Fibonacci ricorsivo?
Qual è la crescita della complessità per l'algoritmo di Fibonacci ricorsivo?
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Il tempo di calcolo usando Fib-Memoization è $ heta(n)$.
Il tempo di calcolo usando Fib-Memoization è $ heta(n)$.
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Che cosa rappresenta la formula di Binet?
Che cosa rappresenta la formula di Binet?
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La massima sottosequenza comune (LCS) è definita come Z che ha lunghezza __________.
La massima sottosequenza comune (LCS) è definita come Z che ha lunghezza __________.
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Abbina ciascun metodo di calcolo della successione di Fibonacci con la sua complessità spazio-temporale:
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In che modo Fibonacci-Iter differisce da Fibonacci-Memoization in termini di spazio utilizzato?
In che modo Fibonacci-Iter differisce da Fibonacci-Memoization in termini di spazio utilizzato?
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Due sequenze diverse possono avere la stessa massima sottosequenza comune.
Due sequenze diverse possono avere la stessa massima sottosequenza comune.
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Cosa significa che Z è una sottosequenza di X?
Cosa significa che Z è una sottosequenza di X?
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Il numero di nodi nei livelli dell'albero delle chiamate soddisfa la relazione N = N(n-1) + N(n-2) + __________.
Il numero di nodi nei livelli dell'albero delle chiamate soddisfa la relazione N = N(n-1) + N(n-2) + __________.
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Study Notes
Programmazione Dinamica - Riepilogo
-
Obiettivi: Migliorare la comprensione della complessità degli algoritmi ricorsivi e del modo in cui riutilizzare le soluzioni di sottoproblemi per risolvere un problema dato.
-
Argomenti:
- Algoritmo di Fibonacci con ricorsione, memoization e approccio bottom-up.
- Problema LCS (Longest Common Subsequence).
Programmazione Dinamica vs. Divide et Impera
- Entrambi gli approcci si basano sulla scomposizione ricorsiva di un problema in sottoproblemi.
- Divide et Impera è efficiente quando i sottoproblemi sono indipendenti.
- Programmazione Dinamica è spesso più efficiente quando i sottoproblemi si ripetono, riducendo la complessità computazionale (spesso da esponenziale a polinomiale).
Condizioni di Applicabilità della Programmazione Dinamica
- Sottostruttura ottima: La soluzione ottimale del problema deve poter essere ottenuta combinando soluzioni ottimali di sottoproblemi.
- Sottoproblemi ripetuti: Gli stessi sottoproblemi devono essere calcolati più volte durante l'esecuzione dell'algoritmo.
Fasi di Sviluppo di un Algoritmo di Programmazione Dinamica
- Caratterizzazione della struttura della soluzione: Definire la struttura della soluzione ottimale, specificando le relazioni tra le soluzioni dei sottoproblemi.
- Definizione ricorsiva della soluzione: Definire il problema in termini ricorsivi, esplicitando le dipendenze dai sottoproblemi.
- Eliminazione delle ripetizioni (memoization): Memorizzare i risultati dei sottoproblemi già calcolati per evitare di ricalcolarli più volte.
- Sviluppo di un approccio bottom-up (iterativo): Risolvere i sottoproblemi più piccoli prima, e costruire la soluzione del problema principale combinando i risultati dei sottoproblemi.
Successione di Fibonacci
- Rappresenta una sequenza di numeri, dove ogni numero è la somma dei due precedenti, partendo da 0 e 1.
- Può essere calcolata sia con un approccio ricorsivo che iterativo.
- L'approccio ricorsivo ha una complessità molto alta (esponenziale), a causa dei calcoli ripetuti.
Algoritmo Ricorsivo per la Successione di Fibonacci
- Il calcolo dei numeri di Fibonacci ha una complessità esponenziale a causa dei calcoli ripetuti degli stessi sottoproblemi.
- Il metodo ricorsivo è inefficiente perché ricalcola frequentemente gli stessi risultati.
Albero delle Chiamate
- L'albero rappresenta le chiamate ricorsive durante l'esecuzione di un algoritmo di Fibonacci ricorsivo.
- I nodi dell'albero rappresentano le chiamate alle funzioni recursive.
- Mostra una notevole ridondanza di calcoli, poiché i nodi corrispondenti a sottoproblemi uguali vengono ricalcolati più volte.
Fibonacci con Memoization
- Memorizza i risultati dei calcoli di sottoproblemi già eseguiti per evitare ripetizioni.
- L'uso della memoization riduce drasticamente la complessità computazionale del calcolo di Fibonacci (da esponenziale a lineare).
- È un compromesso tra l'approccio puramente ricorsivo e l'approccio bottom-up.
Fibonacci con Approccio Bottom-up (Iterativo)
- Il metodo iterativo costruisce i valori dei numeri di Fibonacci in ordine consecutivo, partendo dai valori iniziali (0 e 1).
- L'approccio bottom-up elimina le ridondanze, sfruttando i calcoli già eseguiti.
- Ha una complessità lineare (O(n)).
Massima Sottosequenza Comune (LCS) - Definizioni
- Data due sequenze S1 e S2, trovare la sottosequenza più lunga comune a entrambe.
- Le sottosequenze possono contenere elementi non consecutivi delle sequenze originali.
- Un esempio pratico è l'analisi dell'identità delle sequenze biologiche.
Proprietà della Sottostruttura per LCS
- La soluzione ottimale per LCS(X, Y) è costruita combinando le soluzioni ottimali dei sottoproblemi.
- Se l'ultimo elemento delle due sequenze sono gli stessi, la sottosequenza comune più lunga è l'elemento in comune concatenato con l'LCS delle sequenze rimanenti.
- Se gli elementi sono diversi, la sottosequenza più lunga è determinata dal massimo tra l'LCS della prima sequenza e della seconda, senza l'ultimo elemento della seconda sequenza e viceversa.
Algoritmo Bottom-up per LCS
- Calcola l'LCS di due sequenze in modo iterativo tramite una tabella di memoization (c), dove l'indice c[i][j] rappresenta la lunghezza dell'LCS dei primi i elementi di X e j elementi di Y.
- Ha una complessità computazionale di O(m*n), con m ed n la lunghezza delle due sequenze.
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Description
Questo quiz esplora i concetti fondamentali della programmazione dinamica, inclusi l'algoritmo di Fibonacci e il problema della Longest Common Subsequence. Scoprirai anche le differenze tra programmazione dinamica e l'approccio Divide et Impera. Testa la tua comprensione delle condizioni di applicabilità di questi metodi.
